1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 3及答案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f(x)(x 2 x2)x 3 x不可导点的个数是（分数：2.00）A.3B.2C.1D.03.设函数 （分数：2.00）A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点D.至少有三个不可导点4.设函数 f(x)在 x0 处连续，下列命题错误的是（分数：2.00）A.若B.若C.若D.若5.设函数 f(x)在 x0 处可导，且 f(0)0，则 （分数：2.0
2、0）A.2f“(0)B.f“(0)C.f“(0)D.06.设函数 yf(x)由方程 cos(xy)lnyx1 确定，则 （分数：2.00）A.2B.1C.-1D.-27.设函数 yy(x)由参数方程 （分数：2.00）A.B.C.8ln23D.8ln238.曲线 yx 2 与曲线 yaln x(a0)相切，则 a（分数：2.00）A.4eB.3eC.2eD.e9.设函数 g(x)可微，h(x)e 1g(x) ，h“(x)1，g“(1)2，则 g(1)等于（分数：2.00）A.ln31B.ln31C.ln21D.ln2110.设函数 f(x)(e x 一 1)(e 2x 2).(e nx n)，
3、其中 n为正整数，则 f“(0)（分数：2.00）A.(1) n1 (n1)!B.(1) n (n1)!C.(1) n1 n!D.(1) n n!11.设 f(x) （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导12.设函数 yf(x)具有二阶导数，且 f“(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x在点 x 0 处的增量，y 与dy分别为 f(x)在点 x 0 处对应的增量与微分，若x0，则（分数：2.00）A.0dyAyB.0AydyC.Aydy0D.dyy013.已知函数 yf(x)对一切 x满足 xf“(x)3xf“(x) 2 1e x ，若 f“(x 0
4、 )0(x 0 )0)，则（分数：2.00）A.f(x 0 )是 f(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极小值C.(x 0 )，f(x 0 )是曲线 yf(x)的拐点D.f(x 0 )不是 f(x)的极值，(x 0 )，f(x 0 )也不是曲线 yf(x)的拐点14.设函数 f(x)在 xa 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当 x(a，a)时，必有（分数：2.00）A.(xa)f(x)f(a)0B.(xa)f(x)f(a)0C.D.15.设函数 f(x)，g(x)是大于零的可导函数，且 f“(x)g(x)f(x)g“(x)0。则当 axb 时，有（分数：2.00
5、）A.f(x)g(b)f(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)16.已知函数 yf(x)仵其定义域内可导，它的图形如图 123 所示，则其导函数 yf“(x)的图形为（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：17，分数：34.00)17.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_18.设函数 yf(x)由方程 e 2xy cos(xy)e1 所确定，则曲线 yf(x)在点(0，1)处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设函数 yf(x)由方程 xy2lnxy 4 所确定，则曲线 yf(
6、x)在点(1，1)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_20.曲线 ，上对应于 （分数：2.00）填空项 1:_21.曲线 sin(xy)ln(yx)x 在点(01)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_22.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_23.已知一个长方形的长 l以 2cms 的速率增加，宽 w以 3 cms 的速牢增加，则当 l12cm，w5cm 时，它的对角线增加的速率为 1（分数：2.00）填空项 1:_24.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_25.设 （分数：2.00）填空项 1:_26.设函数 yy(x)由方程 ln(x 2 y)x 3 ysi
