1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 10 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若x表示不超过 x 的最大整数，则积分 0 4 xdx 的值为 ( )（分数：2.00）A.0B.2C.4D.63. （分数：2.00）A.B.C.D.4.函数 f(x)= （分数：2.00）A.B.一 1C.0D.5.设 f(x)连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是 ( )（分数：2.00）A. 0 x t(f(t)+f(一 t)dtB. 0 x t(f(t)-f(一
2、 t)dtC. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f 2 (t)dt6.设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0则方程 a x f(t)dt+ b x （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.无穷多个7.设 f(x)连续，f(0)=1，f“(0)=2下列曲线与曲线 y=f(x)必有公共切线的是 ( )（分数：2.00）A.y= 0 x f(t)dtB.y=1+ 0 x f(t)dtC.y= 0 2x f(t)dtD.y=1+ 0 2x f(t)dt二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8. （分数：2.00）填空项 1:_9.函数 F(x)= （分数：2.00）填空
3、项 1:_10.已知 0 1 f(x)dx=1，f(1)=0，则 0 1 xf“(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_11. （分数：2.00）填空项 1:_12. （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)连续，f(0)=1，则曲线 y= 0 x f(x)dx 在(0，0)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_16.设 f(x)为连续函数，且 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程
4、或演算步骤。（分数：2.00）_18.计算定积分 （分数：2.00）_19.计算定积分 （分数：2.00）_20. （分数：2.00）_21.计算 0 x f(t)g(x-t)dt(x0)，其中，当 x0 时，f(x)=x，而 （分数：2.00）_22.已知 f(x)连续， 0 x tf(x-t)dt=1 一 cos x，求 （分数：2.00）_23. （分数：2.00）_24.设 tan n xdx(n1)，证明： （分数：2.00）_25. （分数：2.00）_26.对于实数 x0，定义对数函数 In x= 依此定义试证：(1) （分数：2.00）_27.计算 I n = -1 1 (x
5、2 一 1) n dx（分数：2.00）_28.计算 0 1 x x dx（分数：2.00）_29.若 f(x)= 0 x cos （分数：2.00）_30.若 f(x)在(一，+)上连续，且 f(x)= 0 x f(t)dt，试证：f(x)0(-x+)（分数：2.00）_31. （分数：2.00）_32. （分数：2.00）_33. （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）-试卷 10 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若x表示不超过
6、x 的最大整数，则积分 0 4 xdx 的值为 ( )（分数：2.00）A.0B.2C.4D.6 解析：解析： 3. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：此题若立刻作变换 tan x=t 或 tan ，则在 0x2 上不能确定出单值连续的反函数x=(t)可先利用周期性和奇偶性将积分区间缩小，在此小区间上作变换 tan x=t 在第 2 式中作变换 x= 一 t，即可化为第 1 式，于是4.函数 f(x)= （分数：2.00）A. B.一 1C.0D.解析：解析： 得唯一驻点5.设 f(x)连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是 ( )（分数：2.00）A. 0 x t(f(t)
7、+f(一 t)dt B. 0 x t(f(t)-f(一 t)dtC. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f 2 (t)dt解析：解析：奇函数的原函数是偶函数(请读者自己证之但要注意，偶函数 f(x)的原函数只有 0 x f(r)dt 为奇函数，因为其它原函数与此原函数只差一个常数，而奇函数加上一个非零常数后就不再是奇函数了)，选项(A)中被积函数为奇函数，选项(B)(C)中被积函数都是偶函数，选项(D)中虽不能确定为偶函数，但为非负函数，故变上限积分必不是偶函数应选(A)6.设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0则方程 a x f(t)dt+ b x （分数：2.00）A.0 个
8、B.1 个 C.2 个D.无穷多个解析：解析： 则 F(x)在a，b上连续，而且 故 F(x)在(a，b)内有根又 F(x)=f(x)+7.设 f(x)连续，f(0)=1，f“(0)=2下列曲线与曲线 y=f(x)必有公共切线的是 ( )（分数：2.00）A.y= 0 x f(t)dtB.y=1+ 0 x f(t)dtC.y= 0 2x f(t)dtD.y=1+ 0 2x f(t)dt 解析：解析：曲线 y=f(x)在横坐标 x=0 对应的点(0，1)处切线为 y=1+2x选项(D)中函数记为y=F(x)由 F(0)=1，F“(0)=2f(0)=2，知曲线 y=F(x)在横坐标 x=0 对应点
