1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 6及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2000年)若 （分数：2.00）A.0B.6C.36D.3.(2001年)曲线 y(1) 2 (3) 2 的拐点个数为 【 】（分数：2.00）A.0B.1C.2D.34.(2001年)已知函数 f()在区间(1，1)内具有二阶导数，f()严格单调减少，且 f(1)f(1)1，则 【 】（分数：2.00）A.在(1，1)和(1，1)内均有 f()B.在(1，1)和
2、(1，1)内均有 f()C.在(1，1)内，f()，在(1，1)内，f()D.在(1，1)内，f()，在(1，1)内，f()5.(2001年)已知函数 yf()在其定义域内可导，它的图形如图 23 所示，则其导函数 yf(z)的图形为 【 】 （分数：2.00）A.B.C.D.6.(2002年)设函数 f(u)可导，yf( 2 )当自变量 在 1 处取得增量01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f(1) 【 】（分数：2.00）A.1B.01C.1D.057.(2002年)设函数 yf()在(0，)内有界且可导，则 【 】（分数：2.00）A.B.C.D.8.(2003年)设函数
3、 f()在(，)内连续，其导函数的图形如图所示，则 f()有 【 】（分数：2.00）A.一个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C.两个极小值点和两个极大值点D.三个极小值点和一个极大值点9.(2004年)设 f()(1)，则 【 】（分数：2.00）A.0 是 f()的极值点，但(0，0)不是曲线 yf()的拐点B.0 不是 f()的极值点，但(0，0)是曲线 yf()的拐点C.0 是 f()的极值点，且(0，0)是曲线 yf()的拐点D.0 不是 f()的极值点，(0，0)也不是曲线 yf()的拐点10.(2004年)设函数 f()连续，且 f(0)0，则存在 0，使得
4、【 】（分数：2.00）A.f()在(0，)内单调增加B.f()在(，0)内单调减少C.对任意的 (0，)有 f()f(0)D.对任意的 (，0)有 f()f(0)11.(2005年)设函数 f()lim （分数：2.00）A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点D.至少有三个不可导点二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.(2003年)设函数 yf()由方程 y2lny 4 所确定，则曲线 yf()在点(1，1)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.(2003年)y2 的麦克劳林公式中 n 项的系数是 1（分数：2.00）填空项 1:_14.(2004年
5、)设函数 y()由参数方程 （分数：2.00）填空项 1:_15.(2005年)设 y(1sin) ，则 dy 1（分数：2.00）填空项 1:_16.(2005年)曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_17.(2006年)曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_18.(2006年)设函数 yy()由方程 y1e y 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_19.(2007年)曲线 对应于 t （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.(1995年)如图 22 所示，设曲线
6、L的方程为 yf()，且 y0，又 MT，MP 分别为该曲线在点M( 0 ，y 0 )处的切线和法线已知线段 MP的长度为 (其中 y 0 y( 0 )，y 0 y 0 ( 0 )，试推导出点 P(，)的坐标表达式 （分数：2.00）_22.(1995年)设 （分数：2.00）_23.(1996年)设 ，其中 f(u)具有二阶导数，且 f(u)0，求 （分数：2.00）_24.(1996年)求函数 f() （分数：2.00）_25.(1996年)设函数 yy()由方程 2y 3 2y 2 2y 2 1 所确定，试求 yy()的驻点，并判别它是否为极值点（分数：2.00）_26.(1996年)设
7、 f()在区间a，b上具有二阶导数，且 f(a)f(b)0，f(a).f(b)0试证明：存在 (a，b)和 (a，b)，使 f()0 及 f()0（分数：2.00）_27.(1997年)设 yy()由 所确定求 （分数：2.00）_28.(1997年)就 k的不同取值情况，确定方程 sink 在开区间(0， （分数：2.00）_29.(1998年)设 (0，1)，证明 (1)(1)ln 2 (1) 2 ； (2) （分数：2.00）_30.(1999年)求 （分数：2.00）_31.(1999年)已知函数 y （分数：2.00）_32.(1999年)设函数 f()在闭区间1，1上具有三阶连续导
8、数，且 f(1)0，f(1)1，f(0)0，证明：在开区间(1，1)内至少存在一点 ，使 f()3（分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 6答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(2000年)若 （分数：2.00）A.0B.6C.36 D.解析：解析：3.(2001年)曲线 y(1) 2 (3) 2 的拐点个数为 【 】（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：y2(1)(3) 2 2(1) 2 (3)4(1