7、nT 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_27.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_28.设 yy(x)是由方程 xyc y x1 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_29.函数 yln(12x)在 x0 处的 n阶导数 y (n) (0) 1（分数：2.00）填空项 1:_30.设 yy(x)是由方程 x 2 y1e y 所确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_31.设函数 ，则 yf(x)的反函数 xf“(y)在 y0 处的导数 （分数：2.00）填空项 1:_32.设函数 yy(x)由方程 2 xy xy 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_3
8、3.设 y(1sinx) x ，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)34.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_35.设函数 f(x)在(，)上有定义，在区间0，2上，f(x)x(x 2 4)，若对任意的 x都满足f(x)kf(x2)，其中 k为常数 (1)写出 f(x)在2，0)上的表达式； (2)问 k为何值时，f(x)在x0 处可导?（分数：2.00）_36.已知 f(x)是周期为 5的连续函数，它在 x0 的某个邻域内满足关系式 f(1sinx)3f(1 一 sinr)8xa(x)，其中 a(x)是当 x0 时比
9、x高阶的无穷小，且 f(x)在 x1 处可导，求曲线 yf(x)在点(6，f(6)处的切线方程（分数：2.00）_37.已知曲线的极坐标方程是 r1cos，求该曲线上对应于 （分数：2.00）_38.已知曲线 L的方程 （分数：2.00）_39.设 yy(x)由 所确定，求 （分数：2.00）_40.求函数，f(x)x 2 ln(1x)在 x0 处的 n阶导数 f (n) (0)(n3)（分数：2.00）_41.设函数 yy(x)由方程 y1xe y 确定，则 （分数：2.00）_42.设函数 yy(x)由参数方程 确定，其中 x(t)是初值问题 的解求 （分数：2.00）_43.设函数 f(
10、u)可导，yf(x 2 )与自变量 x在 x1 处取得增量x01 时，相应的函数增量y，的线性主部为 01，则 f“(1)等于（分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 3答案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f(x)(x 2 x2)x 3 x不可导点的个数是（分数：2.00）A.3B.2 C.1D.0解析：解析：分析 本题可按定义逐点讨论绝对值符号内为零的点是否均为不可导点，但计算量 会很大注意到xx 0 在 xx 0
11、 处不可导，但(xx 0 )xx 0 在 xx 0 处可导，则可 方便地找到答案 详解 因为 f(x)(x 2 x2)x 2 x(x2)(x1)x(x1)(x1)， 可见 f(x)在 x0，1 处不可导，而在 x1 处可导，故 f(x)的不可导点的个数为 2 评注 一般地，若 F(x)f(x)(x)，其中 f(x 0 )0，f“(x 0 )存在且不为零，(x)在 xx 0 处连续，则 F(x)在 xx 0 处可导的充要条件是 (x 0 )03.设函数 （分数：2.00）A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点 D.至少有三个不可导点解析：解析：分析 先求出 f(x)的表达式，再讨论
12、其可导情形 详解 当x1 时，f(x) ； 当x1 时，f(x) ； 当x1 时，f(x) 。 即 f(x)4.设函数 f(x)在 x0 处连续，下列命题错误的是（分数：2.00）A.若B.若C.若D.若 解析：解析：分析 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论 详解(A)，(B)两项中分母的极限为 0，因此分子的极限也必须为 0，均可推导出 f(0)0若 存在，则 f(0)0，f“(0) ，可见(C)也正确故应选(D) 事实上，可举反例：f(x)x在 x0 处连续，且5.设函数 f(x)在 x0 处可导，且 f(0)0，则 （分数：2.00）A.2f
