1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 3 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 (x)在a，b上连续，且 (x)0，则函数 y=(x)= a b |x 一 t|(t)dt 的图形 ( )（分数：2.00）A.在(a，b)内为凸B.在(a，b)内为凹C.在(a，b)内有拐点D.在(a，b)内有间断点3.f(x)= （分数：2.00）A.F(x)为 f(x)的一个原函数B.F(x)在(一，+)上可微，但不是 f(x)的原函数C.F(x)在(一，+)上不连续
2、D.F(x)在(一，+)上连续，但不是 f(x)的原函数4.则在(一，+)内，下列正确的是 ( ) （分数：2.00）A.f(x)不连续且不可微，F(x)可微，且为 f(x)的原函数B.f(x)不连续，不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数C.f(x)和 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数D.f(x)连续，且 F(x)=f(x)5.设 F(x)= x x+2 e sint sintdt，则 F(x) ( )（分数：2.00）A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数6.设 f(x)是以 l 为周期的周期函数，则 a+kl a+(k+l)l f(x)dx
3、之值 ( )（分数：2.00）A.仅与 a 有关B.仅与 a 无关C.与 a 及 k 都无关D.与 a 及 k 都有关二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7. 0 + xe -x dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设两曲线 y=f(x)与 y= 0 arctanx 在点(0，0)处有相同的切线，则 （分数：2.00）填空项 1:_10. （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)是连续函数，且 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(3x+1)= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 （分数：2.00
4、）填空项 1:_14.设 （分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.已知 I()= （分数：2.00）_18.求不定积分 （分数：2.00）_19.求不定积分(arcsin x) 2 dx（分数：2.00）_20.设函数 f(x)连续，且 0 x tf(2xt)dt= （分数：2.00）_21.设 f(x)具有二阶导数，且 f“(x)0又设 u(t)在区间0，a(或a，0)上连续，试证明： （分数：2.00）_22.设 f(x)在闭区间a，b上
5、具有连续的二阶导数，且 f(a)=f(b)=0，当 x(a，b)时，f(x)0试证明：（分数：2.00）_23.设 f(x)在0，1上连续，且 0 1 f(x)dx=0， 0 1 xf(x)dx=1试证明： (1)存在 x 1 0，1使得|f(x 1 )|4； (2)存在 x 2 0，1使得| f(x 2 )|=4（分数：2.00）_24.设 f(x)在a，b上存在二阶导数试证明：存在 ，(a，b)，使 （分数：2.00）_25.(1)设 f(x)是以 T 为周期的连续函数，试证明： 0 x f(t)dt 可以表示为一个以 T 为周期的函数 (x)与kx 之和，并求出此常数 k； (2)求(1
6、)中的 (3)以x表示不超过 x 的最大整数，g(x)=x 一x，求 （分数：2.00）_26.设在区间e，e 2 上，数 p，q 满足条件 px+qln x，求使得积分 I(p，q)= （分数：2.00）_27.设 f(x)在区间1，+)上单调减少且非负的连续函数 一 0 n f(x)dx(n=1，2，) (1)证明：(2)证明：反常积分 1 + f(x)dx 与无穷级数 （分数：2.00）_28.设 xOy 平面上有正方形 D=(x，y)|0x1，0y1)及直线 l：x+y=t(t0)若 S(t)表示正方形 D位于直线 l 左下方部分的面积，试求 0 x S(t)dt(x0)（分数：2.0
7、0）_29.设 f(x)在0，+)上连续，0ab，且 收敛，其中常数 A0试证明： （分数：2.00）_30.求曲线 （分数：2.00）_31.设 D 是由曲线 y=sin x+1 与三条直线 x=0，x=，y=0 所围成的曲边梯形，求 D 绕 z 轴旋转一周所围成的旋转体的体积（分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）-试卷 3 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 (x)在a，b上连续，且 (x)0，则函数 y=(x)= a b |x
8、一 t|(t)dt 的图形 ( )（分数：2.00）A.在(a，b)内为凸B.在(a，b)内为凹 C.在(a，b)内有拐点D.在(a，b)内有间断点解析：解析：先将 (x)利用|xt|的分段性分解变形，有 (x)= a x (x 一 t)(t)dt+ x b (t 一 x)(t)dt=s a x (t)dt 一 a x t(t)dt+ x b t(t)dtx x b (t)dt 因为 (t)在a，b上连续，所以 (x)可导，因而答案不可能是(D)为讨论其余三个选项，只需求出 “(x)，讨论 “(x)在(a，b)内的符号即可因 “(x)= a x (t)dt 一 x b (t)dt， “(x)=
9、2(x)0，xa，b，故 y=(x)的图形为凹直选(B)3.f(x)= （分数：2.00）A.F(x)为 f(x)的一个原函数B.F(x)在(一，+)上可微，但不是 f(x)的原函数C.F(x)在(一，+)上不连续D.F(x)在(一，+)上连续，但不是 f(x)的原函数 解析：解析：请看通常的解法： 求积分并用连续性确定积分常数，可得 4.则在(一，+)内，下列正确的是 ( ) （分数：2.00）A.f(x)不连续且不可微，F(x)可微，且为 f(x)的原函数 B.f(x)不连续，不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数C.f(x)和 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的