9、处切线方程也为 y=1+2x故应选(D)二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：此极限属“ ”型，用洛必达法则9.函数 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2 ，+)）解析：解析：需要考虑 F(x)的导函数 F“(x)= 10.已知 0 1 f(x)dx=1，f(1)=0，则 0 1 xf“(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：此积分的计算要用分部积分法原积分= 0 1 xf“(x)dx= 0 1 xdf(x)=xf(x)|
10、0 1 一 0 1 f(x)dx=一 111. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a）解析：解析：f(x)是抽象函数，不能具体地计算积分，要用积分中值定理然后再计算极限 x x+a f(t)dt=f( x ).a， x 介于 x，x+a 之间， 12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：x 2 sin x 是奇函数，故在 上的定积分值为 0原积分 13.设 f(x)连续，f(0)=1，则曲线 y= 0 x f(x)dx 在(0，0)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x）解析：解析：曲线在(0
11、，0)处切线斜率 k=y| x=0 = 0 x f(t)dt| x=0 =f(0)=1所以曲线在(0，0)处，切线方程为 y=x14.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：作定积分换元 x+1=t，原积分= -1 1 f(t)dt= -1 0 (t+1)dt+ 0 1 t 2 dt= 15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：被积函数16.设 f(x)为连续函数，且 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由变限积分求导公式三、解答题(总题数：17，分数：34.0
12、0)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 1-x=sin t，则 )解析：19.计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，则 x=t 2 ，dx=2tdt，故 )解析：21.计算 0 x f(t)g(x-t)dt(x0)，其中，当 x0 时，f(x)=x，而 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=u-t，则 g(x)一 g(u 一 t)= 于是 0 x f(t)g(xt)dt= 0 x tsin(xt)
13、dt = 0 x tdcos(xt)=tcos(x-t)| 0 x 0 x cos(xt)dt =x+sin(xt)| 0 x =xsin x )解析：22.已知 f(x)连续， 0 x tf(x-t)dt=1 一 cos x，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 一 t=u，有 0 x tf(xt)dt= 0 x (x 一 u)f(u)du于是 x 0 x f(u)du一 0 x uf(u)du=1 一 cos x两边对 x 求导，得 0 x f(u)du=sin x， )解析：23. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 tan n xdx(n1)，
14、证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由分部积分法可知 又因为 f(1)=0，f“(x)= 故 )解析：26.对于实数 x0，定义对数函数 In x= 依此定义试证：(1) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (2)令 t=x，则有 )解析：27.计算 I n = -1 1 (x 2 一 1) n dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由分部积分可得 I n =x(x 2 一 1) n | -1 1 一 2n -1 1 x 2 (x 2 1) n-1 dx =-2n -1 1 (x 2 一 1) n dx
15、一 2n -1 1 (x 2 1) n-1 dx =一 2nI n 一 2nI n-1 ， )解析：28.计算 0 1 x x dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，所以 x=0 不是瑕点 )解析：29.若 f(x)= 0 x cos （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：30.若 f(x)在(一，+)上连续，且 f(x)= 0 x f(t)dt，试证：f(x)0(-x+)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)= 0 x f(t)dt 可知 f(x)=f(x)，其通解为 f(x)=ce x ，又 f(0)=0，故f(x)0)解析：31. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 k 值不同，故分情况讨论： )解析：