13、“(0)B.f“(0) C.f“(0)D.0解析：解析：分析利用导数的定义，属基本题型 详解6.设函数 yf(x)由方程 cos(xy)lnyx1 确定，则 （分数：2.00）A.2 B.1C.-1D.-2解析：解析：分析利用隐函数求导方法与导数定义 详解存方程 cos(xy)lnyx1 中，令x0，得 y1，等式两端对 x求导得 将 x0，y1 代入上式，得 y“(0)1于是7.设函数 yy(x)由参数方程 （分数：2.00）A. B.C.8ln23D.8ln23解析：解析：分析 先由 x3 确定 t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可 得所求的横坐标 详解 当 x3 时，有
14、 t 2 2t3，得 t1，t3(舍去，此时 y无意义)，于是 可见过点 x3(此时 yln2)的法线方程为：yln28(x3)， 令 y0，得其与 x轴交点的横坐标为： 8.曲线 yx 2 与曲线 yaln x(a0)相切，则 a（分数：2.00）A.4eB.3eC.2e D.e解析：解析：分析 利用导数的几何意义(切点处斜率相等)及两条曲线都经过切点 详解 因 yx 2 与 yaln x(a0)相切，故 在 yx 2 上， ；在 yalnx(a0)上， y 因此 9.设函数 g(x)可微，h(x)e 1g(x) ，h“(x)1，g“(1)2，则 g(1)等于（分数：2.00）A.ln31B
15、.ln31C.ln21 D.ln21解析：解析：详解 由 h(x)e 1g(x) 得 h“(x)e 1g(x) .g“(x) 将 x1 代入，并由题设条件知 1e 1g(x) .2 1g(1)ln2， 于是 g(1)ln21故应选(C)10.设函数 f(x)(e x 一 1)(e 2x 2).(e nx n)，其中 n为正整数，则 f“(0)（分数：2.00）A.(1) n1 (n1)! B.(1) n (n1)!C.(1) n1 n!D.(1) n n!解析：解析：详解 方法一 用一点处导数定义求 11.设 f(x) （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D
16、.可导 解析：解析：分析 本题考查极限、连续和可导三个基本概念及它们之间的关系若 f(x)在 x0 处可导，则(A)、(B)、(C)三个选项可立即排除，因此可从判断 f(x)在 x0 处是否可导入手 详解 因为12.设函数 yf(x)具有二阶导数，且 f“(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x在点 x 0 处的增量，y 与dy分别为 f(x)在点 x 0 处对应的增量与微分，若x0，则（分数：2.00）A.0dyAy B.0AydyC.Aydy0D.dyy0解析：解析：分析 根据几何意义用图示法求解，也可用拉格朗日中值定理，或用泰勒公式 详解 1 由 f“(x)0,f“(x)0 知，函数 f
17、(x)单凋增加，曲线 yf(x)凹向，作函数 yf(x)的图形如图 122所示，显然当x0 时， ydyf“(x 0 )dxf“(x 0 )x0，故应选(A) 13.已知函数 yf(x)对一切 x满足 xf“(x)3xf“(x) 2 1e x ，若 f“(x 0 )0(x 0 )0)，则（分数：2.00）A.f(x 0 )是 f(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极小值 C.(x 0 )，f(x 0 )是曲线 yf(x)的拐点D.f(x 0 )不是 f(x)的极值，(x 0 )，f(x 0 )也不是曲线 yf(x)的拐点解析：解析：分析 将 x 0 代入已知方程，可得 f“(x 0
18、)，从而用极值的第二充分条件判定 详解 由 f“(x 0 )0 知 x 0 是 f(x)的驻点，将 xx 0 代入微分方程 xf“(x)43xf“(x) 2 1 一 e x ，得 14.设函数 f(x)在 xa 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当 x(a，a)时，必有（分数：2.00）A.(xa)f(x)f(a)0B.(xa)f(x)f(a)0C. D.解析：解析：详解 由题设，存在邻域(a，a)，使当 x(a，a)时，有 f(x)f(a) 所以 当 axa 时，(xa)f(x)f(a)0； 当 ax 故应选(C)15.设函数 f(x)，g(x)是大于零的可导函数，且 f
19、“(x)g(x)f(x)g“(x)0。则当 axb 时，有（分数：2.00）A.f(x)g(b)f(b)g(x) B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)解析：解析：分析 本题相当于一道简单不等式的证明题，自然联想到用单凋性进行讨论，这只需将题设条件转化为某函数的导数即可达到目的 详解 由题设知 因此当 axb 时，有16.已知函数 yf(x)仵其定义域内可导，它的图形如图 123 所示，则其导函数 yf“(x)的图形为（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：分析 本题设计比较新颖，条件和结论均以直观的图形方式表示，考
