1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 4及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(1991年)曲线 y （分数：2.00）A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线也有铅直渐近线3.(1992年)当 0 时，sin 是 2 的 【 】（分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小4.(1993年)设 f() （分数：2.00）A.不连续B.连续，但不可导C.可导，但导数不连续D.可导，
2、且导数连续5.(1993年)设常数 k0，函数 f()ln （分数：2.00）A.3B.2C.1D.06.(1993年)若 f()f()，在(0，)内 f()0，f()0，则 f()在(，0)内 【 】（分数：2.00）A.f()0，f()0B.f()0，f()0C.f()0，f()0D.f()0，f()07.(1994年)设 （分数：2.00）A.a1，bB.a0，b2C.a0，bD.a1，b28.(1994年)设 f() （分数：2.00）A.左、右导数都存在B.左导数存在，但右导数不存在C.左导数不存在，但右导数存在D.左、右导数都不存在9.(1994年)设 yf()是满足微分方程 yy
3、e sin 0 的解，且 f( 0 )0，则 f()在 【 】（分数：2.00）A. 0 某邻域内单调增加B. 0 某邻域内单调减少C. 0 处取得极小值D. 0 处取得极大值10.(1994年)曲线 y （分数：2.00）A.1条B.2条C.3条D.4条11.(1995年)设 f()在(，)内可导，且对任意 1 ， 2 ，当 1 2 时，都有 f( 1 )f( 2 )，则 【 】（分数：2.00）A.对任意 ，f()0B.对任意 ，f()0C.函数 f()单调增加D.函数f()单调增加12.(1995年)设函数 f()在0，1上 f()0，则 f(1)、f(0)、f(1)f(0)或 f(0)
4、f(1)的大小顺序是 【 】（分数：2.00）A.f(1)f(0)f(1)f(0)B.f(1)f(1)f(0)f(0)C.f(1)f(0)f(1)f(0)D.f(1)f(0)f(1)f(0)13.(1995年)设 f()可导，F()f()(1sin)若 F()在 0 处可导，则必有 【 】（分数：2.00）A.f(0)0B.f(0)0C.f(0)f(0)0D.f(0)f(0)0二、填空题(总题数：10，分数：20.00)14.(1992年)设 ，其中 f可导，且 f(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.(1992年)函数 y2cos 在区间0， （分数：2.00）填空项 1:_1
5、6.(1993年) （分数：2.00）填空项 1:_17.(1993年)函数 yy()由方程 sin( 2 y 2 )e 0 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.(1994年)设函数 yy()由参数方程 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_19.(1995年)设 ycos( 2 )sin 2 （分数：2.00）填空项 1:_20.(1995年)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_21.(1995年)曲线 y 2 （分数：2.00）填空项 1:_22.(1996年)设 y （分数：2.00）填空项 1:_23.(1997年)设 y （分数：2.00）填空项 1:_三、解答
6、题(总题数：9，分数：18.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.(1989年)确定函数 y （分数：2.00）_26.(1990年)求由方程 2y(y)ln(y)所确定的函数 yy()的微分 dy（分数：2.00）_27.(1990年)求曲线 y （分数：2.00）_28.(1990年)在椭圆 （分数：2.00）_29.(1990年)证明：当 0，有不等式 arctan （分数：2.00）_30.(1991年)设 （分数：2.00）_31.(1991年)求 （分数：2.00）_32.(1991年)利用导数证明：当 1 时，有不等式 （分数：2.0
7、0）_考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 4答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(1991年)曲线 y （分数：2.00）A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线也有铅直渐近线 解析：解析：由于 1，则原曲线有水平渐近线 y1，又3.(1992年)当 0 时，sin 是 2 的 【 】（分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小 C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小解析：解析：由于 4.(1993年)设 f
8、() （分数：2.00）A.不连续 B.连续，但不可导C.可导，但导数不连续D.可导，且导数连续解析：解析： 即5.(1993年)设常数 k0，函数 f()ln （分数：2.00）A.3B.2 C.1D.0解析：解析：由 f()ln k 可知，f() 令 f()0 得 e，且当(0，e)时 f()0，则 f()严格单调增；而当 (e，)时，f() 0，则 f()严格单调减，又 f(e)k0，而 ， 则 f()在(0，e)和(e，)分别有唯一零点，故 f()ln6.(1993年)若 f()f()，在(0，)内 f()0，f()0，则 f()在(，0)内 【 】（分数：2.00）A.f()0，f(
9、)0B.f()0，f()0C.f()0，f()0 D.f()0，f()0解析：解析：由 f()f()知 f(z)f()，即 f()的图形关于原点对称，从而由在(0，)内 f()0，f()0 可知，在(，0)内 f()0，f()0，因此应选 C7.(1994年)设 （分数：2.00）A.a1，b B.a0，b2C.a0，bD.a1，b2解析：解析： 由上式右端可知 a1，否则原式极限为无穷8.(1994年)设 f() （分数：2.00）A.左、右导数都存在B.左导数存在，但右导数不存在 C.左导数不存在，但右导数存在D.左、右导数都不存在解析：解析： 1，但 f(1) ，则 f()在 1 不右连
