1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 5 及答案解析(总分：84.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.曲线 （分数：2.00）A.y=x+1B.y=一 x+1C.y=一 x 一 1D.y=x13.当 x0 时，曲线 y= （分数：2.00）A.有且仅有水平渐近线B.有且仅有铅直渐近线C.既有水平渐近线，也有铅直渐近线D.既无水平渐近线，也无铅直渐近线4.曲线 （分数：2.00）A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线，也有铅直渐近线5.曲线 （分数
2、：2.00）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条6.设函数 f(x)=(e x 一 1)(e 2x 一 2)(e nx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f“(0)= ( )（分数：2.00）A.(一 1) n-1 (n1)!B.(一 1) n (n1)!C.(一 1) n-1 n!D.(一 1) n n!7.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，则在(0，1)内至少存在一点 ，使 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.8.f(x)=xe x 的 n 阶麦克劳林公式为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.若 f(x)在开区间(a，b)内
3、可导，且 x 1 ，x 2 是(a，b)内任意两点，则至少存在一点 ，使下列诸式中成立的是 ( )（分数：2.00）A.f(x 2 )一 f(x 1 )=(x 1 一 x 2 )f“()，(a，b)B.f(x 1 )一 f(x 2 )=(x 1 一 x 2 )f“()， 在 x 1 ，x 2 之间C.f(x 1 )一 f(x 2 )=(x 2 一 x 1 )f“()，x 1 x 2D.f(x 2 )一 f(x 1 )=(x 2 一 x 1 )f“()，x 1 x 210.在区间0，8内，对函数 f(x)= （分数：2.00）A.不成立B.成立，并且 f“(2)=0C.成立，并且 f“(4)=0
4、D.成立，并且 f“(8)=011.给出如下 5 个命题： (1)若不恒为常数的函数 f(x)在(一，+)内有定义，且 x 0 0 是 f(x)的极大值点，则一 x 0 必是一 f(一 x)的极大值点； (2)设函数 f(x)在a，+)上连续，f“(x)在(a，+)内存在且大于零，则 F(x)= （分数：2.00）A.2B.3C.4D.5二、填空题(总题数：6，分数：12.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_13.设 y=cos x 2 sin 2 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 y= （分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_16.y=sin
5、 4 x+cos 4 x，则 y (n) = 1(n1)（分数：2.00）填空项 1:_17.落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是 6ms，问在 2s 末扰动水面面积的增大率为 1m 2 s（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：25，分数：50.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.设 f(x)在(a，b)内可导，满足(1) (2)f“(x)+f 2 (x)+10， （分数：2.00）_20.若函数 (x)及 (x)是 n 阶可微的，且 (k) (x 0 )= (k) (x 0 )，k=0，1，2，n 一 1
6、又xx 0 时， (n) (x) (n) (x)试证：当 xx 0 时，(x)(x)（分数：2.00）_21.设函数 f(x)在(a，b)内存在二阶导数，且 f“(x)0试证： (1)若 x 0 (a，b)，则对于(a，b)内的任何 x，有 f(x 0 )f(x)一 f“(x 0 )(xx 0 )，当且仅当 x=x 0 时等号成立； (2)若 x 1 ，x 2 ，x n (a，b)，且 x i x i+1 (i=1，2，n 一 1)，则 其中常数 k i 0(i=1，2，n)且（分数：2.00）_22.若 x一 1，证明：当 01 时，有(1+x) 1+x；当 0 或 1 时，有(1+x) 1
