1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 24 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)在x 内有定义且f(x)x 3 ，则 f(x)在 x=0 处( )（分数：2.00）A.不连续B.连续但不可微C.可微且 f“(0)=0D.可微但 f“(0)03.设 y=y(x)由 x= （分数：2.00）A.2e 2B.2e -2C.e 2 -1D.e -2 -14.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.导
2、数连续5.设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 f(x)x 3 -1g(x)，其中 g(x)连续，则 g(1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件7.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，若 （分数：2.00）A.不可导B.可导但 f“(0)0C.取极大值D.取极小值8.设 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(
3、-，0)内单调减少C.对任意的 x(-，0)，有 f(x)f(0)D.对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.设 y=x 5 +5 x -tan(x 2 +1)，则 y“= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)一阶可导，且 f(0)=f“(0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)在 x=a 处可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_13.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)=ln(2x 2 -x-1)，则 f (n)
4、(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.y=e x 在 x=0 处的曲率半径为 R= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f(x)=g(a+bx)-g(a-bx)，其中 g“(a)存在，求 f“(0)（分数：2.00）_18.设 f(x)=x-ag(x)，其中 g(x)连续，讨论 f“(a)的存在性（分数：2.00）_19.设 （分数：2.00）_20.设 y= （分数：2.00）_21.设 y= （分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.设 f(
5、x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+100)，求 f“(0)（分数：2.00）_24.设 y=ln(2+3 -x )，求 dy x=0（分数：2.00）_25.设 f(x)可导且 f“(0)0，且 （分数：2.00）_26.设 y=y(x)由方程 e x +6xy+x 2 -1=0 确定，求 y“(0)（分数：2.00）_27.由方程 sinxy+In(y-x)=x 确定函数 y=y(x)，求 （分数：2.00）_28.求 （分数：2.00）_29.设 y=x 2 lnx，求 y (n)（分数：2.00）_30.设 f(x)= （分数：2.00）_31.设 （分数：2.00）_考研数学
6、二（一元函数微分学）-试卷 24 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)在x 内有定义且f(x)x 3 ，则 f(x)在 x=0 处( )（分数：2.00）A.不连续B.连续但不可微 C.可微且 f“(0)=0D.可微但 f“(0)0解析：解析：显然 f(0)=0，且 =0，所以 f(x)在 x=0 处连续 又由f(x)x 2 得 0 x，根据夹逼定理得 3.设 y=y(x)由 x= （分数：2.00）A.2e 2 B.2e -2C.
7、e 2 -1D.e -2 -1解析：解析：当 x=0 时，由4.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.导数连续 解析：解析：因为 =f(0)=0，所以 f(x)在 x=0 处连续；5.设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：设 f(x)= ，而 f(x)在 x=0 处不可导，(A)不对；6.设 f(x)x 3 -1g(x)，其中 g(x)连续，则 g(1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( )（分数：2.00）A.充分条
8、件B.必要条件C.充分必要条件 D.非充分非必要条件解析：解析：设 g(1)=0，f“ - (1)= .(x 2 +x+1)g(x)=0， 因为 f“ - (1)=f“ + (1)=0，所以f(x)在 x=1 处可导 设 f(x)在 x=1 处可导， 7.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，若 （分数：2.00）A.不可导B.可导但 f“(0)0C.取极大值D.取极小值 解析：解析：由 得 f(0)=0， 由极限保号性，存在 0，当 0x 时，8.设 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(-，0)内单调减少C
9、.对任意的 x(-，0)，有 f(x)f(0)D.对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0) 解析：解析：因为 f“(0)= 所以由极限的保号性，存在 0，当 0x 时，二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.设 y=x 5 +5 x -tan(x 2 +1)，则 y“= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5x 4 +5 x ln5-2xsec 2 (x 2 +1)）解析：10.设 f(x)一阶可导，且 f(0)=f“(0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：11.设 f(x)在 x=a 处可导，则 （分数：2.00）
10、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10f(a)f“(a)）解析：解析：因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，于是12.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 得 f(0)=0，f“(0)=1， 于是13.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=-2x+1）解析：解析：在点(0，1)处 t=0，14.设 f(x)=ln(2x 2 -x-1)，则 f (n) (x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f(x)=ln2x+1)(x-1
11、=ln(2x+1)+ln(x-1)，f“(x)=15.y=e x 在 x=0 处的曲率半径为 R= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：y“(0)=1，y“(0)=1，则曲线 y=e x 在 x=0 处的曲率为 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f(x)=g(a+bx)-g(a-bx)，其中 g“(a)存在，求 f“(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 f(x)=x-ag(x)，其中 g(x)连续，讨论 f“(a)的存在性（分数：
12、2.00）_正确答案：(正确答案：由 =-g(a)得 f“(a)=-g(a)； 由 )解析：19.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：21.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+100)，求 f“(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 由 f“(x)=(x-1)(x+2)(x+100)+x(x+2)(x+100)+x(x-1)(x-99)， 得 f
13、“(0)=(-1).2.(-3).100=100! 方法二 f“(0)= )解析：24.设 y=ln(2+3 -x )，求 dy x=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：25.设 f(x)可导且 f“(0)0，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：26.设 y=y(x)由方程 e x +6xy+x 2 -1=0 确定，求 y“(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 x=0 代入得 y=0， e y +6xy+x 2 -1=0 两边对 x 求导得 将 x=0，y=0 代入得 y“(0)=0 )解析：27.由方程 sinxy+In(y-x)=x
14、确定函数 y=y(x)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 x=0 代入 sinxy+ln(y-x)=x 得 y=1，sinxy+ln(y-x)=x 两边对 x 求导得 cosxy将 x=0，y=1 代入得 )解析：28.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：29.设 y=x 2 lnx，求 y (n)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= 由 A(2x+1)+B(x-2)=4x-3 得 ，解得 A=1，B=2， 即 f(x)=)解析：31.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
