【考研类试卷】考研数学二(一元函数微分学)历年真题试卷汇编3及答案解析.doc

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1、考研数学二(一元函数微分学)历年真题试卷汇编 3及答案解析(总分:86.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:16,分数:32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.函数 f(x)(x 2 x2)x 3 x不可导点的个数是(分数:2.00)A.3B.2C.1D.03.设函数 (分数:2.00)A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点D.至少有三个不可导点4.设函数 f(x)在 x0 处连续,下列命题错误的是(分数:2.00)A.若B.若C.若D.若5.设函数 f(x)在 x0 处可导,且 f(0)0,则 (分数:2.0

2、0)A.2f“(0)B.f“(0)C.f“(0)D.06.设函数 yf(x)由方程 cos(xy)lnyx1 确定,则 (分数:2.00)A.2B.1C.-1D.-27.设函数 yy(x)由参数方程 (分数:2.00)A.B.C.8ln23D.8ln238.曲线 yx 2 与曲线 yaln x(a0)相切,则 a(分数:2.00)A.4eB.3eC.2eD.e9.设函数 g(x)可微,h(x)e 1g(x) ,h“(x)1,g“(1)2,则 g(1)等于(分数:2.00)A.ln31B.ln31C.ln21D.ln2110.设函数 f(x)(e x 一 1)(e 2x 2).(e nx n),

3、其中 n为正整数,则 f“(0)(分数:2.00)A.(1) n1 (n1)!B.(1) n (n1)!C.(1) n1 n!D.(1) n n!11.设 f(x) (分数:2.00)A.极限不存在B.极限存在,但不连续C.连续,但不可导D.可导12.设函数 yf(x)具有二阶导数,且 f“(x)0,f“(x)0,x 为自变量 x在点 x 0 处的增量,y 与dy分别为 f(x)在点 x 0 处对应的增量与微分,若x0,则(分数:2.00)A.0dyAyB.0AydyC.Aydy0D.dyy013.已知函数 yf(x)对一切 x满足 xf“(x)3xf“(x) 2 1e x ,若 f“(x 0

4、 )0(x 0 )0),则(分数:2.00)A.f(x 0 )是 f(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极小值C.(x 0 ),f(x 0 )是曲线 yf(x)的拐点D.f(x 0 )不是 f(x)的极值,(x 0 ),f(x 0 )也不是曲线 yf(x)的拐点14.设函数 f(x)在 xa 的某个邻域内连续,且 f(a)为其极大值,则存在 0,当 x(a,a)时,必有(分数:2.00)A.(xa)f(x)f(a)0B.(xa)f(x)f(a)0C.D.15.设函数 f(x),g(x)是大于零的可导函数,且 f“(x)g(x)f(x)g“(x)0。则当 axb 时,有(分数:2.00

5、)A.f(x)g(b)f(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)16.已知函数 yf(x)仵其定义域内可导,它的图形如图 123 所示,则其导函数 yf“(x)的图形为(分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:17,分数:34.00)17.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_18.设函数 yf(x)由方程 e 2xy cos(xy)e1 所确定,则曲线 yf(x)在点(0,1)处的法线方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_19.设函数 yf(x)由方程 xy2lnxy 4 所确定,则曲线 yf(

6、x)在点(1,1)处的切线方程是 1(分数:2.00)填空项 1:_20.曲线 ,上对应于 (分数:2.00)填空项 1:_21.曲线 sin(xy)ln(yx)x 在点(01)处的切线方程是 1(分数:2.00)填空项 1:_22.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_23.已知一个长方形的长 l以 2cms 的速率增加,宽 w以 3 cms 的速牢增加,则当 l12cm,w5cm 时,它的对角线增加的速率为 1(分数:2.00)填空项 1:_24.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_25.设 (分数:2.00)填空项 1:_26.设函数 yy(x)由方程 ln(x 2 y)x 3 ysi

