1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 20 及答案解析(总分：84.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.在其有定义的任何区间(x 1 ，x 2 )内，f(x)必是单调减少的B.在点 x 1 及 x 2 处有定义，且 x 1 x 2 时，必有 f(x 1 )f(x 2 )C.在其有定义的任何区间(x 1 ，x 2 )内，f(x)必是单调增加的D.在点 x 1 及 x 2 处有定义，且 x 1 x 2 时，必有 f(x 1 )f(x 2
2、)3.设 f(x)在点 x=a 处可导，则 （分数：2.00）A.f“(a)B.2f“(a)C.0D.f“(2a)4.设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）A.f(0)=0 且 f - “(0)存在B.f(0)=1 且 f - “(0)存在C.f(0)=0 且 f + “(0)存在D.f(0)=1 且 f + “(0)存在5.设 f(x)在(一，+)内可导，且对任意 x 1 ，x 2 ，当 x 1 x 2 时，都有 f(x 1 )f(x 2 )，则 ( )（分数：2.00）A.对任意 x，f“(x)0B.对任意 x，f“(一 x)0C.函数 f(一 x)单调增加D.函数一
3、f(一 x)单调增加6.设 a 为常数，f(x)=ae x 一 1 一 x 一 （分数：2.00）A.当 a0 时 f(x)无零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点B.当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)无零点C.当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点D.当 a0 时 f(x)恰有一个零点，当 a0 时 f(x)无零点7.设函数 f(x)在区间a，+)内连续，且当 xa 时，f“(x)l0，其中 l 为常数，若 f(a)0，则在区间 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.38.设周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 （分
4、数：2.00）A.B.0C.一 1D.一 29.设函数 f(x)与 g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述： (1)若 f(x)g(x)则 f“(x)g(x)；(2)若f“(x)g(x)，则 f(x)g(x)则 ( )（分数：2.00）A.(1)，(2)都正确B.(1)，(2)都不正确C.(1)正确，但(2)不正确D.(2)正确，但(1)不正确10.两曲线 与 y=ax 2 +b 在点 处相切，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.若 f(x)在 x 0 点可导，则|f(x)|在 x 0 点 ( )（分数：2.00）A.必可导B.连续，但不一定可导C.一定不可导D.不连续二、填
5、空题(总题数：6，分数：12.00)12.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知 a，be，则不等式 （分数：2.00）填空项 1:_14.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_15.曲线 y=ln(e 一 （分数：2.00）填空项 1:_16.p(x)为二次三项式，要使得 e x =p(x)+o(x 2 )(x0)，则 p(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.曲线 y=(2x-1) （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：25，分数：50.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.已知 f(x)是周期为 5 的连续函
6、数，它在 x=0 的某邻域内满足关系式： f(1+sin x)一 3f(1 一 sin x)=8x+(x)，其中 (x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程（分数：2.00）_20.设 f(x)= （分数：2.00）_21.求函数的导数：y= （分数：2.00）_22.求函数的导数：y=e f(x) .f(e x )（分数：2.00）_23.已知 （分数：2.00）_24.设 f(t)具有二阶导数 （分数：2.00）_25. （分数：2.00）_26.函数 y=y(x)由方程 cos(x 2 +y 2 )+e x x
7、 2 y=0 所确定，求 （分数：2.00）_27.设 （分数：2.00）_28.设函数 y=f(x)由参数方程 (t一 1)所确定，其中 (t)具有二阶导数，且已知 ，证明：函数 (t)满足方程 “(t)一 （分数：2.00）_29.设 f(x)= （分数：2.00）_30. （分数：2.00）_31.设 y=sin 4 x 一 cos 4 x，求 y (n) （分数：2.00）_32.设 y=e x sin x，求 y (n) （分数：2.00）_33.设 y= （分数：2.00）_34.设 f(x)满足 f(x)+ （分数：2.00）_35.设 f(x)= （分数：2.00）_36.顶角
8、为 60，底圆半径为 a 的正圆锥形漏斗内盛满水，下接底圆半径为 b(ba)的圆柱形水桶(假设水桶的体积大于漏斗的体积)，水由漏斗注入水桶，问当漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等时，漏斗中水平面高度是多少?（分数：2.00）_37.防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图 121)，截面的面积为 5 平方米，问底宽 z 为多少时才能使建造时所用的材料最省? （分数：2.00）_38.试证明：曲线 （分数：2.00）_39.求曲线 （分数：2.00）_40.求曲线 （分数：2.00）_41.作函数 （分数：2.00）_42.求函数 y=e x cos x 的极值（分数：2.00）_考研数学二（
