1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 59 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f(0)=0。(x)= （分数：2.00）A.不连续。B.连续但不可导。C.可导但 (x)在 x=0 处不连续。D.可导且 (x)在 x=0 处连续。3.设 f(x)在a，b可导，f(a)= （分数：2.00）A.f (a)=0。B.f (a)0。C.f (a)0。D.f (a)0。4.设 f(x)可导且 f
2、 (x 0 )= （分数：2.00）A.与x 等价的无穷小。B.与x 同阶的无穷小。C.比x 低阶的无穷小。D.比x 高阶的无穷小。5.设 f(x)=(x 一 a)(x 一 b)(x 一 c)(x 一 d)，其中 a，b，c，d 互不相等，且 f (k)=(k 一 a)(k 一 b)(k一 c)，则 k 的值等于( )（分数：2.00）A.a。B.b。C.c。D.d。6.设 f(x)=x 2 (x 一 1)(x 一 2)，则 f (x)的零点个数为( )（分数：2.00）A.0。B.1。C.2。D.3。7.设区间0，4上 y=f(x)的导函数的图形如图 12 一 1 所示，则 f(x)( )
3、（分数：2.00）A.在0，2单调上升且为凸的，在2，4单调下降且为凹的。B.在0，1，3，4单调下降，在1，3单调上升，在0，2是凹的，2，4是凸的。C.在0，1，3，4单调下降，在1，3单调上升，在0，2是凸的，2，4是凹的。D.在0，2单调上升且为凹的，在2，4单调下降且为凸的。8.设 f(x)=x(1 一 x)，则( )（分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点。B.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点。C.x=0 是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点。D.x=0 不是 f(x)
4、的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。9.函数 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，且设 （分数：2.00）A.f(x)的导数存在，且 f (0)0。B.f(x)取得极大值。C.f(x)取得极小值。D.f(x)的导数不存在。10.曲线 y=1 一 x+ （分数：2.00）A.既有垂直又有水平与斜渐近线。B.仅有垂直渐近线。C.只有垂直与水平渐近线。D.只有垂直与斜渐近线。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11.设 y=(1sinx) x ，则 dy x= = 1。（分数：2.00）填空项 1:_12. （分数：2.00）填空项 1:_13.设 y=y(x)是由方程 x
5、2 一 y+1=e y 所确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 （分数：2.00）填空项 1:_15.设函数 y= （分数：2.00）填空项 1:_16.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 y=y(x)是由方程 2y 3 一 2y 2 +2xy 一 x 2 =1 确定的，则 y=y(x)的极值点是 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_19.曲线 y=x 2 +x(x0)上曲率为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：6，分数：12.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_21
6、.设函数 y=f(x)由参数方程 所确定，其中 (t)具有二阶导数，且 (1)= ， (1)=6，已知 （分数：2.00）_设奇函数 f(x)在一 1，1上具有二阶导数，且 f(1)=1，证明：（分数：4.00）(1).存在 (0，1)，使得 f ()=1；（分数：2.00）_(2).存在 (一 1，1)，使得 f ()+f ()=1。（分数：2.00）_22.设 eabe 2 ，证明 ln 2 bln 2 a （分数：2.00）_23.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：2.00）_24.证明：xln +cosx1+ （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 59 答案解
7、析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f(0)=0。(x)= （分数：2.00）A.不连续。B.连续但不可导。C.可导但 (x)在 x=0 处不连续。D.可导且 (x)在 x=0 处连续。 解析：解析：因为 所以 (x)在 x=0 处连续。 3.设 f(x)在a，b可导，f(a)= （分数：2.00）A.f (a)=0。B.f (a)0。C.f (a)0。D.f (a)0。 解析：解析：由
8、f(x)在a，b上可导可知，f (a)= 。显然，x 一 a0，又 f(a)= 0，从而有 0，再由极限的局部保号性可知， 4.设 f(x)可导且 f (x 0 )= （分数：2.00）A.与x 等价的无穷小。B.与x 同阶的无穷小。 C.比x 低阶的无穷小。D.比x 高阶的无穷小。解析：解析：由 f(x)在 x 0 点处可导及微分的定义可知 dy=f (x 0 )x= x， 于是 5.设 f(x)=(x 一 a)(x 一 b)(x 一 c)(x 一 d)，其中 a，b，c，d 互不相等，且 f (k)=(k 一 a)(k 一 b)(k一 c)，则 k 的值等于( )（分数：2.00）A.a。
9、B.b。C.c。D.d。 解析：解析：由题设条件得 f (x)=(x 一 b)(x 一 c)(x 一 d)+(x 一 a)(x 一 c)(xd)+(x 一 a)(x 一 b)(x一 d)+(x 一 a)(x 一 b)(x 一 c)，且已知 f (k)=(k 一 a)(k 一 b)(k 一 c)，故 k=d。6.设 f(x)=x 2 (x 一 1)(x 一 2)，则 f (x)的零点个数为( )（分数：2.00）A.0。B.1。C.2。D.3。 解析：解析：容易验证 f(0)=f(1)=f(2)=0，因此由罗尔定理知至少有 1 (0，1)， 2 (1，2)，使 f ( 1 )=f ( 2 )=0
10、 成立，所以 f (x)至少有两个零点。又 f (x)中含有因子 x，因此可知x=0 也是 f (x)的零点，因此选 D。7.设区间0，4上 y=f(x)的导函数的图形如图 12 一 1 所示，则 f(x)( ) （分数：2.00）A.在0，2单调上升且为凸的，在2，4单调下降且为凹的。B.在0，1，3，4单调下降，在1，3单调上升，在0，2是凹的，2，4是凸的。 C.在0，1，3，4单调下降，在1，3单调上升，在0，2是凸的，2，4是凹的。D.在0，2单调上升且为凹的，在2，4单调下降且为凸的。解析：解析：当 x(0，1)或(3，4)时，f (x)0，那么 f(x)在0，1，3，4单调下降。
