1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 54 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f()在 a 的邻域内有定义，且 f(a)与 f(a)都存在，则( )（分数：2.00）A.f()在 a 处不连续B.f()在 a 处连续C.f()在 a 处可导D.f()在 a 处连续可导3.下列命题成立的是( )（分数：2.00）A.若 f()在 0 处连续，则存在 0，使得 f()在 0 内连续B.若 f()在 0 处可导，则存在 0，使得 f()在 0 内可导C
2、.若 f()在 0 的去心邻域内可导，在 0 处连续且 f()存在，则 f()在 0 处可导，且 f( 0 ) D.若 f()在 0 的去心邻域内可导，在 0 处连续且 4.f() （分数：2.00）A.不连续B.连续不可导C.可导但 f()在 0 处不连续D.可导且 f()在 0 处连续5.函数 f()在 1 处可导的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.存在B.存在C.存在D.存在6.设 f()可导，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.若 f()，则B.若 f()，则C.若 f()，则D.若 f()，则7.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f()在(a，b)内可导，若
3、f()，则B.f()在(a，b)内可导，若 f()，则C.f()在(，)内可导，若 f()，则D.f()在(，)内可导，若 f()，则8.下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f()0，则 f()在 0 的邻域内单调减少B.若 f()在 0 取极大值，则当 ( 0 ， 0 )时，f()单调增加，当 ( 0 ， 0 )时，f()单调减少C.f()在 0 取极值，则 f()在 0 连续D.f()为偶函数，f(0)0，则 f()在 0 处一定取到极值9.设 f()二阶连续可导， （分数：2.00）A.f(2)是 f()的极小值B.f(2)是 f()的极大值C.(2，f(2)是曲线 yf(
4、)的拐点D.f(2)不是函数 f()的极值，(2，f(2)也不是曲线 yf()的拐点二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f()在 a 的邻域内二阶可导且 f(a)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.设由方程 e f(y) e y 确定 y 为 的函数，其中 f()二阶可导，且 f1，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 yy()由 ye y cos10 确定，求 dy 0 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 0 y e t dt 0 costdt 确定函数 yy()，则
5、 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f()在0，1上二阶可导，且f()a，f()b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点 (1)写出 f()在 c 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式； (2)证明：f(c)2a （分数：2.00）_18.设 f()在a，a(a0)上有四阶连续的导数， 存在 (1)写出 f()的带拉格朗日余项的麦克劳林公式。 (2)证明：存在 1 ， 2 a，a，使得 （分数：2.00）_19.设 f()在 0 的邻域内四阶可导，且f (4
6、) ()M(M0)证明：对此邻域内任一异于 0 的点 ，有 （分数：2.00）_20.设 f()，g()在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)f(b)0，f(a)f(b)0，且g()0(a，b)，g()0(ab)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_21.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)f(b)0，且 f + (a)0证明：存在(a，b)，使得 f()0（分数：2.00）_22.设 f()二阶可导，f(0)0，且 f()0证明：对任意的 a0，b0，有 f(ab)f(a)f(b)（分数：2.00）_23.设 f()在a，b上连续，且 f()0，
7、对任意的 1 ， 2 a，b及 01，证明：f 1 (1) 2 f( 1 )(1)f( 2 )（分数：2.00）_24.设 f()二阶可导， （分数：2.00）_25.设 f()在0，)内可导且 f(0)1，f()f()(0)证明：f()e (0)（分数：2.00）_26.设 f()在a，b上二阶可导，且 f()0，取 i a，b(i1，2，n)及 k i 0(i1，2，n)且满足 k 1 k 2 k n 1证明：f(k 1 1 k 2 2 k n n )k 1 f( 1 )k 2 f( 2 )k n f( n )（分数：2.00）_27.证明：当 0 时，( 2 1)lnx(1) 2 （分数
