1、考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷 20 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 f(x，y)= （分数：2.00）A.f x (0，0)，f y (0，0)都存在。B.f x (0，0)不存在，f y (0，0)存在。C.f x (0，0)不存在，f y (0，0)不存在。D.f x (0，0)，f y (0，0)都不存在。3.函数 f(x，y)在(0，0)点可微的充分条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设可微函数 f(x，y)在
2、点(x 0 ，y 0 )取得极小值，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处的导数大于零。B.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处的导数等于零。C.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处的导数小于零。D.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处的导数不存在。5.=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 f(x，y)在 D：x 2 +y 2 a 2 上连续，则 （分数：2.00）A.不一定存在。B.存在且等于 f(0，0)。C.存在且等于 f(0，0)。D.存在且等于7.交换积分次序 1 e dx 0 lnx f(x，y)dy 为( )（分数：2.0
3、0）A. 0 e dy 0 lnx f(x，y)dx。B. ey e dy 0 1 f(x，y)dx。C. 0 lnx dy 1 e f(x，y)dx。D. 0 1 dy ey e f(x，y)dx。8.累计积分 d 0 cos f(rcos，rsin)rdr 可以写成( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=xy+ （分数：2.00）A.xy。B.2xy。C.xy+D.xy+1。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)10.设 f(x，y，z)=e x +y 2 z，其中 z=z(x，y)是由方程 x+y+z+xyz=0 所确定的隐函数，则 f
4、x (0，1，一 1)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_11.没函数 f()可微，且 f (0)= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 z=xf()+g()，= ，且 f()及 g()具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极小值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.交换积分次序 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 D=(x，y)x 2 +y 2 1，则 （分数：2.00）填空项 1:_17.csc2ydxdy= 1，其中 D 由 y 轴，
5、y= ，y=arctanx 围成。 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_19.设 z= （分数：2.00）_20.已知函数 f(，)具有连续的二阶偏导数，f(1，1)=2 是 f(，)的极值，已知 z=f(x+y)，f(x，y)。求 （分数：2.00）_设函数 f()在(0，+)内具有二阶导数，且 z= 满足等式 （分数：4.00）(1).验证 f ()+ （分数：2.00）_(2).若 f(1)=0，f (1)=1，求函数 f()的表达式。（分数：2.00）_21.求 f(x，y)=xe 一 （分数
6、：2.00）_22.求函数 =x 2 +y 2 +z 2 在约束条件 z=x 2 +y 2 和 x+y+z=4 下的最大值与最小值。（分数：2.00）_23.设平面区域 D 由直线 x=3y，y=3x 及 x+y=8 围成。计算 （分数：2.00）_24.计算 （分数：2.00）_25.计算 （分数：2.00）_26.设二元函数 f(x，y)= 计算二重积分 （分数：2.00）_27.设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 I= （分数：2.00）_考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷 20 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数
7、：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 f(x，y)= （分数：2.00）A.f x (0，0)，f y (0，0)都存在。B.f x (0，0)不存在，f y (0，0)存在。 C.f x (0，0)不存在，f y (0，0)不存在。D.f x (0，0)，f y (0，0)都不存在。解析：解析： 3.函数 f(x，y)在(0，0)点可微的充分条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由 f x (x，y)=f x (0，0)， 且有 4.设可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )取得极小值，
8、则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处的导数大于零。B.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处的导数等于零。 C.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处的导数小于零。D.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处的导数不存在。解析：解析：因可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )取得极小值，故有 f x (x 0 ，y 0 )=0,f y (x 0 ，y 0 )=0。又由 f x (x 0 ，y 0 )= 5.=( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：结合二重积分的定义可得6.设 f(x，y)在 D：x 2 +y 2 a 2 上连续，则
9、 （分数：2.00）A.不一定存在。B.存在且等于 f(0，0)。C.存在且等于 f(0，0)。 D.存在且等于解析：解析：由积分中值定理知 f(x，y)d=a 2 f(，)，(，)D， 7.交换积分次序 1 e dx 0 lnx f(x，y)dy 为( )（分数：2.00）A. 0 e dy 0 lnx f(x，y)dx。B. ey e dy 0 1 f(x，y)dx。C. 0 lnx dy 1 e f(x，y)dx。D. 0 1 dy ey e f(x，y)dx。 解析：解析：交换积分次序得 1 e dx 0 lnx f(x，y)dy= 0 1 dy ey e f(x，y)dx。8.累计积
