1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 22 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知函数 y=f(x)对一切的 x 满足 xf“(x)+3xf“(x)3 2 =1 一 e -x ，若 f“x 0 )=0(x 0 0)，则( )（分数：2.00）A.f(x 0 )是 f(x)的极大值。B.f(x 0 )是 f(x)的极小值。C.(x 0 ,f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点。D.f(x 0 )不是 f(x)的极值，(x 0 ,f(x 0 )也不是曲
2、线 y=f(x)的拐点。3.设 （分数：2.00）A.f(x)的导数存在，且 f“(a)0B.f(x)取得极大值C.f(x)取得极小值D.f(x)的导数不存在4.设 f(x)具有二阶连续导数，且 f“(1)=0， （分数：2.00）A.f(1)是 f(x)的极大值。B.f(1)是 f(x)的极小值。C.(1,f(1)是曲线 f(x)的拐点。D.f(1)不是 f(x)的极值，(1,f(1)也不是曲线 f(x)的拐点。5.已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 （分数：2.00）A.不可导B.可导且 f“(0)0C.取得极大值D.取得极小值6.设 f(x)有二阶连续导数，且 （分数：2.0
3、0）A.f(0)是 f(x)的极大值。B.f(0)是 f(x)的极小值。C.(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。D.f(0)不是 f(x)的极值，(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。7.设 f(x)在a，b上可导 f“(a)f“(b)0，则至少存在一点 x 0 (a，b)使( )（分数：2.00）A.f(x 0 )f（A）。B.f(x 0 )f（B）。C.f“(x 0 )=0。D.8.曲线 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.39.曲线 （分数：2.00）A.既有垂直又有水平与斜渐近线。B.仅有垂直渐近线。C.只有垂直与水平渐近线。D.只有垂直与斜渐近线。10.若 f“(x
4、)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为 x 2 +y 2 =2，则函数 f(x)在区间(1，2)内( )（分数：2.00）A.有极值点，无零点。B.无极值点，有零点。C.有极值点，有零点。D.无极值点，无零点。二、填空题(总题数：12，分数：24.00)11.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_12.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.曲线 ,上对应于 （分数：2.00）填空项 1:_14.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_15.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_16.曲线 （分数：2.00）填空项 1
5、:_17.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_18.设曲线 y=f(x)与 y=x 2 一 x 在点(1，0)处有公共的切线，则 （分数：2.00）填空项 1:_19.已知一个长方形的长 l 以 2 cms 的速率增加，宽 w 以 3cms 的速率增加。则当 l=12 cm，w=5 cm 时，它的对角线增加速率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.设函数 y(x)由参数方程 （分数：2.00）填空项 1:_21.设 y=y(x)是由方程 2y 3 一 2y 2 +2xy 一 x 2 =1 确定的，则 y=y(x)的极值点是 1。（分数：2.00）填空项
6、1:_22.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_24.设函数 f(x)在0，上连续，且 0 f(x)sindx=0， 0 f(x)cosxdx=0。证明在(0，)内 f(x)至少有两个零点。（分数：2.00）_25.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值 f（A）=g(a),f(bb)=g(b)，证明存在 (a，b)，使得 f“()=g“()。（分数：2.00）_26.(I)证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则
7、存在 (a，b)，使得 f（B）-f（A）=f“()(b 一 a)； ()证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)(0)内可导，且 （分数：2.00）_设奇函数 f(x)在一 1，1上具有二阶导数，且 f(1)=1，证明：（分数：4.00）(1).存在 (0，1)，使得 f“()=1；（分数：2.00）_(2).存在 (一 1，1)，使得 f“()+f“()=1。（分数：2.00）_27.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 证明：存在 （分数：2.00）_28.设 eabe 2 ，证明 （分数：2.00）_29.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b
8、)上可导，且 f（A）=f（B）=1，证明：必存在 ，(a，b)，使得 e - f()+f“()=1。（分数：2.00）_30.证明函数恒等式 （分数：2.00）_31.设函数 f(x)在(0，+)上二阶可导，且 f“(x)0，记 u n =f(n)，n=1，2，又 u 1 u 2 ，证明 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）-试卷 22 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知函数 y=f(x)对一切的 x 满足 xf“(x)+3x
9、f“(x)3 2 =1 一 e -x ，若 f“x 0 )=0(x 0 0)，则( )（分数：2.00）A.f(x 0 )是 f(x)的极大值。B.f(x 0 )是 f(x)的极小值。 C.(x 0 ,f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点。D.f(x 0 )不是 f(x)的极值，(x 0 ,f(x 0 )也不是曲线 y=f(x)的拐点。解析：解析：由 f“(x 0 )=0 知，x=x 0 是 y=f(x)的驻点。将 x=x 0 代入方程，得 x 0 f“(x 0 )+3x 0 f“(x 0 ) 2 =1 一 e -x0 ，即得 3.设 （分数：2.00）A.f(x)的导数存在，且 f“(a
