1、考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷 22 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，z 是 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的全增量，则在点(x 0 ，y 0 )处( )（分数：2.00）A.z=dz。B.z=f x (x 0 ，y 0 )x+f y (x 0 ，y 0 )y。C.z=f x (x 0 ，y 0 )dx+f y (x 0 ，y 0 )dy。D.z=dz+o()。3.设函数 z(x
2、，y)由方程 =0 确定，其中 F 为可微函数，且 F 2 0，则 （分数：2.00）A.x。B.z。C.一 x。D.一 z。4.设函数 f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0)0，且 f (0)=g (0)=0，则函数 z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )。（分数：2.00）A.f (0)0，g (0)0。B.f (0)0，g (0)0。C.f (0)0，g (0)0。D.f (0)0，g (0)0。5.设平面 D 由 x+y= ，x+y=1 及两条坐标轴围成，I 1 = ln(x+y) 3 dxdy，I 2 = (x+y) 3 dxdy
3、，I 3 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 。B.I 3 I 1 I 2 。C.I 1 I 3 I 2 。D.I 3 I 2 I 1 。6.设函数 f(x，y)连续，则二次积分 （分数：2.00）A. 0 1 dy arcsiny f(x，y)dx。B. 0 1 dy arcsiny f(x，y)dx。C. 0 1 dy * arcsiny f(x，y)dx。D. 0 1 dy * arcsiny f(x，y)dx。7.设 f(x)为连续函数，F(t)= 1 t dy y t f(x)dx，则 F (2)等于( )（分数：2.00）A.2f(2)。B.f(2)。C.一 f(2)
4、。D.0。8.设函数 f(t)连续，则二重积分 d 2cos 2 f(r 2 )rdr=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 4，x0，y0，f(x)为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则 （分数：2.00）A.ab。B.。C.(a+b)。D.。二、填空题(总题数：7，分数：14.00)10.设二元函数 z=xe xy +(x+1)ln(1+y)，则 dz (1，0) = 1。（分数：2.00）填空项 1:_11.设 z=(x+e y ) x ，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设函数 z=z(x，y)由方程(z+y) x =xy
5、确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 z=xg(x+y)+y(xy)，其中 g， 具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.积分 0 2 dx x 2 e y2 dy= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.将 0 1 dy 0 y f(x 2 +y 2 )dx 化为极坐标下的二次积分为 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=x+y f(，)dd，其中 D 是由 y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_
6、18.设 =f(x，y，z)，(x 2 ，e y ，z)=0，y=sinx，其中 f， 都具有一阶连续偏导数，且 （分数：2.00）_19.设 z= ，其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求 （分数：2.00）_20.设对任意的 x 和 y，有 =4，用变量代换 将 f(x，y)变换成 g(，)，试求满足 （分数：2.00）_21.设 z=z(x，y)是由 x 2 一 6xy+10y 2 一 2yzz 2 +18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值。（分数：2.00）_22.求原点到曲面(xy) 2 +z 2 =1 的最短距离。（分数：2.00）_23.求二重积
7、分 （分数：2.00）_24.计算二重积分 I= ，其中 D=(r，)0rsec，0 （分数：2.00）_25.计算二重积分 （分数：2.00）_26.求 ，其中 D 是由圆 x 2 +y 2 =4 和(x+1) 2 +y 2 =1 所围成的平面区域(如图 14-2)。 （分数：2.00）_27.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0， f(x，y)dxdy=a，其中D=(x，y)0x1，0y1，计算二重积分 I= （分数：2.00）_考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷 22 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，
8、分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，z 是 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的全增量，则在点(x 0 ，y 0 )处( )（分数：2.00）A.z=dz。B.z=f x (x 0 ，y 0 )x+f y (x 0 ，y 0 )y。C.z=f x (x 0 ，y 0 )dx+f y (x 0 ，y 0 )dy。D.z=dz+o()。 解析：解析：由于 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，则 z=f x (x 0 ，y 0 )x+f y (x 0 ，
9、y 0 )y+o()=dz+o()， 故选 D。3.设函数 z(x，y)由方程 =0 确定，其中 F 为可微函数，且 F 2 0，则 （分数：2.00）A.x。B.z。 C.一 x。D.一 z。解析：解析：对已知的等式 两边求全微分可得4.设函数 f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0)0，且 f (0)=g (0)=0，则函数 z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )。（分数：2.00）A.f (0)0，g (0)0。 B.f (0)0，g (0)0。C.f (0)0，g (0)0。D.f (0)0，g (0)0。解析：解析：由 z=f(x)
