1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 17 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：11，分数：22.00)1.若曲线 y=x 3 +ax 2 +bx+1 有拐点(一 1，0)，则 b= 1。（分数：2.00）填空项 1:_2.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_3.函数 y=x 2x 在区间(0，1上的最小值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_4.函数 f(x)=|4x 3 一 18x 2 +27|在区间0，2上的最小值为 1，最大值为 2。（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_5.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_6.曲线 （分数：2.00）
2、填空项 1:_7.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_8.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 y=y(x)由参数方程 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.曲线 xy=1 在点 D(1，1)处的曲率圆方程是 1。（分数：2.00）填空项 1:_11.曲线 y=x 2 +x(x0)上曲率为 （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：18，分数：44.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_已知曲线 L 的方程 （分数：6.00）(1).讨论 L 的凹凸性；（分数：2.00）_(2).过点(一 1，0)引 L 的切线，求切点(x 0 ，y 0 )
3、，并写出切线的方程；（分数：2.00）_(3).求此切线与 L(对应于 xx 0 的部分)及 x 轴所围成的平面图形的面积。（分数：2.00）_13.设函数 f(x)在 x 0 处具有二阶导数，且 f“(x 0 )=0,f“(x 0 )0，证明当 f“(x 0 )0，f(x)在 x 0 处取得极小值。（分数：2.00）_设 f(x)为一 a，a上的连续偶函数，且 f(x)0，令 F(x)= -a a |xt|一 f(t)dt（分数：6.00）(1).证明 F“(x)单调增加；（分数：2.00）_(2).当 x 取何值时，F(x)取最小值；（分数：2.00）_(3).当 F(x)的最小值为 f（
4、A）一 a 2 一 1 时，求函数 f(x)。（分数：2.00）_14.已知 f(x)=ax 3 +x 2 +2 在 x=0 和 x=一 1 处取得极值，求 f(x)的单调区间、极值点和拐点。（分数：2.00）_15.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：2.00）_16.设函数 y=y(x)由方程 ylny 一 x+y=0 确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性。（分数：2.00）_17.求函数 （分数：2.00）_设 f(x)在a，b上可导 f“(x)+f(x) 2 一 a x f(t)dt=0，且 a -b f(t)dt=0.证明：（分数：4.00）(1). a x
5、f(t)dt 在(a，b)的极大值不能为正，极小值不能为负；（分数：2.00）_(2). a x f(t)dt 在(a，b)内恒为零。（分数：2.00）_18.设 a1,f(t)=a t 一 at 在(一，+)内的驻点为 t(a)。问 a 为何值时，t(a)最小?并求出最小值。（分数：2.00）_19.设函数 （分数：2.00）_20.证明：当 0ab 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a 0（分数：2.00）_21.证明： （分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.设 0x1，证明： （分数：2.00）_24.设 eab，证明： （分数：2.00）_25.试
6、确定方程 x=ae x (a0)实根的个数。（分数：2.00）_26.讨论曲线 y=41nx+k 与 y=4x+ln 4 x 的交点个数。（分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）-试卷 17 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：11，分数：22.00)1.若曲线 y=x 3 +ax 2 +bx+1 有拐点(一 1，0)，则 b= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：根据题意 y“=3x 3 +2ax+by“=6x+2a 令 y“=0，得 2.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1，
7、一 6)）解析：解析：由题设 ，则有3.函数 y=x 2x 在区间(0，1上的最小值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 y“=x 2x (2lnx+2)，令 y“=0 得驻点为 当 时，y“(x)0。故 y 在 上单调递减，在 上单调递增。 故 为 y=x 2x 的极小值点，此时 而且 y(1)=1， 因此 y=x 2x 在区间(0，1上的最小值为 4.函数 f(x)=|4x 3 一 18x 2 +27|在区间0，2上的最小值为 1，最大值为 2。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：27）解析