11、 当x(1，3)时 f (x)0，那么 f(x)在1，3单调上升。 又 f (x)在0，2单调上升，那么 f(x)在0，2是凹的；f (x)在2，4单调下降，那么 f(x)在2，4是凸的。 故选 B。8.设 f(x)=x(1 一 x)，则( )（分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点。B.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点。C.x=0 是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点。 D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。解析：解析：一般情况下，讨论分段
12、函数的极值点和拐点，主要考虑分段点处。因此，本题只需讨论 x=0两边 f (x)，f (x)的符号。可以选择区间(一 1，1)来讨论。 9.函数 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，且设 （分数：2.00）A.f(x)的导数存在，且 f (0)0。B.f(x)取得极大值。 C.f(x)取得极小值。D.f(x)的导数不存在。解析：解析：利用赋值法求解。取 f(x)一 f(a)=一(x 一 a) 2 ，显然满足题设条件，而此时 f(x)为一开口向下的抛物线，必在其顶点 x=a 处取得极大值，故选 B。10.曲线 y=1 一 x+ （分数：2.00）A.既有垂直又有水平与斜渐近线。 B.仅有垂直渐
13、近线。C.只有垂直与水平渐近线。D.只有垂直与斜渐近线。解析：解析：函数 y 的定义域为(一，一 3)0，+)，且只有间断点 x=一 3，又 =+，所以 x=一 3 是曲线的垂直渐近线。 x0 时， 因此 y=一 2x+二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11.设 y=(1sinx) x ，则 dy x= = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 dx）解析：解析：运用等价转换 y=(1+sinx) x =e xln(1sinx) ，于是 y =e xln(1sinx) ln(1+sinx)+x 12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：s
14、inx 2）解析：解析：令 x 一 t=，则 13.设 y=y(x)是由方程 x 2 一 y+1=e y 所确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：将 x=0 代入原方程可得 y=0。 方程 x 2 一 y+1=e y 两端同时对 x 求导，有 (*) 将x=0，y=0 代入上式，可得 =0。 式(*)再次对 x 求导得 14.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*2）解析：解析：由题干可知，15.设函数 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题求函数的高阶导数，利用归纳法求解
15、。 易归纳证得 y (n) (x)= ， 故 y (n) (0)= 16.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y+x 一*=0）解析：解析：当 t=1 时， ， =1， 由此可得法线的斜率为一 1，因此可得法线方程为17.设 y=y(x)是由方程 2y 3 一 2y 2 +2xy 一 x 2 =1 确定的，则 y=y(x)的极值点是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=1）解析：解析：方程两边对 x 求导，可得 y (3y 2 一 2y+x)=x 一 y (*) 令 y =0，有 x=y，代入 2y 3 一2y 2 +2xy 一 x 2 =
16、1 中，可得(x 一 1)(2x 2 +x+1)=0，那么 x=1 是唯一的驻点。 下面判断 x=1 是否是极值点： 对(*)式求导得 y (3y 2 一 2y+x)+y (3y 2 一 2y+x) x =1 一 y 。 把 x=y=1，y (1)=0代入上式，得 y (1)= 18.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=*）解析：解析：直接利用曲线的水平渐近线的定义求解。 由于 因此曲线的水平渐近线为 y=19.曲线 y=x 2 +x(x0)上曲率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1，0)）解析：解析：将 y =2x+1，y
17、=2 代入曲率计算公式，有 三、解答题(总题数：6，分数：12.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：21.设函数 y=f(x)由参数方程 所确定，其中 (t)具有二阶导数，且 (1)= ， (1)=6，已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： = t 2 +t 3 +C 2 。 又已知 (1)= ，可得 C 2 =0，因此 (t)= )解析：设奇函数 f(x)在一 1，1上具有二阶导数，且 f(1)=1，证明：（分数：4.00）(1).存在 (0，1)，使得 f ()=1；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=f(x)一 x，则 F (x
18、)=f (x)一 1，且 F(0)=f(0)=0，F(1)=f(1)一1=0， 由罗尔定理知，存在 (0，1)，使得 F ()=0，即 f ()=1。)解析：(2).存在 (一 1，1)，使得 f ()+f ()=1。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 G(x)=e x f (x)一 1，由(I)知，存在 (0，1)，使 G()=0，又因为f(x)为奇函数，故 f (x)为偶函数，知 G()=0，则存在 (一 ，) )解析：22.设 eabe 2 ，证明 ln 2 bln 2 a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 (x)=ln 2 x 一 ，则 (x)= ， (x)= ，
19、 所以当xe 时， (x)0，因此 (x)单调减少，从而当 exe 2 时， (x) (e 2 )= =0， 即当 exe 2 时，(x)单调增加。 因此当 exe 2 时，(b)(a)(eabe 2 )，即 故 ln 2 b 一 ln 2 a )解析：23.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 。 令 =0，得 t=1。 当 t=1 时， ；当 t=一 1 时，x=一1，y=1。 令 。 列表如下 由此可知，函数 y(x)的极大值为 y(一 1)=1，极小值为 ； 曲线 y=y(x)凹区间为 ； 曲线 y=y(x)的拐点为 )解析：24.证明：xln +cosx1+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= ，可得 故 f (x)0，而 f(0)=0，即得 当一1x0 时，有 1，所以 一 sinx0， 故 f (x)0，所以当 1x0 时，f(x)f(0)，即得 )解析：