7、+x（分数：2.00）_23.求证：当 x0 时，有不等式 arctan x+ （分数：2.00）_24.利用导数证明：当 x1 时， （分数：2.00）_25.设 x(0，1)，证明下面不等式：(1)(1+x)ln 2 (1+x)x 2 ；(2) （分数：2.00）_26.求证：当 x0 时，(x 2 一 1)ln x(x 一 1) 2（分数：2.00）_27. （分数：2.00）_28.求使不等式 （分数：2.00）_29.设函数 f(x)在(一，+)内二阶可导，且 f(x)和 f“(x)在(一，+)内有界，证明：f“(x)在(一，+)内有界（分数：2.00）_30.设 n 为自然数，试证
8、： （分数：2.00）_31.证明：函数 f(x)在 x 0 处可导的充要条件是存在一个关于x 的线性函数 L(x)=x， （分数：2.00）_32.已知 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f(x)f“(x)一(f“(x) 2 0 (xR) （分数：2.00）_33.设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f“(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0试应用拉格朗日中值定理证明： f(a+b)f(a)+f(b)，其中常数 a，b 满足条件 0aba+bC（分数：2.00）_34. （分数：2.00）_35.证明：当 0ab 时，bsin b+2cos b+basina+2cos
9、a+a（分数：2.00）_36.设 bae，证明：a b b a （分数：2.00）_37.证明：当 x0 时，不等式 （分数：2.00）_38. （分数：2.00）_39.若函数 f(x)在(0，+)上有定义，在 x=1 点处可导，且对于任意的正数 a，b 总有 f(ab)=f(a)+f(b)，证明：f(x)在(0，+)上处处可导，且 f“(x)= （分数：2.00）_40.设 f(x)和 g(x)是对 x 的所有值都有定义的函数，具有下列性质： (1)f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)； (2)f(x)和 g(x)在 x=0 处可微，且当 x=0 时，f(0)=0，g(0)=
10、1，f“(0)=1，g(0)=0证明：f(x)对所有x 都可微，且 f“(x)=g(x)（分数：2.00）_41.用导数定义证明：可导的偶函数的导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数（分数：2.00）_42.用导数定义证明：可导的周期函数的导函数仍是周期函数，且其周期不变（分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）-试卷 5 答案解析(总分：84.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.曲线 （分数：2.00）A.y=x+1B.y=一 x+1C.y=一 x 一
11、 1 D.y=x1解析：解析：3.当 x0 时，曲线 y= （分数：2.00）A.有且仅有水平渐近线 B.有且仅有铅直渐近线C.既有水平渐近线，也有铅直渐近线D.既无水平渐近线，也无铅直渐近线解析：解析：4.曲线 （分数：2.00）A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线，也有铅直渐近线 解析：解析：5.曲线 （分数：2.00）A.1 条B.2 条 C.3 条D.4 条解析：解析： ，曲线 y=f(x)有水平渐近线 曲线 y=f(x)有铅：直渐近线 x=0 曲线 y=f(x)无斜渐近线6.设函数 f(x)=(e x 一 1)(e 2x 一 2)(e nx 一 n)，
12、其中 n 为正整数，则 f“(0)= ( )（分数：2.00）A.(一 1) n-1 (n1)! B.(一 1) n (n1)!C.(一 1) n-1 n!D.(一 1) n n!解析：解析：用导数定义7.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，则在(0，1)内至少存在一点 ，使 ( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：设 F(x)=xf(x)，则 F(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故存在 (0，1)，使得(xf(x)| x= =0，即 f()+f()=0，有 f“()= 8.f(x)=xe x 的 n 阶麦克劳林公式为 ( ) （分数
13、：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 f(x)=xe x ，f(0)=0，f“(x)=e x (1+x)，f“(0)=1，f (n) (x)=e x (n+x)，f (n) (0)=n，f n+1 (x)=e x (n+1+x),f (n+1) (x)=e x (n+1+x)，依次代入到泰勒公式，即得(B)9.若 f(x)在开区间(a，b)内可导，且 x 1 ，x 2 是(a，b)内任意两点，则至少存在一点 ，使下列诸式中成立的是 ( )（分数：2.00）A.f(x 2 )一 f(x 1 )=(x 1 一 x 2 )f“()，(a，b)B.f(x 1 )一 f(x 2 )=(x 1
