1、考研数学二（一元函数微分学及应用）-试卷 3 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=a 处可导，则 （分数：2.00）A.f“(a)B.2f“(a)C.0D.f“(2a)3.F(x)=cosxsin2x在(0，2x)内( )（分数：2.00）A.有一个不可导点B.有两个不可导点C.有三个不可导点D.可导4.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导5.设 f(x)可导，且 F(x)=f
2、(x)(1+sinx)在 x=0 处可导，则( )（分数：2.00）A.f(0)=0B.f“(0)=0C.f(0)=f“(0)D.f(0)=-f“(0)6.曲线 上 t=1 对应的点处的曲率半径为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.下列曲线有斜渐近线的是( )（分数：2.00）A.y=x+sinB.y-x 2 +sinxC.y=sinD.y=x 2 +sin 2 x二、填空题(总题数：2，分数：4.00)8.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_9.的斜渐近线为 1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)10.解答题解答应
3、写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.设 f(x)=3x 2 +x 2 x，求使得 f (n) (0)存在的最高阶数 n（分数：2.00）_12.设函数 y=y(x)可导并满足 y“+(x-1)y“+xy 2 =e x ，且 y“(0)=1，若 （分数：2.00）_13.设 f(x)是以 4 为周期的可导函数，f(1)= （分数：2.00）_14.设 y=f(x)与 y=sinx 在原点相切，求 （分数：2.00）_15.设 f(x)在(-，+)有定义，f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f“(0)=a，求 f(x)（分数：2.00）_16.设 f(x)可导，y=f
4、(cos 2 x)，当 x= 处取增量x=-02 时，Ay 的线性部分为 02，求 （分数：2.00）_17.设 y=x sin2x ，求 y“（分数：2.00）_18.设 y= （分数：2.00）_19.设 y=x(sinx) cosx ，求 dy（分数：2.00）_20.设函数 y=y(x)由 2 xy =x+y 确定，求 dy x=0（分数：2.00）_21.设函数 y=y(x)由 x+y=tany 确定，求 dy（分数：2.00）_22.设 y=y(x)由 ln(x 2 +y)=x 3 y+sinx 确定，求 （分数：2.00）_23.求 2y-x=(x-y)ln(x-y)确定的函数
5、y=y(x)的微分 dy（分数：2.00）_24.设由 sinxy+ln(y-x)=x 确定函数 y=y(x)，求 y“(0)（分数：2.00）_25.设由 e -y +x(y-x)=1+x 确定 y=y(x)，求 y“(0)（分数：2.00）_26.设 y=y(x)由 （分数：2.00）_27.设 siny+xe y =0，当 y=0 时，求 （分数：2.00）_28.设 y=y(x)由 （分数：2.00）_29.设 x=x(t)由 （分数：2.00）_30.证明：曲线 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学及应用）-试卷 3 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选
6、择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=a 处可导，则 （分数：2.00）A.f“(a)B.2f“(a) C.0D.f“(2a)解析：解析：3.F(x)=cosxsin2x在(0，2x)内( )（分数：2.00）A.有一个不可导点B.有两个不可导点C.有三个不可导点D.可导 解析：解析：当 x= 时，F(x)=0 同理4.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导 解析：解析：由 f(1-0)=f(1)=1，f(1+0)=1 得 f(x)
7、在 x=1 处极限存在且连续 5.设 f(x)可导，且 F(x)=f(x)(1+sinx)在 x=0 处可导，则( )（分数：2.00）A.f(0)=0 B.f“(0)=0C.f(0)=f“(0)D.f(0)=-f“(0)解析：解析：F(0)=f(0)， 6.曲线 上 t=1 对应的点处的曲率半径为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：7.下列曲线有斜渐近线的是( )（分数：2.00）A.y=x+sin B.y-x 2 +sinxC.y=sinD.y=x 2 +sin 2 x解析：解析：由 =0 得曲线 y=x+sin二、填空题(总题数：2，分数：4.00)8.设 f(x)=
8、 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=3）填空项 1:_ （正确答案：b=-2）解析：解析：f(1-0)=f(1)=a+b，f(1+0)=1， 因为 f(x)在 x=1 处连续，所以 a+b=1；9.的斜渐近线为 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=-x-2 及 y=x+2）解析：解析：三、解答题(总题数：21，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11.设 f(x)=3x 2 +x 2 x，求使得 f (n) (0)存在的最高阶数 n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)