10、分 d 0 cos f(rcos，rsin)rdr 可以写成( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由累次积分 0 d 0 cos f(rcos，rsin)rdr 可知，积分区域 D 为D=(r，)0rcos，0 )。 由 r=cos 为圆心在 x 轴上，直径为 1 的圆可作出 D 的图形如图 147 所示。该圆的直角坐标方程为 。 故用直角坐标表示区域 D 为 D=(x，y)0y ，0y1， 或 D= 9.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=xy+ （分数：2.00）A.xy。B.2xy。C.xy+ D.xy+1。解析：解析：等式 f(x，y)=xy+ 两端积分得二、填空
11、题(总题数：8，分数：16.00)10.设 f(x，y，z)=e x +y 2 z，其中 z=z(x，y)是由方程 x+y+z+xyz=0 所确定的隐函数，则 f x (0，1，一 1)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：已知 f(x，y，z)=e x +y 2 z，那么有 f x (x，y，z)=e x +y 2 z x 。在等式x+y+zxyz=0 两端对 x 求偏导可得 1+z x +yz+xyz x =0。 由 x=0，y=1，z=一 1，可得 z x =0。 故f x (0，1，一 1)=e 0 =1。11.没函数 f()可微，且 f (0
12、)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4dx 一 2dy）解析：解析：直接利用微分的形式计算，因为12.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(ln21)）解析：解析：设 则 z= ，所以 13.设 z=xf()+g()，= ，且 f()及 g()具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由复合函数求导法则14.二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极小值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题干可知， f x =2x(2
13、+y 2 )，f y =2x 2 y+lny+1。 由 。 又 所以 B 2 一 AC=一 2e(2+ )0，则 A0。 故 f(0， )是 f(x，y)的极小值，且 15.交换积分次序 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 0 2 dy ）解析：解析：由题干可知，积分区域如图 1413 所示，则有16.设 D=(x，y)x 2 +y 2 1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用函数奇偶性及轮换对称性17.csc2ydxdy= 1，其中 D 由 y 轴，y= ，y=arctanx 围成。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
14、案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：11，分数：22.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：19.设 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知 分别带入可得 )解析：20.已知函数 f(，)具有连续的二阶偏导数，f(1，1)=2 是 f(，)的极值，已知 z=f(x+y)，f(x，y)。求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =f 1 (x+y)，f(x，y)+f 2 (x+y)，f(x，y)f 1 (x，y)， 所以 =f 11 (x+y)，f(x，y)+f 12 (x+y)，f(x，y)f 2 (x，y)+f 21 (x+
15、y)，f(x，y)f 1 (x，y)+f 22 (x+y)，f(x，y)f 2 (x，y)f 1 (x，y)+f 2 (x+y)，f(x，y)f 12 (x，y)， 又因为 f(1，1)=2 是 f(，)的极值，故 f 1 (1，1)=0，f 2 (1，1)=0。因此 )解析：设函数 f()在(0，+)内具有二阶导数，且 z= 满足等式 （分数：4.00）(1).验证 f ()+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 = ，则 )解析：(2).若 f(1)=0，f (1)=1，求函数 f()的表达式。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f ()=p，则 p + =0，分离变量
16、得 ，两边积分得 lnp=一ln+lnC 1 ， 即 。 由 f (1)=1 可得 C 1 =1。对等式 f ()= )解析：21.求 f(x，y)=xe 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求函数 f(x，y)=xe 一 的驻点，f x (x，y)=e 一 x=0，f y (x，y)=一 y=0，解得函数 f(x，y)的驻点为(e，0)。 又 A=f xx (e，0)=一 1，B=f xy (e，0)=0，C=f yy (e，0)=一 1，所以 B 2 一 AC0，A0。故 f(x，y)在点(e，0)处取得极大值，f(e，0)= )解析：22.求函数 =x 2 +y 2 +z 2
17、 在约束条件 z=x 2 +y 2 和 x+y+z=4 下的最大值与最小值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可以利用拉格朗日乘数法求极值，两个约束条件的情况下，作拉格朗日函数F(x，y，z，)=x 2 +y 2 +z 2 +(x 2 +y 2 一 z)+(x+y+z 一 4)， 且令 )解析：23.设平面区域 D 由直线 x=3y，y=3x 及 x+y=8 围成。计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据已知 则有 )解析：24.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于积分区域关于 x 轴对称，3e x siny 关于 y 为奇函数，故 (xy 2 +3e x
18、siny)d= xy 2 d。 对该积分利用极坐标进行计算可得 )解析：25.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域如图 1 一 420 所示，在极坐标中 )解析：26.设二元函数 f(x，y)= 计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为被积函数关于 x，y 均为偶函数，且积分区域关于 x，y 轴均对称，所以 f(x，y)d= f(x，y)d，其中 D 1 为 D 在第一象限内的部分。 )解析：27.设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 如图 1424 所示。因为区域 D 关于 x 轴对称，函数 f(x，y)= 是变量 y 的偶函数，函数 g(x，y)= 是变量 y 的奇函数。 则取 D 1 =Dy0， )解析：