14、一 x 2 )f“()， 在 x 1 ，x 2 之间 C.f(x 1 )一 f(x 2 )=(x 2 一 x 1 )f“()，x 1 x 2D.f(x 2 )一 f(x 1 )=(x 2 一 x 1 )f“()，x 1 x 2解析：解析：由拉格朗日中值定理易知(A)，(C)错，(B)正确，又因未知 x 1 与 x 2 的大小关系，知(D)不正确10.在区间0，8内，对函数 f(x)= （分数：2.00）A.不成立B.成立，并且 f“(2)=0C.成立，并且 f“(4)=0 D.成立，并且 f“(8)=0解析：解析：因为 f(x)在0，8上连续，在(0，8)内可导，且 f(0)=f(8)，故 f
15、(x)在0，8上满足罗尔定理条件令11.给出如下 5 个命题： (1)若不恒为常数的函数 f(x)在(一，+)内有定义，且 x 0 0 是 f(x)的极大值点，则一 x 0 必是一 f(一 x)的极大值点； (2)设函数 f(x)在a，+)上连续，f“(x)在(a，+)内存在且大于零，则 F(x)= （分数：2.00）A.2B.3 C.4D.5解析：解析：对上述 5 个命题一一论证 对于(1)，只要注意到：若 f(x)在点 x 0 取到极大值，则一 f(x)必在点 x 0 处取到极小值，故该结论错误； 对于(2)，对任意 xa由拉格朗日中值定理知，存在(a，x)使 f(x)-f(a)=f“()
16、(xa)，则 由 f“(x)0 知，f“(x)在(a，+)内单调增加因此，对任意的 x 与 ，ax，有 f“(x)f“()，从而由上式得 F(x)0，所以函数 F(x)在(a，一)内单调增加，该结论正确； 对于(3)，因 f“(x 0 )=0，故所给定的方程为 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：13.设 y=cos x 2 sin 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15. （分数
17、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：16.y=sin 4 x+cos 4 x，则 y (n) = 1(n1)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是 6ms，问在 2s 末扰动水面面积的增大率为 1m 2 s（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：144）解析：解析：设在 t 时刻最外圈波的半径为 r(t)，扰动水面面积为 s(t)，则 s(t)=r 2 (t)，故 s(t)=2r(t)r“(t)，由题知 r“(t)=6，r(t)=6t，所以 s(2
18、)=2r(2).6=144(m 2 s)三、解答题(总题数：25，分数：50.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.设 f(x)在(a，b)内可导，满足(1) (2)f“(x)+f 2 (x)+10， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： x 2 (a，b)，对函数 arctan f(x)在x 1 ，x 2 上用拉格朗日中值定理，便知 (x 1 ，x 2 )，使得 arctan f(x 2 )一 arctan f(x 1 )一(x 2 一 x 1 ) 由条件(1)，在上述不等式中，x 1 a + ，x 2 b - ，即得 )解析：20.
19、若函数 (x)及 (x)是 n 阶可微的，且 (k) (x 0 )= (k) (x 0 )，k=0，1，2，n 一 1又xx 0 时， (n) (x) (n) (x)试证：当 xx 0 时，(x)(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u (n-1) (x)= (n-1) (x)一 (n-1) (x) 在x 0 ，x上用微分中值定理得 u (n-1) (x)一 u (n-1) (x 0 )=u (n) ().(xx 0 )，x 0 x 又由 u (n) ()0 可知 u (n-1) (x)一 u n-1 (x 0 )0，且 u (n-1) (x 0 )=0，所以 u (n-1) (
20、x)0，即当 xx 0 时， (n-1) (x) (n-1) (x) 同理 u (n-2) (x)= (n-2) (x)一 (n-2) (x)0 归纳有 u (n-3) (x)0，u(x)0，u(x)0于是，当 xx 0 时，(x)(x)解析：21.设函数 f(x)在(a，b)内存在二阶导数，且 f“(x)0试证： (1)若 x 0 (a，b)，则对于(a，b)内的任何 x，有 f(x 0 )f(x)一 f“(x 0 )(xx 0 )，当且仅当 x=x 0 时等号成立； (2)若 x 1 ，x 2 ，x n (a，b)，且 x i x i+1 (i=1，2，n 一 1)，则 其中常数 k i