9、= 由 得 f“ + (0)=0， 从而 f“(0)=0，于是 f“(x)= 由 得 f“ + (0)=6， 从而 f“(0)=6，于是 f“(x)= 由 )解析：12.设函数 y=y(x)可导并满足 y“+(x-1)y“+xy 2 =e x ，且 y“(0)=1，若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =a 得 y(0)=0， )解析：13.设 f(x)是以 4 为周期的可导函数，f(1)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 因为 f(x)以 4 为周期，所以 f(5)=f(1)= ，f“(5)=f“(1)=-2， 故y=f(x)在(5，f(5)的法线方程为 )解析：1
10、4.设 y=f(x)与 y=sinx 在原点相切，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意得 f(0)=0，f“(0)=cosx =0 =1， )解析：15.设 f(x)在(-，+)有定义，f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f“(0)=a，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=0，y=0 得 f(0)=0 由 f“(x)= )解析：16.设 f(x)可导，y=f(cos 2 x)，当 x= 处取增量x=-02 时，Ay 的线性部分为 02，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y“=f“(cos 2 x)(-sin2x)， )解析：17.设
11、y=x sin2x ，求 y“（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=e sin2xlnx ，y“= sin2x (2cos2xlnx+ )解析：18.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：lny= ln(x 2 +1)-ln(1-x)，两边对 x 求导得 )解析：19.设 y=x(sinx) cosx ，求 dy（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：lny=lnx+cosxlnsinx，两边微分得 )解析：20.设函数 y=y(x)由 2 xy =x+y 确定，求 dy x=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x=0 时，y=1 2 xy =x+y 两边关
12、于 x 求导得 将 x=0，y=1 代入得 )解析：21.设函数 y=y(x)由 x+y=tany 确定，求 dy（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x+y=tany 两边关于 x 求导得 )解析：22.设 y=y(x)由 ln(x 2 +y)=x 3 y+sinx 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=0 代入得 y=1， ln(x 2 +y)=x 3 y+sinx 两边关于 x 求导得 =3x 2 y+x 3 y“+cosx， 将 x=0，y=1 代入得 )解析：23.求 2y-x=(x-y)ln(x-y)确定的函数 y=y(x)的微分 dy（分数：2.00）_正确
13、答案：(正确答案：2y-x=(x-y)ln(x-y)关于 x 求导得 )解析：24.设由 sinxy+ln(y-x)=x 确定函数 y=y(x)，求 y“(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=0 时，y=1， sinxy+ln(y-x)=x 两边对 x 求导得 将 x=0，y=1 代入得 )解析：25.设由 e -y +x(y-x)=1+x 确定 y=y(x)，求 y“(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=0 时，y=0 e y +x(y-x)=1+x 两边关于 x 求导得 -e -y y“+y-x+x(y“-1)=1，则y“(0)=-1； -e - y“+y-x+
14、x(y“-1)=1 两边关于 x 求导得 e -y (y“) 2 -e -y y“+2(y“-1)+xy“=0，代入得y“(0)=-3)解析：26.设 y=y(x)由 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=0 时，y=1 两边关于 x 求导得 )解析：27.设 siny+xe y =0，当 y=0 时，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=0 时，x=0 siny+xe y =0 两边关于 x 求导得 )解析：28.设 y=y(x)由 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设 x=x(t)由 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：t=0 时，x(0)=0 )解析：30.证明：曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 两边关于 x 求导得 )解析：