9、一元函数微分学）-试卷 20 答案解析(总分：84.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.在其有定义的任何区间(x 1 ，x 2 )内，f(x)必是单调减少的 B.在点 x 1 及 x 2 处有定义，且 x 1 x 2 时，必有 f(x 1 )f(x 2 )C.在其有定义的任何区间(x 1 ，x 2 )内，f(x)必是单调增加的D.在点 x 1 及 x 2 处有定义，且 x 1 x 2 时，必有 f(x 1 )f(x 2 )解析
10、：解析：f(x)的定义域是(一，3)(3，+)，3.设 f(x)在点 x=a 处可导，则 （分数：2.00）A.f“(a)B.2f“(a) C.0D.f“(2a)解析：解析：凑导数定义，4.设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）A.f(0)=0 且 f - “(0)存在B.f(0)=1 且 f - “(0)存在C.f(0)=0 且 f + “(0)存在 D.f(0)=1 且 f + “(0)存在解析：解析：因为 f(x)在 x=0 处连续，且 ，所以 f(0)=0从而有5.设 f(x)在(一，+)内可导，且对任意 x 1 ，x 2 ，当 x 1 x 2 时，都有 f(x 1
11、 )f(x 2 )，则 ( )（分数：2.00）A.对任意 x，f“(x)0B.对任意 x，f“(一 x)0C.函数 f(一 x)单调增加D.函数一 f(一 x)单调增加 解析：解析：根据单调性的定义直接可以得出(D)项正确6.设 a 为常数，f(x)=ae x 一 1 一 x 一 （分数：2.00）A.当 a0 时 f(x)无零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点B.当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)无零点C.当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点D.当 a0 时 f(x)恰有一个零点，当 a0 时 f(x)无零点 解析：解析：本题考
12、查一元微分学的应用，讨论函数的零点问题令 g(x)=f(x)e -x = 由于 e -x 0，g(x)与 f(x)的零点完全一样，又 且仅在一点 x=0 等号成立，故 g(x)严格单调增，所以 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点当 a0 时，f(一)0，f(+)0，由连续函数零点定理，f(x)至少有一个零点，至少、至多合在一起，所以 f(x)正好有一个零点 7.设函数 f(x)在区间a，+)内连续，且当 xa 时，f“(x)l0，其中 l 为常数，若 f(a)0，则在区间 （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：对于 f(x)在 上使用拉格朗日中值定理，得 由
13、 f“(x)l0，得 由于 f“(x)0(xa)，所以 f(x)在8.设周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 （分数：2.00）A.B.0C.一 1D.一 2 解析：解析：因为函数 f(x)周期为 4，曲线在点(5，f(5)处的切线斜率与曲线在点(1，f(1)处的切线斜率相等，根据导数的几何意义，曲线在点(1，f(1)处的切线斜率即为函数 f(x)在点 x=1 处的导数9.设函数 f(x)与 g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述： (1)若 f(x)g(x)则 f“(x)g(x)；(2)若f“(x)g(x)，则 f(x)g(x)则 ( )（分数：2.00）A.(1)，(2)
14、都正确B.(1)，(2)都不正确 C.(1)正确，但(2)不正确D.(2)正确，但(1)不正确解析：解析：考虑 f(x)=e -x 与 g(x)=一 e -x ，显然 f(x)g(x)，但 f(x)=一 e -x ，g“(x)=e -x ,f“(x)g(x)，(1)不正确将 f(x)与 g(x)交换可说明(2)不正确10.两曲线 与 y=ax 2 +b 在点 处相切，则 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：因两曲线相切于点 ，故相交于该点将 x=2，y= 代人 y=ax 2 +b 中得 =4a+b，又因为相切于该点，故切线斜率相等，即导数相等，所以 将 x=2 代入得 11
15、.若 f(x)在 x 0 点可导，则|f(x)|在 x 0 点 ( )（分数：2.00）A.必可导B.连续，但不一定可导 C.一定不可导D.不连续解析：解析：函数 f(x)=x 在 x=0 处可导，但|f(x)|=|x|在 x=0 处不可导，排除(A)函数 f(x)=x 2 在x=0 处可导，|f(x)|=|x 2 |在 x=0 处也可导，排除(C)，(D)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)12.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=1）解析：解析：13.已知 a，be，则不等式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：eab）解析：解析：1
16、4.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 15.曲线 y=ln(e 一 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=0*和 y=1）解析：解析：因为 ，x=0 为铅直渐近线16.p(x)为二次三项式，要使得 e x =p(x)+o(x 2 )(x0)，则 p(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 p(x)=ax 2 +bx+c，由题意知，当 x0 时，e x 一 p(x)=o(x 2 )，由于 e x =1+x+ +o(x 2 )，于是 e x 一 p(x)=(1-x)+(1b)x+ +o