10、一个原函数D.f(x)连续，且 F(x)=f(x)解析：解析：可以验证 x=0 为 f(x)的第二类间断点，因为： 故 x=0 为 f(x)的第二类振荡间断点，可能存在原函数 通过计算5.设 F(x)= x x+2 e sint sintdt，则 F(x) ( )（分数：2.00）A.为正常数 B.为负常数C.恒为零D.不为常数解析：解析：因 e sinx sin x 是以 2 为周期的周期函数，所以 6.设 f(x)是以 l 为周期的周期函数，则 a+kl a+(k+l)l f(x)dx 之值 ( )（分数：2.00）A.仅与 a 有关B.仅与 a 无关C.与 a 及 k 都无关 D.与 a
11、 及 k 都有关解析：解析：因为 f(x)是以 l 为周期的周期函数，所以 a+kl a+(k+1)l f(x)dx= kl (k+1)l f(x)dx= 0 l f(x)dx，故此积分与 a 及 k 都无关二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7. 0 + xe -x dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：原积分=一 0 + xde -x =xe -x | 0 + + 0 + e -x dx= 0 + e -x dx=一 e -x | 0 + =18.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：sin 2 0
12、x f(u)du）解析：解析： 0 x sin 2 0 t f(u)dudt 是形如 0 x (t)dt 形式的变上限积分，由 9.设两曲线 y=f(x)与 y= 0 arctanx 在点(0，0)处有相同的切线，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由已知条件知 f(0)=0，f“(0)= =1，故得10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：显然 积分难以积出考虑积分中值定理， 其中 x 介于 a，a+a 之间所以 11.设 f(x)是连续函数，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解
13、析：要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导等式两边对 x 求导得 f(x 3 一 1).3x 2 =1，f(x 3 一 1)= 令 x=2，即得 f(7)= 12.设 f(3x+1)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 3x+1=t， 所以13.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： 14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 1 e xf(x)dx= 1 e xdf(x)=xf(x)| 1 e 一 1 e f(x)dx 15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正
14、确答案：正确答案：ln 3）解析：解析：三、解答题(总题数：16，分数：32.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.已知 I()= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 0，1 时， (2)当 =1 时， (3)当 =一 1 时， (4)当 =0 时， I()= 0 sin xdx=2综上， )解析：18.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求不定积分(arcsin x) 2 dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设函数 f(x)连续，且 0 x tf(2xt)dt= （
15、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u=2x 一 t，则 t=2x 一 u，dt=一 du当 t=0 时，u=2x；当 t=x 时，u=x故 0 x tf(2x 一 t)dt=一 2x x (2x-u)f(u)du=2x x 2x f(u)du 一 x 2x uf(u)du， 由已知得 2x x 2x f(u)du x 2x uf(u)du= arctan x 2 ，两边对 x 求导，得 2 x 2x f(u)du+2x2f(2x)一 f(x)一2xf(2x).2 一 xf(x)= ， )解析：21.设 f(x)具有二阶导数，且 f“(x)0又设 u(t)在区间0，a(或a，0)上连续
16、，试证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件 f“(x)0，想到将 f(x)在某 x 0 处展成拉格朗日余项泰勒公式，然后丢弃f“()得到一个不等式以处理之 由泰勒公式 f(x)=f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 )+ f“()(xx 0 ) 2 f(x 0 )+f“(x 0 )(x 一 x 0 )， 介于 x 与 x 0 之间 以 x=u(t)代入并两边对 t 从 0 到 a 积分，其中暂设 a0，于是有 0 a f(u(t)dtaf(x 0 )+f“(x 0 )( 0 a u(t)dt-x 0 a) 若 a0，则有 0 a f(u(t)dtaf(x 0 )+f“