21、0(i=1，2，n)且（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)将 f(x)在 x 0 点泰勒展开，即 f(x)=f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 )+ (xx 0 ) 2 ， 在 x 0 与 x 之间由已知 f“(x)0，x(a，b)得 于是 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(x 一 x 0 )，即 f(x 0 )f(x)一 f“(x 0 )(x 一 x 0 )，当且仅当 x=x 0 时等号成立 f(x 0 )f(x i )一 f“(x 0 )(x i 一 x 0 )，i=1，2，n，当且仅当 x i =x 0 时等号成立 而 x 0 x 1 且 x 0 x n ，
22、将上面各式分别乘以 k i (i=1，2，n)后再求和，有 )解析：22.若 x一 1，证明：当 01 时，有(1+x) 1+x；当 0 或 1 时，有(1+x) 1+x（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=(1+x) 则有 f(x)=(1+x) -1 ，f“(x)=( 一 1)(1+x) -2 ，由f(x)的泰勒展开式 可知当 x一 1，01 时，( 一 1)0，1+0故 )解析：23.求证：当 x0 时，有不等式 arctan x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)= 所以 f(x)单调递减，且当 0x+时，f(x)f(+)=0即)解析：24.利用导
23、数证明：当 x1 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 xln x，有 f(1)=2ln 20由 f“(x)= 0(x0)知，f(x)单调递增，且当 x1 时，f(x)f(1)=2ln 20，ln x0， )解析：25.设 x(0，1)，证明下面不等式：(1)(1+x)ln 2 (1+x)x 2 ；(2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 (x)=x 2 一(1+x)ln 2 (1+x)，有 (0)=0，且 “(x)=2xln 2 (1+x)一 2ln(1+x)，“(0)=0 当 x(0，1)时， x 一 ln(1+x)0则
24、 “(x)单调递增从而 “(x)(0)=0，则 (x)单调递增，则 (x)(0)=0，即(1+x)ln 2 (1+x)x 2 由(1)得，当x(0，1)时 f“(x)0，知 f(x)单调递减，从而 f(x)f(1)= 又因为 当 x(0，1)时，f“(x)0，知 f(x)单调递减，且 f(x)f(0 + )= 所以 )解析：26.求证：当 x0 时，(x 2 一 1)ln x(x 一 1) 2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=(x 2 一 1)ln x 一(x 一 1) 2 所以 f(1)=0 又因为 f“(x)=2xln x-x+2一 ,f“(1)=0，且 f“(x)=
25、2ln x+1+ ，f“(1)=20， )解析：27. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.求使不等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知不等式等价于 即 令 g(x)=(1+x)ln 2 (1+x)一 x 2 ，x0，1，则 g(0)=0，且 g(x)=ln 2 (1+x)+2ln(1+x)一 2x，g(0)=0， 故 g(x)在0，1上严格单调递减，所以 g“(x)g(0)=0同理，g(x)在0，1上也严格单调递减，故 g(x)g(0)=0，即(1+x)ln 2 (1+x)-x 2 0，从而 f“(x)0(0x1)，因此 f(x)在(0，1上也严格单调递减
26、 故使不等式对所有的自然数 n 都成立的最大的数 为 )解析：29.设函数 f(x)在(一，+)内二阶可导，且 f(x)和 f“(x)在(一，+)内有界，证明：f“(x)在(一，+)内有界（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：存在正常数 M 0 ，M 2 ，使得 (一，+)，恒有 |f(x)|M 0 ，|f“(x)|M 2 由泰勒公式，有 f(x+1)=f(x)+f“(x)+ 其中 介于 x 与 x+1 之间，整理得 f“(x)=f(x+1)一f(x)一 所以 |f“(x)|f(x+1)|+|f(x)|+ )解析：30.设 n 为自然数，试证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：右