7、nT 确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_27.设函数 (分数:2.00)填空项 1:_28.设 yy(x)是由方程 xyc y x1 确定的隐函数,则 (分数:2.00)填空项 1:_29.函数 yln(12x)在 x0 处的 n阶导数 y (n) (0) 1(分数:2.00)填空项 1:_30.设 yy(x)是由方程 x 2 y1e y 所确定的隐函数,则 (分数:2.00)填空项 1:_31.设函数 ,则 yf(x)的反函数 xf“(y)在 y0 处的导数 (分数:2.00)填空项 1:_32.设函数 yy(x)由方程 2 xy xy 所确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_3

8、3.设 y(1sinx) x ,则 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:10,分数:20.00)34.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_35.设函数 f(x)在(,)上有定义,在区间0,2上,f(x)x(x 2 4),若对任意的 x都满足f(x)kf(x2),其中 k为常数 (1)写出 f(x)在2,0)上的表达式; (2)问 k为何值时,f(x)在x0 处可导?(分数:2.00)_36.已知 f(x)是周期为 5的连续函数,它在 x0 的某个邻域内满足关系式 f(1sinx)3f(1 一 sinr)8xa(x),其中 a(x)是当 x0 时比

9、x高阶的无穷小,且 f(x)在 x1 处可导,求曲线 yf(x)在点(6,f(6)处的切线方程(分数:2.00)_37.已知曲线的极坐标方程是 r1cos,求该曲线上对应于 (分数:2.00)_38.已知曲线 L的方程 (分数:2.00)_39.设 yy(x)由 所确定,求 (分数:2.00)_40.求函数,f(x)x 2 ln(1x)在 x0 处的 n阶导数 f (n) (0)(n3)(分数:2.00)_41.设函数 yy(x)由方程 y1xe y 确定,则 (分数:2.00)_42.设函数 yy(x)由参数方程 确定,其中 x(t)是初值问题 的解求 (分数:2.00)_43.设函数 f(

10、u)可导,yf(x 2 )与自变量 x在 x1 处取得增量x01 时,相应的函数增量y,的线性主部为 01,则 f“(1)等于(分数:2.00)_考研数学二(一元函数微分学)历年真题试卷汇编 3答案解析(总分:86.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:16,分数:32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.函数 f(x)(x 2 x2)x 3 x不可导点的个数是(分数:2.00)A.3B.2 C.1D.0解析:解析:分析 本题可按定义逐点讨论绝对值符号内为零的点是否均为不可导点,但计算量 会很大注意到xx 0 在 xx 0

11、 处不可导,但(xx 0 )xx 0 在 xx 0 处可导,则可 方便地找到答案 详解 因为 f(x)(x 2 x2)x 2 x(x2)(x1)x(x1)(x1), 可见 f(x)在 x0,1 处不可导,而在 x1 处可导,故 f(x)的不可导点的个数为 2 评注 一般地,若 F(x)f(x)(x),其中 f(x 0 )0,f“(x 0 )存在且不为零,(x)在 xx 0 处连续,则 F(x)在 xx 0 处可导的充要条件是 (x 0 )03.设函数 (分数:2.00)A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点 D.至少有三个不可导点解析:解析:分析 先求出 f(x)的表达式,再讨论

12、其可导情形 详解 当x1 时,f(x) ; 当x1 时,f(x) ; 当x1 时,f(x) 。 即 f(x)4.设函数 f(x)在 x0 处连续,下列命题错误的是(分数:2.00)A.若B.若C.若D.若 解析:解析:分析 本题为极限的逆问题,已知某极限存在的情况下,需要利用极限的四则运算等进行分析讨论 详解(A),(B)两项中分母的极限为 0,因此分子的极限也必须为 0,均可推导出 f(0)0若 存在,则 f(0)0,f“(0) ,可见(C)也正确故应选(D) 事实上,可举反例:f(x)x在 x0 处连续,且5.设函数 f(x)在 x0 处可导,且 f(0)0,则 (分数:2.00)A.2f

13、“(0)B.f“(0) C.f“(0)D.0解析:解析:分析利用导数的定义,属基本题型 详解6.设函数 yf(x)由方程 cos(xy)lnyx1 确定,则 (分数:2.00)A.2 B.1C.-1D.-2解析:解析:分析利用隐函数求导方法与导数定义 详解存方程 cos(xy)lnyx1 中,令x0,得 y1,等式两端对 x求导得 将 x0,y1 代入上式,得 y“(0)1于是7.设函数 yy(x)由参数方程 (分数:2.00)A. B.C.8ln23D.8ln23解析:解析:分析 先由 x3 确定 t的取值,进而求出在此点的导数及相应的法线方程,从而可 得所求的横坐标 详解 当 x3 时,有