10、续，从而 f + (1)不存在，又 3 在 1 可导，而 1 时 f() 9.(1994年)设 yf()是满足微分方程 yye sin 0 的解，且 f( 0 )0，则 f()在 【 】（分数：2.00）A. 0 某邻域内单调增加B. 0 某邻域内单调减少C. 0 处取得极小值 D. 0 处取得极大值解析：解析：由于 yf()满足方程 yye sin 0，则 f()f()e sin 0 令 0 ，得 f( 0 )f( 0 ) 0 即 f( 0 ) 10.(1994年)曲线 y （分数：2.00）A.1条B.2条 C.3条D.4条解析：解析：由 可知原曲线有水平渐近线 y 又 ，则原曲线有垂直渐
11、近线 0，虽然原题中当 1，2 时分母为零，但11.(1995年)设 f()在(，)内可导，且对任意 1 ， 2 ，当 1 2 时，都有 f( 1 )f( 2 )，则 【 】（分数：2.00）A.对任意 ，f()0B.对任意 ，f()0C.函数 f()单调增加D.函数f()单调增加 解析：解析：由于对任意的 1 ， 2 ，当 1 2 时 1 2 ，则有 f( 1 )( 2 )，即f( 1 )f( 2 )，也就是说，当 1 2 时，f( 1 )f( 2 )，故f()单调增12.(1995年)设函数 f()在0，1上 f()0，则 f(1)、f(0)、f(1)f(0)或 f(0)f(1)的大小顺序
12、是 【 】（分数：2.00）A.f(1)f(0)f(1)f(0)B.f(1)f(1)f(0)f(0) C.f(1)f(0)f(1)f(0)D.f(1)f(0)f(1)f(0)解析：解析：由于 f()0 0，1 则 f()单调增，又 f(1)f(0)f(c) c(0，1) 从而f(1)f(c)f(0) 即 f(1)f(1)f(0)f(0)13.(1995年)设 f()可导，F()f()(1sin)若 F()在 0 处可导，则必有 【 】（分数：2.00）A.f(0)0 B.f(0)0C.f(0)f(0)0D.f(0)f(0)0解析：解析：由于 F()f()f()sin，而 f()可导，则 F()
13、在 0 可导等价于f()sin在 0 可导，令 ()f()sin二、填空题(总题数：10，分数：20.00)14.(1992年)设 ，其中 f可导，且 f(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：15.(1992年)函数 y2cos 在区间0， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：y12sin，令 y0 得 y2cos， 0，则 y2cos在 取得极大值，又在(0， )上极值点唯一，则该极大值为最大值，最大值为16.(1993年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：17.(19
14、93年)函数 yy()由方程 sin( 2 y 2 )e 0 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：等式 sin( 2 y 2 )e y y 2 0 两边对 求导得 18.(1994年)设函数 yy()由参数方程 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(6t5)(t1)）解析：解析：19.(1995年)设 ycos( 2 )sin 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2sin( 2 )sin 2 ）解析：解析：20.(1995年)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3
15、y70）解析：解析：21.(1995年)曲线 y 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y0）解析：解析：由于22.(1996年)设 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：23.(1997年)设 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由对数的性质可知 y ln(1)ln(1 2 ) 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.(1989年)确定函数 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 y0 得 2；令
16、 y0 得 3 则该函数在(2，0)上单调增，在(，2)和(0，)上单调减，在 2 取极小值 ，其图形在(3，0)和(0，)上是凹的，在(，3)上是凸的，拐点为(3， ) 又 )解析：26.(1990年)求由方程 2y(y)ln(y)所确定的函数 yy()的微分 dy（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：等式 2y(y)ln(y)两边微分得 2dyd(ddy)ln(y)(y). (ddy)(ddy)1ln(y) 则 dy )解析：27.(1990年)求曲线 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 y0，得 ，且 y在 两侧变号，则 )解析：28.(1990年)在椭圆 （分数：2
17、.00）_正确答案：(正确答案：设 P( 0 ，y 0 )为所求点，则此点处椭圆的切线方程为 令 0，得该切线在 y轴上的截距为 ， 令 y0，得该切线在 轴上截距为 因为 S 1 的极大点即S的极小点，为计算方便，求 S的极小值点改为求 S 1 的极大值点 S 1 令 S 1 0，得 0 ，且 S 1 在 0 点处左侧为正；右侧为负，则 S 1 在 0 取得极大值，又 0 为 S 1 在(0，a)上唯一极值点，则 S 1 在 0 取极大值，从而 0 时 S为最小，此时 y 0 ，即 P )解析：29.(1990年)证明：当 0，有不等式 arctan （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()arctan (0)，则 f() 0，(0)所以 f()在(0，)上单调减少又 f()0，所以，当 0 时，f()arctan 0 即arctan )解析：30.(1991年)设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.(1991年)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.(1991年)利用导数证明：当 1 时，有不等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要证 )解析：
