1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 19 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 y=x x 在区间 （分数：2.00）A.不存在最大值和最小值B.最大值是C.最大值是D.最小值是3.函数 f(x)=2x+ （分数：2.00）A.只有极大值，没有极小值B.只有极小值，没有极大值C.在 x=一 1 处取极大值，x=0 处取极小值D.在 x=一 1 处取极小值，x=0 处取极大值4.若 f(x)在 x 0 点至少二阶可导，且 （分数：2.00）A.取得极
2、大值B.取得极小值C.无极值D.不一定有极值5.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.在其有定义的任何区间(x 1 ，x 2 )内，f(x)必是单调减少的B.在点 x 1 及 x 2 处有定义，且 x 1 x 2 时，必有 f(x 1 )f(x 2 )C.在其有定义的任何区间(x 1 ，x 2 )内，f(x)必是单调增加的D.在点 x 1 及 x 2 处有定义，且 x 1 x 时，必有 f(x 1 )f(x 2 )6.设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）A.f(0)=0 且 f“ 一 (0)存在B.f(0)=1 且 f“ 一 (0)存在C.f(0)=0 且 f“ +
3、(0)存在D.f(0)=1 且 f“ + (0)存在7.设 f(x)在(一，+)内可导，且对任意 x 1 ，x 2 ，当 x 1 x 2 时，都有 f(x 1 )f(x 2 )，则 ( )（分数：2.00）A.对任意 x，f“(x)0B.对任意 x，f“(一 z)0C.函数 f(一 x)单调增加D.函数一 f(一 x)单调增加8.设 a 为常数，f(x)=ae x 一 1 一 x 一 （分数：2.00）A.当 a0 时 f(x)无零点，当 a0 时 f(z)恰有一个零点B.当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)无零点C.当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(
4、x)恰有一个零点D.当 a0 时 f(x)恰有一个零点，当 a0 时 f(x)无零点9.设函数 f(x)在区间a，+)内连续，且当 xa 时，f“(x)l0，其中 l 为常数若 f(a)0，则在区间(a，a+ （分数：2.00）A.0B.1C.2D.3二、填空题(总题数：5，分数：10.00)10.若函数 f(x)=asin x+ （分数：2.00）填空项 1:_11.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 a，be，则不等式 （分数：2.00）填空项 1:_13.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_14.曲线 y=ln(e 一 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答
5、题(总题数：20，分数：40.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.f(x)在(一，+)上连续， （分数：2.00）_17.设 T=cos n，=arccos x，求 （分数：2.00）_18.已知 y=x 2 sin 2x，求 y (50) （分数：2.00）_19.计算 （分数：2.00）_20.已知 f(x)= （分数：2.00）_21.已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某邻域内满足关系式： f(1+sin x)一 3f(1 一 sin x)=8x+(x)，其中 (x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在
6、x=1 处可导，求 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程（分数：2.00）_22.设 f(x)= （分数：2.00）_23.求函数的导数：y= （分数：2.00）_24.求函数的导数：y=e f(x) f(e x )（分数：2.00）_25.已知 y= （分数：2.00）_26.设 f(t)具有二阶导数，f( （分数：2.00）_27.设 （分数：2.00）_28.函数 y=y(x)由方程 cos(x 2 +y 2 )+e x x 2 y=0 所确定，求 （分数：2.00）_29.设 y= （分数：2.00）_30.设函数 y=f(x)由参数方程 (t一 1)所确定，其中 (t)具有二阶
7、导数，且已知 （分数：2.00）_31.设 f(x)= （分数：2.00）_32.设 y= （分数：2.00）_33.设 y=sin 4 xcos 4 x，求 y (n) （分数：2.00）_34.设 y=e x sin x，求 y (n) （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）-试卷 19 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 y=x x 在区间 （分数：2.00）A.不存在最大值和最小值B.最大值是C.最大值是D.最小值是 解析：
8、解析：y“=x x (ln x+1)，令 y“=0，得 x= 3.函数 f(x)=2x+ （分数：2.00）A.只有极大值，没有极小值B.只有极小值，没有极大值C.在 x=一 1 处取极大值，x=0 处取极小值 D.在 x=一 1 处取极小值，x=0 处取极大值解析：解析：f“(x)=4.若 f(x)在 x 0 点至少二阶可导，且 （分数：2.00）A.取得极大值 B.取得极小值C.无极值D.不一定有极值解析：解析：由于 0，当 0x 一 x 0 时， 5.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.在其有定义的任何区间(x 1 ，x 2 )内，f(x)必是单调减少的 B.在点 x 1 及 x
9、2 处有定义，且 x 1 x 2 时，必有 f(x 1 )f(x 2 )C.在其有定义的任何区间(x 1 ，x 2 )内，f(x)必是单调增加的D.在点 x 1 及 x 2 处有定义，且 x 1 x 时，必有 f(x 1 )f(x 2 )解析：解析：f(x)的定义域是(一，3)(3，+)， f“(x)=一6.设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）A.f(0)=0 且 f“ 一 (0)存在B.f(0)=1 且 f“ 一 (0)存在C.f(0)=0 且 f“ + (0)存在 D.f(0)=1 且 f“ + (0)存在解析：解析：因为 f(x)在 x=0 处连续，且 =1，所以