14、 t 2 2t3,得 t1,t3(舍去,此时 y无意义),于是 可见过点 x3(此时 yln2)的法线方程为:yln28(x3), 令 y0,得其与 x轴交点的横坐标为: 8.曲线 yx 2 与曲线 yaln x(a0)相切,则 a(分数:2.00)A.4eB.3eC.2e D.e解析:解析:分析 利用导数的几何意义(切点处斜率相等)及两条曲线都经过切点 详解 因 yx 2 与 yaln x(a0)相切,故 在 yx 2 上, ;在 yalnx(a0)上, y 因此 9.设函数 g(x)可微,h(x)e 1g(x) ,h“(x)1,g“(1)2,则 g(1)等于(分数:2.00)A.ln31B

15、.ln31C.ln21 D.ln21解析:解析:详解 由 h(x)e 1g(x) 得 h“(x)e 1g(x) .g“(x) 将 x1 代入,并由题设条件知 1e 1g(x) .2 1g(1)ln2, 于是 g(1)ln21故应选(C)10.设函数 f(x)(e x 一 1)(e 2x 2).(e nx n),其中 n为正整数,则 f“(0)(分数:2.00)A.(1) n1 (n1)! B.(1) n (n1)!C.(1) n1 n!D.(1) n n!解析:解析:详解 方法一 用一点处导数定义求 11.设 f(x) (分数:2.00)A.极限不存在B.极限存在,但不连续C.连续,但不可导D

16、.可导 解析:解析:分析 本题考查极限、连续和可导三个基本概念及它们之间的关系若 f(x)在 x0 处可导,则(A)、(B)、(C)三个选项可立即排除,因此可从判断 f(x)在 x0 处是否可导入手 详解 因为12.设函数 yf(x)具有二阶导数,且 f“(x)0,f“(x)0,x 为自变量 x在点 x 0 处的增量,y 与dy分别为 f(x)在点 x 0 处对应的增量与微分,若x0,则(分数:2.00)A.0dyAy B.0AydyC.Aydy0D.dyy0解析:解析:分析 根据几何意义用图示法求解,也可用拉格朗日中值定理,或用泰勒公式 详解 1 由 f“(x)0,f“(x)0 知,函数 f

17、(x)单凋增加,曲线 yf(x)凹向,作函数 yf(x)的图形如图 122所示,显然当x0 时, ydyf“(x 0 )dxf“(x 0 )x0,故应选(A) 13.已知函数 yf(x)对一切 x满足 xf“(x)3xf“(x) 2 1e x ,若 f“(x 0 )0(x 0 )0),则(分数:2.00)A.f(x 0 )是 f(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极小值 C.(x 0 ),f(x 0 )是曲线 yf(x)的拐点D.f(x 0 )不是 f(x)的极值,(x 0 ),f(x 0 )也不是曲线 yf(x)的拐点解析:解析:分析 将 x 0 代入已知方程,可得 f“(x 0

18、),从而用极值的第二充分条件判定 详解 由 f“(x 0 )0 知 x 0 是 f(x)的驻点,将 xx 0 代入微分方程 xf“(x)43xf“(x) 2 1 一 e x ,得 14.设函数 f(x)在 xa 的某个邻域内连续,且 f(a)为其极大值,则存在 0,当 x(a,a)时,必有(分数:2.00)A.(xa)f(x)f(a)0B.(xa)f(x)f(a)0C. D.解析:解析:详解 由题设,存在邻域(a,a),使当 x(a,a)时,有 f(x)f(a) 所以 当 axa 时,(xa)f(x)f(a)0; 当 ax 故应选(C)15.设函数 f(x),g(x)是大于零的可导函数,且 f