9、)(3)(2) y4(3)(2)(1)(2)(1)(3) 4(3 2 1211) 令 y0 得 1 2 ， 2 2 4.(2001年)已知函数 f()在区间(1，1)内具有二阶导数，f()严格单调减少，且 f(1)f(1)1，则 【 】（分数：2.00）A.在(1，1)和(1，1)内均有 f() B.在(1，1)和(1，1)内均有 f()C.在(1，1)内，f()，在(1，1)内，f()D.在(1，1)内，f()，在(1，1)内，f()解析：解析：由拉格朗日中值定理知 f()f(1)f()(1) ( 介于 1与 之间) 又 f(1)f(1)1f()在(1，1)严格单调减少，则 当 (1，1)时
10、，f()11.(1)即f() 当 (1，1)时，f()11.(1)即 f() 所以应选 A5.(2001年)已知函数 yf()在其定义域内可导，它的图形如图 23 所示，则其导函数 yf(z)的图形为 【 】 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由 f()的图形可以看出，当 0 时，f()严格单调增，则当 0 时，f()0；因此 A、C 肯定不正确因此只能在 B和 D中选，又由 f()图形可看出当 0 时，f()由增变减再变增，因此在 0 处，f()由正变负再变正由 f()的图形可看出应选 D6.(2002年)设函数 f(u)可导，yf( 2 )当自变量 在 1 处取得增量01 时
11、，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f(1) 【 】（分数：2.00）A.1B.01C.1D.05 解析：解析：01y(1) 而 y(1)f( 2 ).2 1 2f(1)，01 代入上式得 012f(1)(01) 由此可得 f(1) 7.(2002年)设函数 yf()在(0，)内有界且可导，则 【 】（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由拉格朗日中值定理得 f(2)f()f()，(2)，则 f() 由于 f()有界，则 0从而有 f()0， 又 f()存在，故8.(2003年)设函数 f()在(，)内连续，其导函数的图形如图所示，则 f()有 【 】（分数：2.00）A.一
12、个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C.两个极小值点和两个极大值点 D.三个极小值点和一个极大值点解析：解析：如图，从导函数图形可知，f()只在 1 ， 2 ， 3 处导数为零而在0 处导数不存在，则 f()只可能在这四个点取得极值而 f()在 1 和 0 两点的导数都是由正变负，则 f()在这两点处取极大值；而 f()在 2 和 3 两点的两侧导数都是由负变正，f()在这两点处取极小值，故应选 C 9.(2004年)设 f()(1)，则 【 】（分数：2.00）A.0 是 f()的极值点，但(0，0)不是曲线 yf()的拐点B.0 不是 f()的极值点，但(0，0)是曲线
13、yf()的拐点C.0 是 f()的极值点，且(0，0)是曲线 yf()的拐点 D.0 不是 f()的极值点，(0，0)也不是曲线 yf()的拐点解析：解析：由 t()(1)知 f(0)0，而在 0 的去心邻域内 f()0，则 f()在0 处取极小值；又10.(2004年)设函数 f()连续，且 f(0)0，则存在 0，使得 【 】（分数：2.00）A.f()在(0，)内单调增加B.f()在(，0)内单调减少C.对任意的 (0，)有 f()f(0) D.对任意的 (，0)有 f()f(0)解析：解析：由于 f(0) 0，由极限的保号性知，存在 0，当 (，0)或(0，)时，11.(2005年)设
14、函数 f()lim （分数：2.00）A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点 D.至少有三个不可导点解析：解析： 而 f + (1)0，f - (1) 3 f + (1)f - (1)，则f()在 1 不可导 同理 f - (1)0，f + 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.(2003年)设函数 yf()由方程 y2lny 4 所确定，则曲线 yf()在点(1，1)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y0）解析：解析：等式 y2lny 4 两端对 求导得 yy 4y 3 y 将 1，y1 代入上式得 13.(2003年)y2 的
15、麦克劳林公式中 n 项的系数是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 则所求系数为14.(2004年)设函数 y()由参数方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(，1)）解析：解析： 为了确定 t0 时 的取值范围，先 3t 2 30，则 3t 3 3t1在 t0 时为增函数，又 t0 时 1， 15.(2005年)设 y(1sin) ，则 dy 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：d）解析：解析：由 y(1sin) 知 lnyln(1sin)，两端求导得 16.(2005年)曲线 y （分数：2.00）填空项
16、 1:_ （正确答案：正确答案：y*）解析：解析：17.(2006年)曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y*）解析：解析：由于 则水平渐近线为 y18.(2006年)设函数 yy()由方程 y1e y 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e）解析：解析：方程 y1e y 两端对 求导得 由原方程知，当 0 时，y1，将0，y1 代入上式得 19.(2007年)曲线 对应于 t （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1*）解析：解析： 则曲线 上对应于 t 点处的法线斜率为 1三、解答题(总题数：13，分数：26.0