10、)0B.f(x)取得极大值 C.f(x)取得极小值D.f(x)的导数不存在解析：解析：利用赋值法求解。取 f(x)一 f（A）=一(x 一 a) 2 ，显然满足题设条件，而此时 f(x)为一开口向下的抛物线，必在其顶点 x=a 处取得极大值，故选 B。4.设 f(x)具有二阶连续导数，且 f“(1)=0， （分数：2.00）A.f(1)是 f(x)的极大值。B.f(1)是 f(x)的极小值。 C.(1,f(1)是曲线 f(x)的拐点。D.f(1)不是 f(x)的极值，(1,f(1)也不是曲线 f(x)的拐点。解析：解析：选取特殊函数 f(x)满足5.已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，
11、且 （分数：2.00）A.不可导B.可导且 f“(0)0C.取得极大值D.取得极小值 解析：解析：因当 x0 时， ，故极限条件等价于 6.设 f(x)有二阶连续导数，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值。B.f(0)是 f(x)的极小值。 C.(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。D.f(0)不是 f(x)的极值，(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。解析：解析：根据极限的保号性，由 可知，存在 x=0 的某邻域 U 3 (0)，使对任意 xU a (0)，都有 7.设 f(x)在a，b上可导 f“(a)f“(b)0，则至少存在一点 x 0 (a，b)使( )（
12、分数：2.00）A.f(x 0 )f（A）。B.f(x 0 )f（B）。C.f“(x 0 )=0。 D.解析：解析：根据题意，不妨设 f（a）0,f（b）0。由 可知，存在 x=a 的右邻域 8.曲线 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析：本题的解题思路是，先利用曲线渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后再分别判断。 所以 y=0 是曲线的水平渐近线；因为 所以 x=0 是曲线的垂直渐近线；又因为9.曲线 （分数：2.00）A.既有垂直又有水平与斜渐近线。 B.仅有垂直渐近线。C.只有垂直与水平渐近线。D.只有垂直与斜渐近线。解析：解析：函数 y 的定义域
13、为(一，一 3)U0，+)，且只有间断点 x=一 3，又 ，所以 x=一 3是曲线的垂直渐近线。x0 时，10.若 f“(x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为 x 2 +y 2 =2，则函数 f(x)在区间(1，2)内( )（分数：2.00）A.有极值点，无零点。B.无极值点，有零点。 C.有极值点，有零点。D.无极值点，无零点。解析：解析：根据题意 f(x)是一个凸函数，因此 f“(x)0，在点(1，1)处的曲率二、填空题(总题数：12，分数：24.00)11.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在点 处的切线的斜率为： ， 在
14、曲线方程两端分别对 x 求导，得 因此所求的切线方程为12.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x 一 1）解析：解析：由题干可知，所求切线的斜率为 1。 由13.曲线 ,上对应于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题考查参数方程求导及导数的几何意义。 因为 即曲线在对应于 的点的切线斜率为 又因为切线和法线的斜率互为负倒数，故曲线在对应于 的点的法线斜率为14.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=2x）解析：解析： 所以15.曲线 （分数
15、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 由此可得法线的斜率为一 1，因此可得法线方程为16.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=一 2x）解析：解析：方程两边对 x 求导，可得17.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：18.设曲线 y=f(x)与 y=x 2 一 x 在点(1，0)处有公共的切线，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：本题主要考查导数的极限表示和曲线在某点的切线的几何意义。19.已知一个长方形的长 l 以 2
16、 cms 的速率增加，宽 w 以 3cms 的速率增加。则当 l=12 cm，w=5 cm 时，它的对角线增加速率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3cm/s）解析：解析：设 l=x(t)，w=y(t)，对角线增加的速率为 s(t)。根据题意，在 t=t 0 时，x(t 0 )=12，y(x 0 )=5，且 x“(t 0 )=2，y“(t 0 )=3。 20.设函数 y(x)由参数方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一，1)）解析：解析：本题主要考查参数方程曲线的凹凸性。 21.设 y=y(x)是由方程 2y 3 一 2y 2 +2xy
17、 一 x 2 =1 确定的，则 y=y(x)的极值点是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=1）解析：解析：方程两边对 x 求导，可得 y“(3y 2 一 2y+x)=x 一 y 1 (*)令 y“=0，有 x=y，代入 2y 3 一 2y 2 +2xy 一 x 2 =1 中，可得(x 一 1)(2x 2 +x+1)=0，那么 x=1 是唯一的驻点。下面判断 x=1 是否是极值点：对(*)式求导得 y“(3y 2 2y+x)+y“(3y 2 一 2y+x) x “=1 一 y“。把 x=y=1，y“(1)=0 代入上式，得 22.设 （分数：2.00）填空项 1:_
18、 （正确答案：正确答案： ）解析：解析：对 f(x)求导 f“(x)=e -x2 2x=0，得 x=0。当 x0 时 f“(x)0；当 x0 时 f“(x)0。所以极小值点为 x=0，极小值为 f(0)=0。又因 f“(x)=2e -x4 (14x 4 )=0，可得 当 时 f“(x)0.故拐点坐标为 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：24.设函数 f(x)在0，上连续，且 0 f(x)sindx=0， 0 f(x)cosxdx=0。证明在(0，)内 f(x)至少有两个零点。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：反证法，