10、f(0)=0从而有7.设 f(x)在(一，+)内可导，且对任意 x 1 ，x 2 ，当 x 1 x 2 时，都有 f(x 1 )f(x 2 )，则 ( )（分数：2.00）A.对任意 x，f“(x)0B.对任意 x，f“(一 z)0C.函数 f(一 x)单调增加D.函数一 f(一 x)单调增加 解析：解析：根据单调性的定义直接可以得出(D)项正确8.设 a 为常数，f(x)=ae x 一 1 一 x 一 （分数：2.00）A.当 a0 时 f(x)无零点，当 a0 时 f(z)恰有一个零点B.当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)无零点C.当 a0 时 f(x)恰有两个零点
11、，当 a0 时 f(x)恰有一个零点D.当 a0 时 f(x)恰有一个零点，当 a0 时 f(x)无零点 解析：解析：本题考查一元函数微分学的应用，讨论函数的零点问题 令 g(x)=f(x)e 一 x =一 a 一(1+x+ )e 一 x ，由于 e 一 x 0，g(x)与 f(x)的零点完全一样，又 g“(x)= 0，且仅在一点 x=0 等号成立，故 g(x)严格单调增，所以 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点 当 a0 时，f(一)0，f(+)0，由连续函数零点定理，f(x)至少有一个零点，至少、至多合在一起，所以 f(x)正好有一个零点 当 a0，f(x)e 一 x =
12、a 一(1+x+ 9.设函数 f(x)在区间a，+)内连续，且当 xa 时，f“(x)l0，其中 l 为常数若 f(a)0，则在区间(a，a+ （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：二、填空题(总题数：5，分数：10.00)10.若函数 f(x)=asin x+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：f“(x)=acos x+cos 3x，因 x= =0，a=2这时 f“(x)=一 2sinx 一 3sin 3x，11.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=1）解析：解析： 12.已知 a，be，则不等式 （
13、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：eab）解析：解析：令 f(x)=13.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：14.曲线 y=ln(e 一 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=0，x= ）解析：解析：三、解答题(总题数：20，分数：40.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.f(x)在(一，+)上连续， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=f(x)一 x 0 ，则 F(x)在(一，+)上连续，且 F(x)0， bx 0 ，使得 F(
14、b)0，于是由零点定理知 )解析：17.设 T=cos n，=arccos x，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =一 nsin n(一 sin)=nsin nsin，因为 =arccos x，当x1 一 时，0，所以 )解析：18.已知 y=x 2 sin 2x，求 y (50) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此题为用导数定义去求极限，关键在于把此极限构造为广义化的导数的定义式)解析：20.已知 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.已知 f(x)是周期为 5 的连续函数
15、，它在 x=0 的某邻域内满足关系式： f(1+sin x)一 3f(1 一 sin x)=8x+(x)，其中 (x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求切线方程的关键是求斜率，因 f(x)的周期为 5，故在(6，f(6)处和点(1，f(1)处曲线有相同的斜率，根据已知条件求出 f“(1) )解析：22.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，f(x)可导，且 )解析：23.求函数的导数：y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y“=
16、 )解析：24.求函数的导数：y=e f(x) f(e x )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y“=e f(x) f“(x)f(e x )+e f(x) f“(e x )e x )解析：25.已知 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 f(t)具有二阶导数，f( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 t= )解析：27.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.函数 y=y(x)由方程 cos(x 2 +y 2 )+e x x 2 y=0 所确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程两端对 x 求导 一 sin(
17、x 2 +y 2 )(2x+2yy“)+e x 一 2xyx 2 y“=0 )解析：29.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两边取对数 )解析：30.设函数 y=f(x)由参数方程 (t一 1)所确定，其中 (t)具有二阶导数，且已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：31.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.设 y=sin 4 xcos 4 x，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 y=(sin 2 x+cos 2 x)(sin 2 xcos 2 x)=一 cos 2x， y (n) =一 2 n cos(2x+ )解析：34.设 y=e x sin x，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