17、0)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.(1995年)如图 22 所示，设曲线 L的方程为 yf()，且 y0，又 MT，MP 分别为该曲线在点M( 0 ，y 0 )处的切线和法线已知线段 MP的长度为 (其中 y 0 y( 0 )，y 0 y 0 ( 0 )，试推导出点 P(，)的坐标表达式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由于 y0，曲线 L是凹的，故 y 0 0，从而 )解析：22.(1995年)设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设可知，f()二阶可导，从而 f()连续且有一阶导数，又 1，则f(0)0 )解析：
18、23.(1996年)设 ，其中 f(u)具有二阶导数，且 f(u)0，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.(1996年)求函数 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 所以 f()122 2 (1) n 2 n (1) n+1 . )解析：25.(1996年)设函数 yy()由方程 2y 3 2y 2 2y 2 1 所确定，试求 yy()的驻点，并判别它是否为极值点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程两边对 求导得 3y 2 y2yyyy0 (*) 令 y0，得y，代入原方程得 2 3 2 10，从而解得唯一驻点 1 (*)式两边对 求导得(3
19、y 2 2y)y2(3y1)y 2 2y10 因此 y (1，1) )解析：26.(1996年)设 f()在区间a，b上具有二阶导数，且 f(a)f(b)0，f(a).f(b)0试证明：存在 (a，b)和 (a，b)，使 f()0 及 f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先用反证法证明： (a，b)，使 f()0否则由 f()的连续性可知，在区间(a，b)内恒有 f()0 或 f()0不妨设 f()0，则 )解析：27.(1997年)设 yy()由 所确定求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 等式 2yty 2 e t 5 两边对 t求导得 )解析：28.(1997年)
20、就 k的不同取值情况，确定方程 sink 在开区间(0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f() sin，则 f()在0， 上连续 由 f()1 cos0，解得 f()在(0， )内的唯一驻点 0 arccos 由于当 (0， 0 )时，f()0，当 ( 0 ， )，f()0，所以 f()在0， 0 上单调减少在 0 ， 上单调增加因此 0 为 f()在(0， )内唯一的最小值点，最小值为 y 0 f( 0 ) 0 sin 0 ，又因 f(0)f( )0，故在(0， )内 f()的取值范围为(y 0 ，0) 因此，当 k y 0 ，0)，即 ky 0 或 k0 时，原方程在(0，
21、 )内没有根 当 ky 0 时，原方程在(0， )内有唯一实根 0 当 k(y 0 ，0)时，原方程在(0， 0 )和( 0 ， )内各恰有一根，即原方程在(0， )解析：29.(1998年)设 (0，1)，证明 (1)(1)ln 2 (1) 2 ； (2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 ()(1)ln 2 (1) 2 ，(0)0 ()ln 2 (1)2ln(1)2，(0)0 于是 ()在(0，1)内严格单调减少，又 (0)0，所以在(0，1)内 () 由(1)知 f()0，(当 (0，1)，于是可知 f()在(0，1)上严格单调减少，f(1) 一 1，故当 (0，1)时
22、 f() 不等式左边证毕又 故当(0，1)时，f() )解析：30.(1999年)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分子有理化得 )解析：31.(1999年)已知函数 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所给函数定义域为(，1)(1，) y ，令 y0，得驻点0 及 3 y ，令 y0 得 0，由此可知 (1)函数的单调增加区间为(，1)和(3，)，单调减少区间为(1，3)；极小值为 (2)函数图形在区间(，0)内是(向上)凸的，在区间(0，1)，(1，)内是(向上)凹的，拐点为点(0，0) (3)由 知，1 是函数图形的铅直渐近线；又 )解析：32.(1999年)设函数
23、 f()在闭区间1，1上具有三阶连续导数，且 f(1)0，f(1)1，f(0)0，证明：在开区间(1，1)内至少存在一点 ，使 f()3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒中值定理可知 f()f(0)f(0) () 3 其中 介于 0与 之间，1，1 分别令 1 和 1，并结合已知条件得 0f(1)f(0) ( 1 )， 1 1 0 1f(1)f(0) ( 2 )， 0 2 1 两式相减可得 f( 1 )f( 2 )6 由 f()的连续性，f()在闭区间 1 ， 2 上有最大值和最小值，设它们分别为 M和 m，则有 m M 再由连续函数的介值定理知，至少存在一点 1 ， 2 (1，1) 使 )解析：