27、端不等式等价于证明 从而，当 x0 时，f“(x)单调增，且当 x+时，f“(x)趋于零，所以，当 x0 时，f“(x)0进而知当 x0 时，f(x)单调减，且当 x+时，f(x)趋于零，于是，当 x0 时，f(x)0所以，对一切自然数 n，恒有 f(n)0，故有 从而右端不等式成立 类似地，引入辅助函数 )解析：31.证明：函数 f(x)在 x 0 处可导的充要条件是存在一个关于x 的线性函数 L(x)=x， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性 若 f(x)在 x 0 点可导，则 f(x)在 x 0 点可微，由可微的定义知，f(x 0 +x)一 f(x 0 )=x+o(x)(其
28、中 为常数)，取 L(x)=x， 充分性 若存在 L(x)=x(其中 为常数)使 则 )解析：32.已知 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f(x)f“(x)一(f“(x) 2 0 (xR) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)记 g(x)=ln f(x)，则 ，故 )解析：33.设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f“(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0试应用拉格朗日中值定理证明： f(a+b)f(a)+f(b)，其中常数 a，b 满足条件 0aba+bC（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用拉格朗日中值定理。 当 a=0 时，等号成立当 a0 时，
29、由于 f(x)在区间0，a及b，a+b上满足拉格朗日中值定理，所以，存在 1 (0,a)， 2 (b，a+b)， 1 2 ，使得 f(a+b)一 f(b)一f(a)一 f(0)=af( 2 )一 af( 1 ) 因为 f“(x)在(0，c)内单调减少，所以 f“( 2 )f“( 1 )，于是， f(a+b)一 f(b)一f(a)一 f(0)0，即 f(a+b)f(a)+f(b)解析：34. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用拉格朗日中值定理 且函数 f(t)=ln t 在x，1+x上满足拉格朗日中值定理，所以存在 (x，1+x)，使得 )解析：35.证明：当 0ab 时，bsin b
30、+2cos b+basina+2cos a+a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=xsin x+2cos x+x，只需证明 F(x)在(0，)上单调递增 F“(x)=sin x+xcos x 一 2sin x+=+xcos xsin x，由此式很难确定 F“(x)在(0，)上的符号，为此有 F“(x)=一 xsin x0，x(0，)， 即函数 F“(x)在(0，)上单调递减，又 F()=0，所以 F“(x)0，x(0，)，于是 F(b)F(a)，即 bsin b+2cos b+basina+2cosa+a)解析：36.设 bae，证明：a b b a （分数：2.00）_正
31、确答案：(正确答案：设 其中 ln xln e=1，所以，f“(x)0，即函数 f(x)单调递减所以，当bae 时， )解析：37.证明：当 x0 时，不等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造辅助函数 f(x)=1+x 一 则 f(0)=0，且 )解析：38. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 而 cos x0，所以不等式成立 上式中，当 但是，2xcos x-2sin x+x 3 的符号无法直接确定，为此，令 g(x)=2xcos x 一 2sin x+x 3 ，则 g(0)=0，且 g“(x)=x 2 +2x(xsin x)0，所以，当 x g(x)=2xcos x
32、 一 2sin x+x 3 0 )解析：39.若函数 f(x)在(0，+)上有定义，在 x=1 点处可导，且对于任意的正数 a，b 总有 f(ab)=f(a)+f(b)，证明：f(x)在(0，+)上处处可导，且 f“(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 a=b=1，由于 f(ab)=f(a)+f(b)，则 f(1)=0于是 对于任意的正数 x，在f(ab)=f(a)+f(b)中，取 a=x，ab=x+x，也就是取 于是 这就证明了 f(x)在(0，+)上处处可导，且有 )解析：40.设 f(x)和 g(x)是对 x 的所有值都有定义的函数，具有下列性质： (1)f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)； (2)f(x)和 g(x)在 x=0 处可微，且当 x=0 时，f(0)=0，g(0)=1，f“(0)=1，g(0)=0证明：f(x)对所有x 都可微，且 f“(x)=g(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f