20、查导数的应用性质，若能熟练掌握单凋性的判断和罗尔巾值定理，答案是显而易见的 详解 从题设图形可见，在 y轴的左侧，曲线 yf(x)是严格单调增加的，因此当 x0 时，一定有 f“(x)0，对应 yf“(x)的图形必在轴的上方，由此可排除(A)，(C)；又 yf(x)的图形在 y轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理可知其导函数 yf“(x)的图形在 y轴右侧一定有两个零点，进一步可排除(B)故臆选(D) 评注 本题可有很多变化，比如考查 yf(x)与 y(x)的图形关系，或考查 yf“(x)与 yf“(x)的图形关系，这时可进一步将凹凸区间和拐点的性质考查到，但不管怎样，只要熟练掌握了导数应用的
21、几何意义就可方便求解二、填空题(总题数：17，分数：34.00)17.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 y2x10）解析：解析：分析 本题通过求曲线的法线方程，考查求参数方程所确定的函数在一点的导数注意，由曲线过点(0，1)知此时对应参数 t0 详解 根据参数方程的求导公式，有 ， 而由x0，y1 知，此时对应 t0，故18.设函数 yf(x)由方程 e 2xy cos(xy)e1 所确定，则曲线 yf(x)在点(0，1)处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 x2y20）解析：解析：分析 本题综合了隐函数求导和导数的几
22、何应用两个知识点，方程两边直接对 x求导得到在 x0 处的导数值 f“(0)后，相应法线方程的斜率为 ，再用点斜式即可求出法线方程 详解 等式 e 2xy cos(xy)e1 两边同时对 x求导，得 e 2xy .(2y“)sin(xy).(yxy)0， 将x0，y1 代入上式，得 y“(0)2 故所求法线方程为 19.设函数 yf(x)由方程 xy2lnxy 4 所确定，则曲线 yf(x)在点(1，1)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 xy0）解析：解析：分析 先求出在点(1，1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可 详解 等式xy2lnxy
23、 4 两边同时对 x求导，得 20.曲线 ，上对应于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析：解析：因为 ，故法线斜率为21.曲线 sin(xy)ln(yx)x 在点(01)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 yx1）解析：解析：详解 等式 sin(xy)ln(yx)x 两边同时对 x求导，得 cos(xy).(y_y“) 将x0，y1 代入上式，有22.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 y2x。）解析：解析：分析利用参数方程确定函数的导数，利用变限积分的导数公式求出 ，再写出切线方程
24、详解 xy0 时，t1 所以，23.已知一个长方形的长 l以 2cms 的速率增加，宽 w以 3 cms 的速牢增加，则当 l12cm，w5cm 时，它的对角线增加的速率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 3 cms）解析：解析：分析 利用导数的物理意义 详解 设 lx(t)，wy(t)，由题意知，在 tt 0 时 x(t 0 )12，y(t 0 )5，且 x“(t 0 )2，y“(t 0 )3 又 ， 因而 24.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析：解析：分析考查极坐标下方程的求导和导数的几何意义 详解将 t1 代入 又
25、 所以 ，曲线上对应于 t一 1的点处的法线的斜牢为1，所求法线方程为25.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析：解析：详解 由题意得 于是26.设函数 yy(x)由方程 ln(x 2 y)x 3 ysinT 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 1）解析：解析：分析 本题考查隐函数的求导问题，等式两端同时对 x求导，并令 x0，即可得到所求的结果 详解 方程两边同时对 x求导，得 ， 由原方程知，x0 时，y1，将 x0，y1 代入上式，得 27.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析