8、：2.00）_28.当 0 时，证明： （分数：2.00）_29.设 0ab，证明： （分数：2.00）_30.求由方程 2 y 3 y0 确定的函数在 0 内的极值，并指出是极大值还是极小值（分数：2.00）_31.设 f()在0，1上二阶可导，且 f(0)f(0)f(1)f(1)0证明：方程 f()f()0在(0，1)内有根（分数：2.00）_32.设 f()3 2 A -3 (0)，A 为正常数，问 A 至少为多少时，f()20?（分数：2.00）_33.设 f()在0，)内二阶可导，f(0)2，f(0)1，f()0证明：f()0 在(0，)内有且仅有一个根（分数：2.00）_34.设
9、f n () 2 n (n2) (1)证明方程 f n ()1 有唯一的正根 n ； (2)求 （分数：2.00）_35.设 a0，讨论方程 ae 2 根的个数（分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 54 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f()在 a 的邻域内有定义，且 f(a)与 f(a)都存在，则( )（分数：2.00）A.f()在 a 处不连续B.f()在 a 处连续 C.f()在 a 处可导D.f()在 a 处连续
10、可导解析：解析：因为 f (a)存在，所以 存在，于是 3.下列命题成立的是( )（分数：2.00）A.若 f()在 0 处连续，则存在 0，使得 f()在 0 内连续B.若 f()在 0 处可导，则存在 0，使得 f()在 0 内可导C.若 f()在 0 的去心邻域内可导，在 0 处连续且 f()存在，则 f()在 0 处可导，且 f( 0 ) D.若 f()在 0 的去心邻域内可导，在 0 处连续且 解析：4.f() （分数：2.00）A.不连续B.连续不可导C.可导但 f()在 0 处不连续D.可导且 f()在 0 处连续 解析：5.函数 f()在 1 处可导的充分必要条件是( )（分数
11、：2.00）A.存在B.存在C.存在D.存在 解析：6.设 f()可导，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.若 f()，则B.若 f()，则C.若 f()，则 D.若 f()，则解析：7.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f()在(a，b)内可导，若 f()，则B.f()在(a，b)内可导，若 f()，则C.f()在(，)内可导，若 f()，则D.f()在(，)内可导，若 f()，则 解析：8.下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f()0，则 f()在 0 的邻域内单调减少B.若 f()在 0 取极大值，则当 ( 0 ， 0 )时，f()单调增加，当 ( 0 ，
12、0 )时，f()单调减少C.f()在 0 取极值，则 f()在 0 连续D.f()为偶函数，f(0)0，则 f()在 0 处一定取到极值 解析：解析： 当 (n)时，f() 0，则 f()在 0 的任意邻域内都不单调减少，A 不对； f() f()在 0 处取得极大值，但其在 0 的任一邻域内皆不单调，B 不对； f()9.设 f()二阶连续可导， （分数：2.00）A.f(2)是 f()的极小值 B.f(2)是 f()的极大值C.(2，f(2)是曲线 yf()的拐点D.f(2)不是函数 f()的极值，(2，f(2)也不是曲线 yf()的拐点解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10
13、.设 f()在 a 的邻域内二阶可导且 f(a)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：当 0 时，t0；当 t0 时，由 ye y 1，得 y0 方程 ye y ln(et 2 )两边对 t 求导数，得 12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设由方程 e f(y) e y 确定 y 为 的函数，其中 f()二阶可导，且 f1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程 e f(y) e
14、 y 两边对 求导，得 14.设 yy()由 ye y cos10 确定，求 dy 0 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2d）解析：解析：当 0 时，y1，将 ye y cos10 两边对 求导得 cossin0， 将 0，y1 代入上式得 15.设 0 y e t dt 0 costdt 确定函数 yy()，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 1 y edt 0 costdty 两边对 求导得 三、解答题(总题数：20，分数：40.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设