8、：解析：令 (x)=4x 3 18x 2 +27，则 5.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：直接利用曲线的水平渐近线的定义求解。由于 因此曲线的水平渐近线为6.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设所求斜渐近线为 y=ax+b，因为7.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设所求斜渐近线方程为 y=ax+b。 因为8.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x+25y=0 与 x+y=0）解析：解析：显然原点(0，0)不在曲线上，需首先求出切点坐标
9、。 把(0，0)代入上式，得 x 0 =一3 或 x 0 =一 15。则斜率分别为 9.设 y=y(x)由参数方程 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由参数方程求导法则， 因此，y=y(x)的曲率10.曲线 xy=1 在点 D(1，1)处的曲率圆方程是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x 一 2) 2 +(y 一 2) 2 =2）解析：解析：由题干可知， 11.曲线 y=x 2 +x(x0)上曲率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1，0)）解析：解析：将 y“=2x+1，y“=2 代入
10、曲率计算公式，有 二、解答题(总题数：18，分数：44.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：已知曲线 L 的方程 （分数：6.00）(1).讨论 L 的凹凸性；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 当 t0 时， )解析：(2).过点(一 1，0)引 L 的切线，求切点(x 0 ，y 0 )，并写出切线的方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：切线方程为 设 x 0 =t 0 2 +1，y 0 =4t 0 一 t 0 2 ，则 )解析：(3).求此切线与 L(对应于 xx 0 的部分)及 x 轴所围成的平面图形的面积。（分数：2.00）_正确答案：(
11、正确答案：设 L 的方程为 x=g(y)，则 S= 0 3 g(y)一(y 一 1)dy。根据 t 2 一 4t+y=0 解得 由于(2，3)在 L 上，因此可知 )解析：13.设函数 f(x)在 x 0 处具有二阶导数，且 f“(x 0 )=0,f“(x 0 )0，证明当 f“(x 0 )0，f(x)在 x 0 处取得极小值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 f“(x 0 )0，且由导数定义可知 则对于 x 0 的去心邻域(x 0 一，x 0 )u(x 0 ，x 0 +)(0)，有 )解析：设 f(x)为一 a，a上的连续偶函数，且 f(x)0，令 F(x)= -a a |x
12、t|一 f(t)dt（分数：6.00）(1).证明 F“(x)单调增加；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).当 x 取何值时，F(x)取最小值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：(3).当 F(x)的最小值为 f（A）一 a 2 一 1 时，求函数 f(x)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 2 0 n (t)dt=f（A）一 a 2 1，两边对 a 求导得 2af（A）=f“(a)一 2a，于是 f“(x)一 2xf(x)=2x，解得 f(x)=2xe -2xdx dx+Ce -2xdx =Ce x2 一 1，在 2 0 2 tf(t
13、)dt=f（A）一 a 2 一 1 中，令 a=0，得 f(0)=1，则 C=2，于是 f(x)=2e x2 一 1。)解析：14.已知 f(x)=ax 3 +x 2 +2 在 x=0 和 x=一 1 处取得极值，求 f(x)的单调区间、极值点和拐点。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f“(x)=3ax 2 +2x，由题意 f“(0)=0，f“(一 1)=3a 一 2=0，由此可得 ，于是f“(x)=2x 2 +2x,f“(x)=4x+2，令 f“(x)=0，则可得 列表讨论函数的单调性与函数图形的凹凸性，如下： 由此可知，函数 f(x)的单调增区间是(一，一 1)和(0，+)，单调减
14、区间是(一 1，0)，极大值是 ，极小值为 f(0)=2，拐点是 )解析：15.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 列表如下 由此可知，函数 y(x)的极大值为 y(一 1)=1，极小值为曲线 y=y(x)凹区间为 曲线 y=y(x)的拐点为 )解析：16.设函数 y=y(x)由方程 ylny 一 x+y=0 确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性，只需判断 y“(1)的正负。在方程ylny 一 x+y=0 两边对 x 求导得 y“lny+y“