26、：解析：y(2x3) 1 ，y“1.2(2x3) 2 ，y“1.(2).2 2 (2x3) 3 一般地，y (n) (1) n n!.2 n (2x3) n ，从而 28.设 yy(x)是由方程 xyc y x1 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填3）解析：解析：详解方程 xye y x1 两边对 x求导 有 yxy“y“e y 1，得 再次对 x求导 2y“xy“y“e y (y“) 2 e y 0， 得 当 x0 时，y0，y“1，代入上式 29.函数 yln(12x)在 x0 处的 n阶导数 y (n) (0) 1（分数：2.00）填空项 1:
27、_ （正确答案：正确答案：应填2 n .(n1)!）解析：解析：分析 利用函数 yln(1x)的高阶导数公式 详解 ln(12x) (n) 30.设 yy(x)是由方程 x 2 y1e y 所确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 1）解析：解析：详解 将 x0 代入方程 x 0 y1e y 得 y0 在方程 x 2 y1e y 两边同时对x求导得 2xy“e y .y“，代入 x0，y0 得 y“(0)0 再在方程 2xy“e y .y“两边对 x求导得2y“e y .(y“) 2 e y .y“， 代入 x0，y0，y“(0)0 得 y“(0)1 故
28、应填 131.设函数 ，则 yf(x)的反函数 xf“(y)在 y0 处的导数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析：解析：分析考查变限积分与反函数的求导运算 详解等式 两端对 x求导，得 ， 令32.设函数 yy(x)由方程 2 xy xy 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填(ln21)dx）解析：解析：分析 本题可用微分形式小变性或隐函数求导方法进行计算。注意 x0 时，代入对应方程得 y1，因此相当于求在点(0，1)处的微分 详解 根据微分形式不变性，等式两边同时求微分，得 2 xy (ydxxdy)ln2dxdy 由
29、原方程知，当 x0 时，y1，将其代入上式，得 ln2dxdxdy， 即有 33.设 y(1sinx) x ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填dx）解析：解析：分析 本题属基本题型，幂指函数的求导(或微分)问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导 详解 1y(1sinx) x e xln(1sinx) ，于是 ， 从而 y“()dxdx 详解 2 方程两边取对数，lnyxln(1sinx)，对 x求导，得 ， 于是y“(1sinx) x . 故 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)34.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.0
30、0）_解析：35.设函数 f(x)在(，)上有定义，在区间0，2上，f(x)x(x 2 4)，若对任意的 x都满足f(x)kf(x2)，其中 k为常数 (1)写出 f(x)在2，0)上的表达式； (2)问 k为何值时，f(x)在x0 处可导?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当2x0，即 0x22 时， f(x)kf(x2)k(x2)E(x2) 2 4kx(x2)(x4) (2)由题设知 f(0)0 令 f“(0)f“ 即当 )解析：解析：分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论36.已知 f(x)是周期为 5的连续函数，它在 x0 的某个邻域内满足关系式 f(1sinx)3f
31、(1 一 sinr)8xa(x)，其中 a(x)是当 x0 时比 x高阶的无穷小，且 f(x)在 x1 处可导，求曲线 yf(x)在点(6，f(6)处的切线方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 f(1sinx)3f(1sinx)8xa(x)两边取极限，得 ， 即有 f(1)3f(1)0，于是得 f(1)0 又因为 ， 可见有 f(1)3f“(1)4f“(1)8， 故得 f“(1)2 由于 f(x5)f(x)，所以f(6)f(1)0， )解析：解析：分析 求点(6，f(6)处的切线方程，关键是求出 f“(6)，而根据 f(x)是周期为 5的函数知，问题进一步转化为求在 x1 处的导数