19、“(x)g(x)f(x)g“(x)0。则当 axb 时,有(分数:2.00)A.f(x)g(b)f(b)g(x) B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)解析:解析:分析 本题相当于一道简单不等式的证明题,自然联想到用单凋性进行讨论,这只需将题设条件转化为某函数的导数即可达到目的 详解 由题设知 因此当 axb 时,有16.已知函数 yf(x)仵其定义域内可导,它的图形如图 123 所示,则其导函数 yf“(x)的图形为(分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:分析 本题设计比较新颖,条件和结论均以直观的图形方式表示,考

20、查导数的应用性质,若能熟练掌握单凋性的判断和罗尔巾值定理,答案是显而易见的 详解 从题设图形可见,在 y轴的左侧,曲线 yf(x)是严格单调增加的,因此当 x0 时,一定有 f“(x)0,对应 yf“(x)的图形必在轴的上方,由此可排除(A),(C);又 yf(x)的图形在 y轴右侧有三个零点,因此由罗尔中值定理可知其导函数 yf“(x)的图形在 y轴右侧一定有两个零点,进一步可排除(B)故臆选(D) 评注 本题可有很多变化,比如考查 yf(x)与 y(x)的图形关系,或考查 yf“(x)与 yf“(x)的图形关系,这时可进一步将凹凸区间和拐点的性质考查到,但不管怎样,只要熟练掌握了导数应用的

21、几何意义就可方便求解二、填空题(总题数:17,分数:34.00)17.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:应填 y2x10)解析:解析:分析 本题通过求曲线的法线方程,考查求参数方程所确定的函数在一点的导数注意,由曲线过点(0,1)知此时对应参数 t0 详解 根据参数方程的求导公式,有 , 而由x0,y1 知,此时对应 t0,故18.设函数 yf(x)由方程 e 2xy cos(xy)e1 所确定,则曲线 yf(x)在点(0,1)处的法线方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:应填 x2y20)解析:解析:分析 本题综合了隐函数求导和导数的几

22、何应用两个知识点,方程两边直接对 x求导得到在 x0 处的导数值 f“(0)后,相应法线方程的斜率为 ,再用点斜式即可求出法线方程 详解 等式 e 2xy cos(xy)e1 两边同时对 x求导,得 e 2xy .(2y“)sin(xy).(yxy)0, 将x0,y1 代入上式,得 y“(0)2 故所求法线方程为 19.设函数 yf(x)由方程 xy2lnxy 4 所确定,则曲线 yf(x)在点(1,1)处的切线方程是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:应填 xy0)解析:解析:分析 先求出在点(1,1)处的导数,然后利用点斜式写出切线方程即可 详解 等式xy2lnxy

23、 4 两边同时对 x求导,得 20.曲线 ,上对应于 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:应填*)解析:解析:因为 ,故法线斜率为21.曲线 sin(xy)ln(yx)x 在点(01)处的切线方程是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:应填 yx1)解析:解析:详解 等式 sin(xy)ln(yx)x 两边同时对 x求导,得 cos(xy).(y_y“) 将x0,y1 代入上式,有22.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:应填 y2x。)解析:解析:分析利用参数方程确定函数的导数,利用变限积分的导数公式求出 ,再写出切线方程

24、详解 xy0 时,t1 所以,23.已知一个长方形的长 l以 2cms 的速率增加,宽 w以 3 cms 的速牢增加,则当 l12cm,w5cm 时,它的对角线增加的速率为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:应填 3 cms)解析:解析:分析 利用导数的物理意义 详解 设 lx(t),wy(t),由题意知,在 tt 0 时 x(t 0 )12,y(t 0 )5,且 x“(t 0 )2,y“(t 0 )3 又 , 因而 24.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:应填*)解析:解析:分析考查极坐标下方程的求导和导数的几何意义 详解将 t1 代入 又

25、 所以 ,曲线上对应于 t一 1的点处的法线的斜牢为1,所求法线方程为25.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:应填*)解析:解析:详解 由题意得 于是26.设函数 yy(x)由方程 ln(x 2 y)x 3 ysinT 确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:应填 1)解析:解析:分析 本题考查隐函数的求导问题,等式两端同时对 x求导,并令 x0,即可得到所求的结果 详解 方程两边同时对 x求导,得 , 由原方程知,x0 时,y1,将 x0,y1 代入上式,得 27.设函数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:应填*)解析

