1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 1 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.不一定可导D.不连续3.设 为 f(x)=arctanx 在0，a上使用微分中值定理的中值，则 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 f(x)在 x=a 处二阶可导，则 （分数：2.00）A.-f“(a)B.f“(a)C.2f“(a)D.5.设 f
2、(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点6.设 f(x)连续可导，g(x)连续，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 既不是 f(x)极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点7.设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.一定
3、可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续8.曲线 y= （分数：2.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条9.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导数的图形如右图，则 f(x)有( ) （分数：2.00）A.两个极大点，两个极小点，一个拐点B.两个极大点，两个极小点，两个拐点C.三个极大点，两个极小点，两个拐点D.两个极大点，三个极小点，两个拐点二、填空题(总题数：5，分数：10.00)10.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_11.设两曲线 y=x 2 +ax+b 与-2y=-1+xy 3 在点(-1，1)处相切，则 a= 1，b= 2（分数：2.00）填空项 1:_填
4、空项 1:_12.设函数 y= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导，且 f“(1)=-2，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.设 x=x(t)由 sint- （分数：2.00）_17.设 x 3 -3xy+y 3 =3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点（分数：2.00）_18.x=(y)是 y=f(x)的反函数，f(x)可导，且 f“(x)= （分数：2.00）
5、_19.设 f(x)连续，(x)= （分数：2.00）_20.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足f(x)-2e x (x-1) 2 ，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性（分数：2.00）_21.设 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导， （分数：2.00）_22.设 y= （分数：2.00）_23.设 f(x)= （分数：2.00）_设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0， （分数：4.00）(1).存在 （分数：2.00）_(2).对任意的 k(-，+)，存在 (0，)，使得 f“()-kf()-=1（分数：2.00）_24.设 f(x)在0
6、，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 =0，又 f(2)= （分数：2.00）_25.设 f(x)在0，1上可导，f(0)=0，f“(x) （分数：2.00）_26.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)，使得 2e 2- =(e a +e b )f“()+f()（分数：2.00）_27.设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 （分数：2.00）_28.一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 4（分数：2.00）_考研数学二（一元
7、函数微分学）-试卷 1 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.可导 B.不可导C.不一定可导D.不连续解析：解析：不妨设 f(a)0，因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，于是存在 0，当x-a 时，有 f(x)0，于是3.设 为 f(x)=arctanx 在0，a上使用微分中值定理的中值，则 为( ) （分数：2.00）
8、A.B.C. D.解析：解析：令 f(a)-f(0)=f“()a，即 arctana=4.设 f(x)在 x=a 处二阶可导，则 （分数：2.00）A.-f“(a)B.f“(a)C.2f“(a)D. 解析：解析：5.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：由 ，得 f(0)+f“(0)=0，于是 f“(0)=0 再由6.设 f(x)连续可导，g(x)连续，且 （分数
9、：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点 D.x=0 既不是 f(x)极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点解析：解析：由 所以存在 0，当 0x 时，7.设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续 解析：解析：因为 f(x)在 x=a 处右可导，所以8.曲线 y= （分数：2.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条 解析：解析：因为 无水平渐近线； 由 有两条铅直渐近线； 由9.设函数 f(x)在(-
10、，+)内连续，其导数的图形如右图，则 f(x)有( ) （分数：2.00）A.两个极大点，两个极小点，一个拐点B.两个极大点，两个极小点，两个拐点C.三个极大点，两个极小点，两个拐点 D.两个极大点，三个极小点，两个拐点解析：解析：设当 x0 时，f“(x)与 x 轴的两个交点为(x 1 ，0)，(x 2 ，0)，其中 x 1 x 2 ；当 x0时，f“(x)与 x 轴的两个交点为(x 3 ，0)，( 4 ，0)，其中 x 3 x 4 当 xx 1 时，f“(x)0，当 x(x 1 ，x 2 )时，f“(x)0，则 x=x 1 为 f(x)的极大点；当 x(x 2 ，0)时，f“(x)0，则