17、(x 0 )( 0 a u(t)dt-x 0 a) )解析：22.设 f(x)在闭区间a，b上具有连续的二阶导数，且 f(a)=f(b)=0，当 x(a，b)时，f(x)0试证明：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 x 0 (a，b)如分析中所说，有 在区间a，x 0 与x 0 ，b上对 f(x)分别用拉格朗日中值公式，有 记 (x)=(b-x)(x-a)=-x 2 +(a+b)x 一 ab，axbmax(x)= 所以 )解析：23.设 f(x)在0，1上连续，且 0 1 f(x)dx=0， 0 1 xf(x)dx=1试证明： (1)存在 x 1 0，1使得|f(x 1 )|4； (
18、2)存在 x 2 0，1使得| f(x 2 )|=4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)若|f(x)|M，由 f(x)的连续性知要么 f(x)M，要么 f(x)一 M 均与 0 1 f(x)dx=0 不符故必存在 x 0 0，1使|f(x 0 )|M 所以 )解析：24.设 f(x)在a，b上存在二阶导数试证明：存在 ，(a，b)，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 a b f(t)dt 看成变限函数，用泰勒公式，设法消去式中不出现的项即可 (1)令 将 (x)在 x=x 0 处展开成泰勒公式至 n=2，有 因 f(x)在a，b上存在二阶导数， (f“( 1 )+f
19、“( 2 )介于 f“( 1 )与 f“( 2 )之间，故知存在 1 ， 2 (或 2 ， 1 )使 于是知存在 (a，b)使 (2)用常数 k 值法，令 有 F(a)=0，F(b)=0，所以存在 1 (a，b)使 F“( 1 )=0，即 化简为 f( )一 f(a)一 f“( 1 )( 1 一 a)一 6K( 1 一 a) 2 =0.又由泰勒公式有 f(a)=f( 1 )+f“( 1 )(a 一 1 )+ f“()(a 一 1 ) 2 ，a 1 由上述两式即可得，存在 (a，b)使 )解析：25.(1)设 f(x)是以 T 为周期的连续函数，试证明： 0 x f(t)dt 可以表示为一个以
20、T 为周期的函数 (x)与kx 之和，并求出此常数 k； (2)求(1)中的 (3)以x表示不超过 x 的最大整数，g(x)=x 一x，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)证明能取到常数 k 使 0 x f(t)dt 一 kx 为周期 T 即可(1)得到的表达式去求 即可得(2)但请读者注意，一般不能用洛必达法则求此极限，除非 f(x)恒为常数对于 (3)，由于 g(x)不连续，如果要借用(1)的结论，需要更深一层的结论(见下面的注)由于 g(x)可以具体写出它的分段表达式，故可直接积分再用夹逼定理即得 (1)令 (x)= 0 x f(t)dtkx，考察 (x+T)一(x)=
21、0 x+T f(t)dt 一 k(x+T)一 0 x f(t)dt+kx = 0 T f(t)dt+ T x+T f(t)dt 0 x f(t)dtkT 对于其中的第二个积分，作积分变量代换，命 t=u+T，有 T x+T f(t)dt= 0 x f(u+T)du= 0 x f(u)du， 于是 (x+T)-(x)= 0 T f(t)dt 一 kT 可见，(x)为 T 周期函数的充要条件是 即证明了 0 x f(t)dt 可以表示成 其中 (x)为某一周期 T 的函数 (2)由(1)， 因(x)为连续的周期函数，故 (x)在(一，+)上有界，从而 (3)设 nxn+1， 由nxn+1，有 由夹
22、逼定理知 )解析：26.设在区间e，e 2 上，数 p，q 满足条件 px+qln x，求使得积分 I(p，q)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要使 最小，直线 y=px+q 应与曲线 y=ln x 相切，从而可得到 p，q 的关系，消去一个参数通过积分求出 I(p)后再用微分方法求 I(p)的极值点 p 0 ，然后再求出 q 的值或将 p，q都表示成另一个参数 t 的函数形式，求出 I(t)的极值点后，再求出 p，q 的值 设直线 y=px+q 与曲线y=ln x 相切于点(t，lnt)，则有 )解析：27.设 f(x)在区间1，+)上单调减少且非负的连续函数 一 0 n f(
23、x)dx(n=1，2，) (1)证明：(2)证明：反常积分 1 + f(x)dx 与无穷级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 f(x)单调减少，故当 kxk+1 时， f(k+1)f(x)f(k) 两边从 k 到k+1 积分，得 k k+1 f(k+1)dx k k+1 f(x)dx k k+1 f(k)dx，即 f(k+1) k k+1 f(x)dxf(k) 即a n 有下界又 a n+1 一 a n =f(n+1)一 n n+1 f(x)dx0， 即数列a n 单调减少，所以 存在 (2)由于 f(x)非负，所以 1 x f(t)dt 为 x 的单调增加函数当 nxn+
24、1 时， 1 n f(t)dt 1 x f(t)dt 1 n+1 f(t)dt，所以 )解析：28.设 xOy 平面上有正方形 D=(x，y)|0x1，0y1)及直线 l：x+y=t(t0)若 S(t)表示正方形 D位于直线 l 左下方部分的面积，试求 0 x S(t)dt(x0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知 所以， 当 1x2 时， 0 x S(t)dt= 1 x S(t)dt+ 1 x S(t)dt= 当 x2 时， 0 x S(t)dt= 0 2 S(t)dt+ 2 x S(t)dt=x 一 1 因此， 0 x S(t)dt= )解析：29.设 f(x)在0，+)上连续，0ab，且 收敛，其中常数 A0试证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.求曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 又 S“(1)0，故 t=1 时，S 取最小值，此时 l 的方程为 )解析：31.设 D 是由曲线 y=sin x+1 与三条直线 x=0，x=，y=0 所围成的曲边梯形，求 D 绕 z 轴旋转一周所围成的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：V= 0 (sin x+1) 2 dx= )解析：