26、:解析:y(2x3) 1 ,y“1.2(2x3) 2 ,y“1.(2).2 2 (2x3) 3 一般地,y (n) (1) n n!.2 n (2x3) n ,从而 28.设 yy(x)是由方程 xyc y x1 确定的隐函数,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:应填3)解析:解析:详解方程 xye y x1 两边对 x求导 有 yxy“y“e y 1,得 再次对 x求导 2y“xy“y“e y (y“) 2 e y 0, 得 当 x0 时,y0,y“1,代入上式 29.函数 yln(12x)在 x0 处的 n阶导数 y (n) (0) 1(分数:2.00)填空项 1:

27、_ (正确答案:正确答案:应填2 n .(n1)!)解析:解析:分析 利用函数 yln(1x)的高阶导数公式 详解 ln(12x) (n) 30.设 yy(x)是由方程 x 2 y1e y 所确定的隐函数,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:应填 1)解析:解析:详解 将 x0 代入方程 x 0 y1e y 得 y0 在方程 x 2 y1e y 两边同时对x求导得 2xy“e y .y“,代入 x0,y0 得 y“(0)0 再在方程 2xy“e y .y“两边对 x求导得2y“e y .(y“) 2 e y .y“, 代入 x0,y0,y“(0)0 得 y“(0)1 故

28、应填 131.设函数 ,则 yf(x)的反函数 xf“(y)在 y0 处的导数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:应填*)解析:解析:分析考查变限积分与反函数的求导运算 详解等式 两端对 x求导,得 , 令32.设函数 yy(x)由方程 2 xy xy 所确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:应填(ln21)dx)解析:解析:分析 本题可用微分形式小变性或隐函数求导方法进行计算。注意 x0 时,代入对应方程得 y1,因此相当于求在点(0,1)处的微分 详解 根据微分形式不变性,等式两边同时求微分,得 2 xy (ydxxdy)ln2dxdy 由

29、原方程知,当 x0 时,y1,将其代入上式,得 ln2dxdxdy, 即有 33.设 y(1sinx) x ,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:应填dx)解析:解析:分析 本题属基本题型,幂指函数的求导(或微分)问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导 详解 1y(1sinx) x e xln(1sinx) ,于是 , 从而 y“()dxdx 详解 2 方程两边取对数,lnyxln(1sinx),对 x求导,得 , 于是y“(1sinx) x . 故 三、解答题(总题数:10,分数:20.00)34.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.0

30、0)_解析:35.设函数 f(x)在(,)上有定义,在区间0,2上,f(x)x(x 2 4),若对任意的 x都满足f(x)kf(x2),其中 k为常数 (1)写出 f(x)在2,0)上的表达式; (2)问 k为何值时,f(x)在x0 处可导?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)当2x0,即 0x22 时, f(x)kf(x2)k(x2)E(x2) 2 4kx(x2)(x4) (2)由题设知 f(0)0 令 f“(0)f“ 即当 )解析:解析:分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论36.已知 f(x)是周期为 5的连续函数,它在 x0 的某个邻域内满足关系式 f(1sinx)3f

31、(1 一 sinr)8xa(x),其中 a(x)是当 x0 时比 x高阶的无穷小,且 f(x)在 x1 处可导,求曲线 yf(x)在点(6,f(6)处的切线方程(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对 f(1sinx)3f(1sinx)8xa(x)两边取极限,得 , 即有 f(1)3f(1)0,于是得 f(1)0 又因为 , 可见有 f(1)3f“(1)4f“(1)8, 故得 f“(1)2 由于 f(x5)f(x),所以f(6)f(1)0, )解析:解析:分析 求点(6,f(6)处的切线方程,关键是求出 f“(6),而根据 f(x)是周期为 5的函数知,问题进一步转化为求在 x1 处的导数

32、 f“(1),这恰好可通过已知关系式得到 评注 若 f(x)是以 T为周期的可导函数,则由 f(xT)f(x),有 f“(xT)f“(x),即其导函数仍为同周期函数本题只知f(x)连续,且只可推导出在一点。x1 处可导,因此其在 x6 处的导数,不能直接套用公式 f“(xT)f“(x),而必须根据导数的定义进行计算37.已知曲线的极坐标方程是 r1cos,求该曲线上对应于 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:此曲线的参数方程为 由 ,得到切点的坐标 于是所求的切线方程为 , 法线方程为 )解析:解析:分析 将极坐标方程化为参数方程,求出对应于38.已知曲线 L的方程 (分数:2.00)_