11、x=x 2 为 f(x)的极小点；当 x(0，x 3 )时，f“(x)0，则 x=0 为 f(x)的极大点；当 x(x 3 ，x 4 )时，f“(x)0，则x=x 3 为 f(x)的极小点；当 xx 4 时，f(x)0，则 x=x 4 为 f(x)的极大点，即 f(x)有三个极大点，两个极小点，又 f“(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选(C)二、填空题(总题数：5，分数：10.00)10.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x(1+4x)e 8x ）解析：解析：由 f(x) 11.设两曲线 y=x 2 +a
12、x+b 与-2y=-1+xy 3 在点(-1，1)处相切，则 a= 1，b= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：因为两曲线过点(-1，1)，所以 b-a=0，又由 y=x 2 +ax+b 得 12.设函数 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由13.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2 ）解析：解析：由 =0 得 f(0)=0，f“(0)=0，则14.设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导，且 f“(1)=-2，则 （分数：2
13、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由三、解答题(总题数：15，分数：30.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：16.设 x=x(t)由 sint- （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 t=0 代入 )解析：17.设 x 3 -3xy+y 3 =3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 3 -3xy+y 3 =3 两边对 x 求导得 )解析：18.x=(y)是 y=f(x)的反函数，f(x)可导，且 f“(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析
14、：19.设 f(x)连续，(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，(x)= )解析：20.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足f(x)-2e x (x-1) 2 ，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 x=1 代入不等式中，得 f(1)=2e 当 x1 时，不等式两边同除以x-1，得)解析：21.设 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 则 y=f(x)在点(0，f(0)处的曲率为 )解析：22.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当x1
15、 时， 当 x1 时，y“=1；当 x-11 时，y“=-1； 由 得 y在 x=-1 处不连续，故 y“(-1)不存在； 因为 y“ - (1)y“ + (1)，所以 y 在 x=1 处不可导， 故 y“= )解析：23.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 c=0，即 f(x)= 由 f(x)在 x=0 处可导，得b=1，即 f(x)= 于是 )解析：设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0， （分数：4.00）(1).存在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)-x，(x)在0，1上连
16、续， ，(1)=-10，由零点定理，存在 )解析：(2).对任意的 k(-，+)，存在 (0，)，使得 f“()-kf()-=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)=e -kx (x)，显然 F(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 F(0)=F()=0，由罗尔定理，存在 (0，)，使得 F“()=0，整理得 f“()=kf()-=1)解析：24.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 =0，又 f(2)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =0，得 f(1)=-1， 由积分中值定理得 f(2)= 由罗尔定理，存在 x 0 (c，2) (1，2)
17、，使得 f“(x 0 )=0 令 (x)=e x f“(x)，则 (1)=(x 0 )=0， 由罗尔定理，存在 (1，x 0 ) )解析：25.设 f(x)在0，1上可导，f(0)=0，f“(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上可导，所以 f(x)在0，1上连续，从而f(x)在0，1上连续，故f(x)在0，1上取到最大值 M，即存在 x 0 0，1，使得f(x 0 )=M 当 x 0 =0 时，则 M=0，所以 f(x)0，x0，1； 当 x 0 0 时，M=f(x 0 )=f(x 0 )-f(0)=f“()x 0 f“() )解析：26.设 f(x)Ca，
18、b，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)，使得 2e 2- =(e a +e b )f“()+f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x f(x)，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 =e f“()+f()， 再由 f(a)=f(b)=1，得 =e f“()+f()， 从而 =(e a +e b )e f“()+f()， 令 (x)=e 2x ，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 )解析：27.设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上二阶可导，所以 f(x)
19、在0，1上连续且 f(0)=f(1)=0， =-1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在0，1取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在 c(0，1)，使得 f(c)=-1，再由费马定理知 f“(c)=0， 根据泰勒公式 f(0)=f(c)+f“(c)(0-c)+ (0-c) 2 ， 1 (0，c) f(1)=f(c)+f“(c)(1-c)+ (1-c) 2 ， 2 (c，1) 整理得 当 c 8，取 = 1 ； 当 c )解析：28.一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设运动规律为 S=S(t)，显然 S(0)=0，S“(0)=0，S(1)=1，S“(1)=0由泰勒公式 两式相减，得 S“( 2 )-S( 1 )=-8 )解析：