32、 f“(1)，这恰好可通过已知关系式得到 评注 若 f(x)是以 T为周期的可导函数，则由 f(xT)f(x)，有 f“(xT)f“(x)，即其导函数仍为同周期函数本题只知f(x)连续，且只可推导出在一点。x1 处可导，因此其在 x6 处的导数，不能直接套用公式 f“(xT)f“(x)，而必须根据导数的定义进行计算37.已知曲线的极坐标方程是 r1cos，求该曲线上对应于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此曲线的参数方程为 由 ，得到切点的坐标 于是所求的切线方程为 ， 法线方程为 )解析：解析：分析 将极坐标方程化为参数方程，求出对应于38.已知曲线 L的方程 （分数：2.00）_
33、正确答案：(正确答案：(1)因为 故曲线 L当 f0 时是凸的 (2)由(1)知，切线方程为 y0 (x1)，设 x 0 t 0 2 1，y 0 4t 0 t 0 2 ，则(fi2)，即 4t 0 t 0 2 (2t 0 )(t 0 2 2)，整理得 t 0 2 t 0 20(t 0 1)(t 0 2)0t 0 1，t 0 2(舍去)将 t 0 1 代入参数方程，得切点为(2，3)，故切线方程为 y3 (x2)，即 yx1 (3)由题设可知，所水平面图形如图 121所示，其中各点坐标为 A(1，0)，B(2，0)，C(2，3)，D(1，0)， 设 L的方程 xg(y)，则 S 0 3 g(y)
34、(y1)dy 由参数方程可得 由于 C(2，3)在 L上，则xg(y) 于是 )解析：解析：分析 (1)利用曲线凹凸的定义来判定；(2)先写出切线方程，然后利用(1，0)在切线上；(3)利用定积分计算平面图形的面积 评注 本题为基本题型，第(3)问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐标方程求解39.设 yy(x)由 所确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1 ， 由 ， 得 ， 因而 。 详解 2 由xarctant，得 ttanx，将其代入题目中第二式有 2y一 y 2 tanxe tanx 5，两边对 x求导得 ，解得 )解析：解析：yy(x)由参数方程和隐函数
35、方程联合确定，求 需先分别求出 而求 应按隐函数求导法也可以将 ttanx 代入方程 2yty 2 e“5 中，两边对 x求导便可解出 40.求函数，f(x)x 2 ln(1x)在 x0 处的 n阶导数 f (n) (0)(n3)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1 由麦克劳林公式(x0 处的泰勒展开式) ， 及 比较 x n 的系数得 。 详解 2 由莱布尼兹公式 (uv) (n) u (n) v (0) C n 1 u (n2) v“u (0) v (n) ， )解析：解析：分析 求 f(x)在点 xx 0 处的 n阶导数，通常可考虑将此函数在点 xx 0 处按一般公式展开为
36、泰勒级数，和函数表达式中根据已知函数的泰勒展开所得级数进行比较，求得该点处的 n阶导数但考虑到本题 f(x)是由两项乘积所构成，且其中一个因子为 x 2 ，其三阶以上的导数均为零，因此也可通过莱布尼兹公式进行计算 评注 本题若试图通过求 f(x)的一阶、二阶、三阶甚至更高阶导数后，冉找出一般性的规律是很困难的，从本题的求解可看出，常见函数如 e x ，sinx，cosx，tanx，cotx，ln(1x)以及(1x) a 等的级数展开式廊当熟练掌掘41.设函数 yy(x)由方程 y1xe y 确定，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应填e)解析：解析：分析 本题为隐函数求导，可通过方
37、程两边对 x求导(注意 y是 x的函数)，一阶微分形式不变性羽和隐函数存在定理求解 详解 1 方程两边对 x求导，得 y“e y xy“e y 义由原方程知，x0 时，y1代入上式得 详解 2 方程两边微分，得 dye y dxxe y dy， 代入x0，y1，得 详解 3 令 F(x，y)y1xe y ，则 42.设函数 yy(x)由参数方程 确定，其中 x(t)是初值问题 的解求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 e x dx2tdt，积分并由条件 ，得 e x 1 十 t 2 ，即xln(1t 2 ) )解析：43.设函数 f(u)可导，yf(x 2 )与自变量 x在 x1 处取得增量x01 时，相应的函数增量y，的线性主部为 01，则 f“(1)等于（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D)解析：解析：分析 函数可导必可微，y 的线性主部为函数的微分 详解 dyf“(x 2 )2xdx 由题设条件 012f“(1).(01)02f“(1)， 故 f“(1)