15、f()在0，1上二阶可导，且f()a，f()b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点 (1)写出 f()在 c 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式； (2)证明：f(c)2a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)f()f(c)f(c)(c) (c) 2 ，其中 介于 c 与 之间 (2)分别令 0，1，得 f(0)f(c)f(c)c c 2 (0，c) f(1)f(c)f(c)(1c) (1c) 2 ， 2 (c，1)， 两式相减，得 f(c)f(1)f(0) (1c) 2 ，利用已知条件，得 f(c)2a c 2 (1c) 2 ， 因为 c 2 (1c) 2 1，
16、所以f(c)2a )解析：18.设 f()在a，a(a0)上有四阶连续的导数， 存在 (1)写出 f()的带拉格朗日余项的麦克劳林公式。 (2)证明：存在 1 ， 2 a，a，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 存在，得 f(0)0，f(0)0，f(0)0， 则 f()的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为 f() 其中 介于 0 与 之间 (2)上式两边积分得 因为 f (4) ()在a，a上为连续函数，所以 f (4) ()在a，a上取到最大值 M 和最小值 m，于是有 m 4 f (4) () 4 M 4 ， 两边在a，a上积分得 根据介值定理，存在 1 a，a，使得 f
17、 (4) ( 1 ) )解析：19.设 f()在 0 的邻域内四阶可导，且f (4) ()M(M0)证明：对此邻域内任一异于 0 的点 ，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 两式相加得 f()f()2f( 0 )f( 0 )( 0 ) 2 f (4) ( 1 )f (4) ( 2 )( 0 ) 4 ， 于是 再由f 4 ()M，得 )解析：20.设 f()，g()在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)f(b)0，f(a)f(b)0，且g()0(a，b)，g()0(ab)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f (a)0，f (b)0
18、， 由 f (a)0，存在 1 (a，b)，使得 f( 1 )f(a)0； 由 f (6)0，存在 2 (a，b)，使得 f( 2 )f(b)0， 因为 f( 1 )f( 2 )0，所以由零点定理，存在 c(a，b)，使得 f(c)0 令 h() ，显然 h()在a，b上连续，由 h(a)h(c)h(b)0， 存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 h( 1 )h( 2 )0， 令 ()f()g()f()g()，( 1 )( 2 )0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) (a，b)，使得 ()0， 而 ()f()g()f()g()， 所以 )解析：21.设 f()在a，b上连续，在(
19、a，b)内二阶可导，f(a)f(b)0，且 f + (a)0证明：存在(a，b)，使得 f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f (a)0，所以存在 0，当 0a 时，有 0，从而 f()f(a)，于是存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)0 由微分中值定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)使得 再由微分中值定理及 f()的二阶可导性，存在 ( 1 ， 2 ) (a，b)，使得 )解析：22.设 f()二阶可导，f(0)0，且 f()0证明：对任意的 a0，b0，有 f(ab)f(a)f(b)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 ab，由微分中值定理，存
20、在 1 (0，a)， 2 (b，ab)，使得 )解析：23.设 f()在a，b上连续，且 f()0，对任意的 1 ， 2 a，b及 01，证明：f 1 (1) 2 f( 1 )(1)f( 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 0 1 (1) 2 ，则 0 a，b，由泰勒公式得 f()f( 0 )f( 0 )( 0 ) ( 0 ) 2 ，其中 介于 0 与 之间， 因为 f()0，所以 f()f( 0 )f( 0 )( 0 )， 于是 )解析：24.设 f()二阶可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：25.设 f()在0，)内可导且 f(0)1，f()f()