19、如果 f(x)在(0，)内无零点(或有一个零点，但 f(x)不变号，证法相同)，即 f(x)0(或0)，由于在(0，)内，有 sinx0，因此，必有 0 f(x)sinxdx0(或0)。这与假设相矛盾。如果 f(x)在(0，)内有一个零点，而且改变一次符号，设其零点为 a(0，)，于是在(0，a)与(a，)内 f(x)sin(x 一 a)同号，因此 f(x)sin(x 一 a)dx0.但是，另一方面 0 f(0)sin(x 一 a)dx= 0 f(x)(sinxcosa 一 cosxsina)dx=cos 0 f(x)sinxdx 一 sina 0 f(x)cosxdx=0。这个矛盾说明 f(
20、x)也不可能在(0，)内只有一个零点，因此它至少有两个零点。)解析：25.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值 f（A）=g(a),f(bb)=g(b)，证明存在 (a，b)，使得 f“()=g“()。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造辅助函数 F(x)=f(x)一 g(x)，由题设有 F（A）=F（B）=0.又 f(x)，g(x)在(a，b)内具有相等的最大值，不妨设存在 x 1 x 2 ，x 1 ，x 2 (a，b)使得 )解析：26.(I)证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，
21、b)，使得 f（B）-f（A）=f“()(b 一 a)； ()证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)(0)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)作辅助函势 ，易验证 (x)满足：(a)=(b)；(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导， 根据罗尔定理，可得在(a，b)内至少有一点 ，使 “()=0，即 所以 f（B）-f（A）=f“()(ba)。任取 x 0 (0，)，则函数 f(x)满足在闭区间0，x 0 上连续，开区间(0，x 0 )内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存在 0 (0，x 0 )c(0，)，使得 又由于 ，对(*)式两边取 x
22、 0 0+时的极限： )解析：设奇函数 f(x)在一 1，1上具有二阶导数，且 f(1)=1，证明：（分数：4.00）(1).存在 (0，1)，使得 f“()=1；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=f(x)一 x，则 F“(x)=f“(x)一 1，且 F(0)=f(0)=0，F(1)=f(1)一 1=0，由罗尔定理知，存在 (0，1)，使得 F“()=0，即 f“()=1。)解析：(2).存在 (一 1，1)，使得 f“()+f“()=1。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 G(x)=e x f“(x)一 1，由(I)知，存在 (0，1)，使 G()=0，又因为
23、 f(x)为奇函数，故 f“(x)为偶函数，知 G(一 )=0，则存在 (一 ，)c(一 1，1)，使得 G“()=0，即 e f“()一 1+e f ()=0，即 f“()+f“()=1。)解析：27.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 证明：存在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 则 F(1)=F(0)=0。在区间 上分别应用拉格朗日中值定理， )解析：28.设 eabe 2 ，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对函数 y=ln 2 x 在a，b上应用拉格朗 r 日中值定理，得 )解析：29.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)
24、上可导，且 f（A）=f（B）=1，证明：必存在 ，(a，b)，使得 e - f()+f“()=1。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)=e x f(x)，由已知 f(x)及 e x 在a，b上连续，在(a，b)内可导，均满足拉格朗日中值定理条件，因此存在 ，(a，b)，使得 F（B）一 F（A）=e b f（B）一 e a f（A） =F“()(ba) =e f“()+f()(ba) 及 e b 一 e a =e (ba)。将以上两式相比，且由f（A）=f（B）=1，整理后有 e - f()+f“()=1。)解析：30.证明函数恒等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答
25、案：令 ，要证 f(x)=g(x)在 x(一 1，1)时成立，只需证明： f(x)，g(x)在(一 1，1)内可导，且当 x(一 1，1)时 f“(x)=g“(x)； 存在 x 0 (一 1，1)，使得 f(x 0 )=g(x 0 )。由初等函数的性质知,f(x)与 g(x)都在(一 1，1)内可导，且容易计算得到 )解析：31.设函数 f(x)在(0，+)上二阶可导，且 f“(x)0，记 u n =f(n)，n=1，2，又 u 1 u 2 ，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对函数 f(x)分别在区间k，k+1(k=1，2，n，)上使用拉格朗日中值定理 u 2 一 u 1 =f
26、(2)一 f(1)=f“( 1 )0，1 1 2， u n-1 一 u n-2 =f(n 一 1)一 f(n 一 2)=f“( n-2 )，n 一 2 n-2 n 一 1，u n 一 u n-1 =f(n)一 f(n 一 1)=f“( n-1 )，n 一 1 n-1 n。因 f“(x)0，故 f“(x)严格单调增加，即有 f“( n-1 )f“( n-2 )f“( 2 )f“( 1 )=u 2 一 u 1 ，则 u n =(u n 一 u n-1 )+(u n-1 一 u n-2 )+(u 2 一 u 1 )+u 1 =f“( n-1 )+f“( n-2 )+f“( 1 )+u 1 f“( 1 )+f“( 1 )+f“( 1 )+u 1 =(n 一 1)(u 2 一 u 1 )+u 1 ， 于是有 )解析：