15、一 1+y“=0，上式两边对 x 求导得 于是 )解析：17.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知得， 令 y“=0，得驻点 x 1 =0，x 2 =一 1。列表 6 由上表可知, 为极小值， 为极大值。以下求渐近线。由于 所以此函数无水平渐近线；同理，函数图形也没有铅直渐近线。因此令 )解析：设 f(x)在a，b上可导 f“(x)+f(x) 2 一 a x f(t)dt=0，且 a -b f(t)dt=0.证明：（分数：4.00）(1). a x f(t)dt 在(a，b)的极大值不能为正，极小值不能为负；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 F(x)= a 2
16、f(t)dt，假设 F(x)在(a，b)内能取到正的极大值，且记该极大值点为 x 0 ，于是 F“(x 0 )=0，F(x 0 )0，即 f(x 0 )=0， 0 x0 f(t)dt0。在方程 f“(x)+f(t) 2 一 a x f(t)dt=0 中令 x=x 0 ，得 F“(x 0 )= a x0 f(t)dt0，故 F(x 0 )应是极小值，这与假设矛盾。所以 a x f(t)dt 在(a，b)的极大值不能为正，极小值不能为负。)解析：(2). a x f(t)dt 在(a，b)内恒为零。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 F(x)在(a，b)内可取正值，由于 F（A）=F（B
17、）=0，故 F(x)在(a，b)内存在最大值且为正，从而知 F(x)在(a，b)内存在正的极大值，与(I)中的结论矛盾，故 F(x)在(a，b)内不可能取正值。同理可证 F(x)在(a，b)内也不可能取到负值，故 F(x)在(a，b)内恒为零。)解析：18.设 a1,f(t)=a t 一 at 在(一，+)内的驻点为 t(a)。问 a 为何值时，t(a)最小?并求出最小值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f“(t)=a l lnaa=0，解得 f(t)的驻点为 对 t t(a)关于 a 求导，可得 令 t“(a)0，解得 ae e .则当 ae e 时，t t(a)单调递增；当
18、1ae e 时，t(a)单调递减。所以当 a=e e 时，t t(a)最小，且最小值为 )解析：19.设函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 )解析：20.证明：当 0ab 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a 0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=xsinx+2cosx+x，需证 0ax 时,f(x)是单调增加的。f“(x)=sinx+xcosx 一 2sinx+=xcosxsinx+，f“(x)=cosxxsinxcosx=一 xsinx0，所以 f“(x)严格单调减少。又 f“()=cos+=0，故 0ax 时,f(x)的一阶导数
19、大于零，从而函数单调增加，根据 ba 可得,f（B）f（A），即可得 bsinb+2cosb+basina+2cosa+a)解析：21.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 所以 f(0)=0(因为 f“(x)存在，则 f(x)一定连续)。且 f(x)在 x=0展成一阶麦克劳林公式 )解析：23.设 0x1，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在 两边同时取对数得 令 F(x)= ，则 F(1)=0.原命题等价于当0x1 时，F(x)0 恒成立。对 F(x)求导，得 )解析：24.设 eab，证明： （
20、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要证明 ，只需要证明 alnablnb。设函数 f(x)=xlnx。当 xe 时 f“(x)=lnx+10，故 f(x)单调递增。又因 eab，所以 f（B）f（A），即 alnablnb。 要证明设函数 ，故 g(x)单调递减。又因 eab，故 g(a)g(b)，即 综上所述：当 eab时， )解析：25.试确定方程 x=ae x (a0)实根的个数。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将已知方程变形为 xe -x 一 a=0，令 f(x)=xe -x 一 a，x0，则 f“(x)=e -x 一 xe -x =(1 一 x)e -x ，由 f“(
21、x)=0，解得 x=1，因此当 x(0，1)时 f“(x)0，即 f(x)单调递增；当x(1，+)时,f“(x)0，即 f(x)单调递减。所以 x=1 是 f(x)的最大值，且 又因为 f(0)=一 a0, ，所以 当 时 f(1)0，原方程有两个实根； 当 时,f(1)=0，原方程只有一个实根； 当 )解析：26.讨论曲线 y=41nx+k 与 y=4x+ln 4 x 的交点个数。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=4lnx+k 与 y=4x+ln 4 x 的交点个数等价于方程 (x)=ln 4 x 一 4lnx+4x一 k 在区间(0，+)内的零点个数。对以上方程两端求导得 可知 x=1 是 (x)的驻点。当 0x1时，ln 3 x0，则 ln 3 x 一 1+x0，而 ，因此 “(x)0，即 (x)单调减少；当 x1 时，ln 3 x0，则 ln 3 x1+x0,，且 ，因此 “(x)0，即 (x)单调增加。故 (1)=4 一 k 为函数(x)的唯一极小值，即最小值。 当 (1)=4 一 k0，即当 k4 时，(x)(1)0，(x)无零点，两曲线没有交点； 当 (1)=4 一 k=0，即当 k=4 时，(x)(1)=0，(x)有且仅有一个零点，即两曲线仅有一个交点； 当 (1)=4 一 k0，即当 k4 时，由于 )解析：