17、(x 2 ) 17.曲线 y=(2x-1) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=2x+1）解析：解析：三、解答题(总题数：25，分数：50.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某邻域内满足关系式： f(1+sin x)一 3f(1 一 sin x)=8x+(x)，其中 (x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求切线方程的关键是求斜率，因 f(
18、x)的周期为 5，故在(6，f(6)处和点(1，f(1)处曲线有相同的斜率，根据已知条件求出 f“(1) )解析：20.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，f(x)可导，且 显然，当 x0 时，f“(x)连续 )解析：21.求函数的导数：y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.求函数的导数：y=e f(x) .f(e x )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=e f(x) .f“(x)f(e x )+e f(x) .f“(e x )e x )解析：23.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 f(
19、t)具有二阶导数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：25. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两边取对数，得 两边同时对 x 求导，得 )解析：26.函数 y=y(x)由方程 cos(x 2 +y 2 )+e x x 2 y=0 所确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程两端对 x 求导 一 sin(x 2 +y 2 )(2x+2yy)+e x 一 2xyx 2 y=0， )解析：27.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两边取对数 )解析：28.设函数 y=f(x)由参数方程 (t一 1)所确定，其中 (t)具有二阶导数，且已知 ，证明：
20、函数 (t)满足方程 “(t)一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：29.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因当 0 时，极限 不存在而当 0 时, ，故 0 时，f(x)在 x=0 处连续 当 一 10 时，即 1 时，f“(0)=0，f(x)在 x=0 处可导 )解析：30. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设 y=sin 4 x 一 cos 4 x，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 y=(sin 2 x+cos 2 x)(sin 2 xcos 2 x)=一 cos 2x， )解析：32.设
21、 y=e x sin x，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：34.设 f(x)满足 f(x)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程两边同时对 x 求导得 式两边同时对 x 求导得 )解析：35.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：36.顶角为 60，底圆半径为 a 的正圆锥形漏斗内盛满水，下接底圆半径为 b(ba)的圆柱形水桶(假设水桶的体积大于漏斗的体积)，水由漏斗注入水桶，问当漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等时，漏斗中水平面高度是多少?
22、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设在时刻 t，漏斗中水平面的高度为 h，水量为 p，水桶中水平面的高度为 H，水量为 q(如图 121)，则 因为这两部分水量的总和应为开始漏斗盛满水时的水量，所以 因为下降的速度与上升的速度方向相反，所以当 得 h 2 =3b 2 ，故 h= 时漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等 )解析：37.防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图 121)，截面的面积为 5 平方米，问底宽 z 为多少时才能使建造时所用的材料最省? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设截面周长为 S，矩形高为 y，则 由问题的实际意义知，截面周长必有最小值，并且就在此驻
23、点处取得，因此当底宽为 )解析：38.试证明：曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：39.求曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 t1，t一 1 或 t时，都有 x 当 t1 时， 当 t一 1时， 当 t时， 所以，曲线 有三条斜渐近线，分别是 )解析：40.求曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：写为参数方程形式 当且仅当 时，才有 x所以曲线至多有一条斜渐近线，由于 )解析：41.作函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：定义域(一，0)(0，+)，无周期性无奇偶性 列表 作图(如图 122) )解析：42.求函数 y=e x cos x 的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