33、正确答案:(正确答案:(1)因为 故曲线 L当 f0 时是凸的 (2)由(1)知,切线方程为 y0 (x1),设 x 0 t 0 2 1,y 0 4t 0 t 0 2 ,则(fi2),即 4t 0 t 0 2 (2t 0 )(t 0 2 2),整理得 t 0 2 t 0 20(t 0 1)(t 0 2)0t 0 1,t 0 2(舍去)将 t 0 1 代入参数方程,得切点为(2,3),故切线方程为 y3 (x2),即 yx1 (3)由题设可知,所水平面图形如图 121所示,其中各点坐标为 A(1,0),B(2,0),C(2,3),D(1,0), 设 L的方程 xg(y),则 S 0 3 g(y)

34、(y1)dy 由参数方程可得 由于 C(2,3)在 L上,则xg(y) 于是 )解析:解析:分析 (1)利用曲线凹凸的定义来判定;(2)先写出切线方程,然后利用(1,0)在切线上;(3)利用定积分计算平面图形的面积 评注 本题为基本题型,第(3)问求平面图形的面积时,要将参数方程转化为直角坐标方程求解39.设 yy(x)由 所确定,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:详解 1 , 由 , 得 , 因而 。 详解 2 由xarctant,得 ttanx,将其代入题目中第二式有 2y一 y 2 tanxe tanx 5,两边对 x求导得 ,解得 )解析:解析:yy(x)由参数方程和隐函数

35、方程联合确定,求 需先分别求出 而求 应按隐函数求导法也可以将 ttanx 代入方程 2yty 2 e“5 中,两边对 x求导便可解出 40.求函数,f(x)x 2 ln(1x)在 x0 处的 n阶导数 f (n) (0)(n3)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:详解 1 由麦克劳林公式(x0 处的泰勒展开式) , 及 比较 x n 的系数得 。 详解 2 由莱布尼兹公式 (uv) (n) u (n) v (0) C n 1 u (n2) v“u (0) v (n) , )解析:解析:分析 求 f(x)在点 xx 0 处的 n阶导数,通常可考虑将此函数在点 xx 0 处按一般公式展开为

36、泰勒级数,和函数表达式中根据已知函数的泰勒展开所得级数进行比较,求得该点处的 n阶导数但考虑到本题 f(x)是由两项乘积所构成,且其中一个因子为 x 2 ,其三阶以上的导数均为零,因此也可通过莱布尼兹公式进行计算 评注 本题若试图通过求 f(x)的一阶、二阶、三阶甚至更高阶导数后,冉找出一般性的规律是很困难的,从本题的求解可看出,常见函数如 e x ,sinx,cosx,tanx,cotx,ln(1x)以及(1x) a 等的级数展开式廊当熟练掌掘41.设函数 yy(x)由方程 y1xe y 确定,则 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:应填e)解析:解析:分析 本题为隐函数求导,可通过方

37、程两边对 x求导(注意 y是 x的函数),一阶微分形式不变性羽和隐函数存在定理求解 详解 1 方程两边对 x求导,得 y“e y xy“e y 义由原方程知,x0 时,y1代入上式得 详解 2 方程两边微分,得 dye y dxxe y dy, 代入x0,y1,得 详解 3 令 F(x,y)y1xe y ,则 42.设函数 yy(x)由参数方程 确定,其中 x(t)是初值问题 的解求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 得 e x dx2tdt,积分并由条件 ,得 e x 1 十 t 2 ,即xln(1t 2 ) )解析:43.设函数 f(u)可导,yf(x 2 )与自变量 x在 x1 处取得增量x01 时,相应的函数增量y,的线性主部为 01,则 f“(1)等于(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:D)解析:解析:分析 函数可导必可微,y 的线性主部为函数的微分 详解 dyf“(x 2 )2xdx 由题设条件 012f“(1).(01)02f“(1), 故 f“(1)

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