21、(0)证明：f()e (0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()e f()，则 ()在0，)内可导， 又 (0)1，()e f()f()0(0)，所以当 0 时，()(0)1，所以 有 f()e (0)解析：26.设 f()在a，b上二阶可导，且 f()0，取 i a，b(i1，2，n)及 k i 0(i1，2，n)且满足 k 1 k 2 k n 1证明：f(k 1 1 k 2 2 k n n )k 1 f( 1 )k 2 f( 2 )k n f( n )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 0 k 1 1 k 2 2 k n n ，显然 0 a，b 因为f()0，所以
22、f()f( 0 )f( 0 )( 0 ) 分别取 i (i1，2，n)得 由 k i 0(i1，2，n)，上述各式分别乘以 k i (i1，2，n)，得 )解析：27.证明：当 0 时，( 2 1)lnx(1) 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()( 2 1)ln(1) 2 ，(1)0 ()2ln2 ，(1)0 ()2ln1 ，(1)20 则 故 1 为 ()的极小值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为 (1)20，故()0(0) )解析：28.当 0 时，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()( 1)ln(1)2arctan，f(0)0 对( 1
23、) 2 2 1，因为44( 1)( 1)0 且 10， 所以( 1) 2 2 10，从而 f()0(0) 由 得 f()f(0)0(0)，即 )解析：29.设 0ab，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先证明 因为 0， 所以令 ()lnlna ， 而ba，所以 (b)0， 令 f()ln，则存在 (a，b)，使得 ，其中 0ab，则)解析：30.求由方程 2 y 3 y0 确定的函数在 0 内的极值，并指出是极大值还是极小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据隐函数求导数法，得 y 令 y 0，得 y2，再将y2 代入原方程得 ，函数值为 y 将 ，y0 代入 y
24、得320， 所以 为函数的极大值点，且极大值为 y )解析：31.设 f()在0，1上二阶可导，且 f(0)f(0)f(1)f(1)0证明：方程 f()f()0在(0，1)内有根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()e f()f() 因为 (0)(1)0，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)使得 (c)0， 而 ()e f()f()且 e 0，所以方程 f(c)f(c)在(0，1)内有根)解析：32.设 f()3 2 A -3 (0)，A 为正常数，问 A 至少为多少时，f()20?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f()20 等价于 A20 3 3 5 ， 令 ()20 3
25、 3 5 ，由()60 2 15 4 0，得 2， ()12060 3 ，因为 (2)2400，所以 2 为 ()的最大值点，最大值为 (2)64，故 A 至少取 64 时，有 f()20)解析：33.设 f()在0，)内二阶可导，f(0)2，f(0)1，f()0证明：f()0 在(0，)内有且仅有一个根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()0，所以 f()单调不减，当 0 时，f()f(0)1 当 0 时，f()f(0)f()，从而 f()f(0)，因为 f(0)， 所以f() 由 f()在0，)上连续，且 f(0)20， )解析：34.设 f n () 2 n (n2) (
26、1)证明方程 f n ()1 有唯一的正根 n ； (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 n ()f n ()1，因为 n (0)10， n (1)n10，所以 n ()在(0，1) (0，)内有一个零点，即方程 f n ()1 在(0，)内有一个根 因为 n ()12n n-1 0，所以 n ()在(0，)内单调增加，所以 n ()在(0，)内的零点唯一，所以方程 f n ()1 在(0，)内有唯一正根，记为 n (2)由 f n ( n )f n+1 ( n+1 )0，得 ( n n+1 )( n 2 n+1 2 )( n n n+1 n ) n+1 n+1 0，
27、从而 n n+1 ，所以 n n1 单调减少，又 n 0(n1，2，)， 故 存在，设 A，显然 A n 1 1，由 n n 2 n n 1， 得 1，两边求极限得 1，解得 A ， 即 )解析：35.设 a0，讨论方程 ae 2 根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：ae 2 等价于 2 e a0 令 f() 2 e a，由 f()(2 2 )e 0 得 0，2 当 0 时，f()0；当 02 时，f()0；当 2 时，f()0， 于是 0 为极小值点，极小值为 f(0)a0；2 为极大值点，极大值为 f(2) a， 又 a0 (1)当 a0，即 0a 时，方程有三个根； (2)当 a0，即 a 时，方程有两个根 (3)当 a0，即 a )解析：