10、g(y)，得 而且 5.设平面 D 由 x+y= ，x+y=1 及两条坐标轴围成，I 1 = ln(x+y) 3 dxdy，I 2 = (x+y) 3 dxdy，I 3 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 。B.I 3 I 1 I 2 。C.I 1 I 3 I 2 。 D.I 3 I 2 I 1 。解析：解析：显然在 D 上 x+y1，则 ln(x+y) 3 0，0sin(x+y) 3 (x+y) 3 ，从而有 6.设函数 f(x，y)连续，则二次积分 （分数：2.00）A. 0 1 dy arcsiny f(x，y)dx。B. 0 1 dy arcsiny f(x，y)dx。
11、C. 0 1 dy * arcsiny f(x，y)dx。D. 0 1 dy * arcsiny f(x，y)dx。解析：解析：由题设可知，7.设 f(x)为连续函数，F(t)= 1 t dy y t f(x)dx，则 F (2)等于( )（分数：2.00）A.2f(2)。B.f(2)。 C.一 f(2)。D.0。解析：解析：交换累次积分的积分次序，得 F(t)= 1 t dy y t f(x)dx = 1 t dx 1 x f(x)dy = 1 t (x1)f(x)dx。 于是 F (t)=(t 一 1)f(t)，从而 F (2)=f(2)。故选 B。8.设函数 f(t)连续，则二重积分 d
12、 2cos 2 f(r 2 )rdr=( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为曲线 r=2 在直角坐标系中的方程为 x 2 +y 2 =4，而 r=2cos 在直角坐标系中的方程为x 2 +y 2 =2x，即(x 一 1) 2 +y 2 =1，因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得原式= 9.设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 4，x0，y0，f(x)为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则 （分数：2.00）A.ab。B.。C.(a+b)。D.。 解析：解析：由根据轮换对称性可得二、填空题(总题数：7，分数：14.00)10.设二元函数 z=xe xy +
13、(x+1)ln(1+y)，则 dz (1，0) = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2edx+(e+2)dy）解析：解析：由已知 =e xy +xe xy +ln(1+y)， 11.设 z=(x+e y ) x ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2ln2+1）解析：解析：由 z=(x+e y ) x ，故 z(x，0)=(x+1) x ，则 代入 x=1 得， 12.设函数 z=z(x，y)由方程(z+y) x =xy 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：22ln2）解析：解析：把点(1，2)代入(z+y)
14、x =xy，得到 z(1，2)=0。在(z+y) x =xy 两边同时对 x 求偏导数， 有(z+y) x ln(z+y)+ =y。 将 x=1，y=2，z(1，2)=0 代入上式得 13.设 z=xg(x+y)+y(xy)，其中 g， 具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：g (x+y)+xg (x+y)+2y (xy)+xy 2 (xy)）解析：解析：由题干可知， =g(x+y)+xg (x+y)+y 2 (xy)， 14.积分 0 2 dx x 2 e y2 dy= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：如图
15、1410 积分区域，则 0 2 dx x 2 e y2 dy= 0 2 dy 0 y e y2 dx= 0 2 ye y2 dy = 15.将 0 1 dy 0 y f(x 2 +y 2 )dx 化为极坐标下的二次积分为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：如图 1414 所示，则有 0 1 dy 0 y f(x 2 y 2 )dx= 16.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=x+y f(，)dd，其中 D 是由 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x+*y）解析：解析：首先令 A= f(，)dd，则 A 为常数，此时 f(
16、x，y)=x+Ay。三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设 =f(x，y，z)，(x 2 ，e y ，z)=0，y=sinx，其中 f， 都具有一阶连续偏导数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在等式 =f(x，y，z)的两端同时对 x 求导数，得到如下等式 而 =cosx，再在等式 (x 2 ，e y ，z)=0 的两端同时对 x 求导数，得到 1 2x+ 2 =0， 解得 (2x 1 +e y 2 cosx)， 因此，可得 )解析：19.设 z= ，其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有
17、二阶连续导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据复合函数的求导公式，有 ， 于是 )解析：20.设对任意的 x 和 y，有 =4，用变量代换 将 f(x，y)变换成 g(，)，试求满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 g(，)=f(， ( 2 一 2 )， =f 1 +f 2 ， =f 1 一 f 2 ， 因此，有 =a 2 (f 1 ) 2 + 2 (f 2 ) 2 +2f 1 f 2 一 b 2 (f 1 ) 2 + 2 (f 2 ) 2 一 2f 1 f 2 =(a 2 一 b 2 )(f 1 ) 2 +(a 2 一 b 2 )(f 2 ) 2 +2(a
18、+b)f 1 f 2 = 2 + 2 。 利用(f 1 ) 2 +(f 2 ) 2 =4，即(f 2 ) 2 =4 一(f 1 ) 2 得 (a+b)( 2 一 2 )(f 1 ) 2 +2(a+b)f 1 f 2 +4a 2 一 4b 2 = 2 + 2 由此得 a+b=0，4a=1，一 4b=1， 故 )解析：21.设 z=z(x，y)是由 x 2 一 6xy+10y 2 一 2yzz 2 +18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在方程 x 2 一 6xy+10y 2 一 2yz 一 z 2 +18=0 的两端分别对 x，y 求
19、偏导数，因此有 2x6y =0， (1) 6x20y2z =0 (2) 令 将上式代入 x 2 一 6xy+10y 2 一2yzz 2 +18=0，解得 又 A= 0，所以点(9，3)是 z(x，y)的极小值点，极小值为 z(9，3)=3。 类似地，由 可知 ACB 2 = 0， 又 A= )解析：22.求原点到曲面(xy) 2 +z 2 =1 的最短距离。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，求曲面上的点(x，y，z)到原点的距离 d= 在条件(x 一 y) 2 +z 2 =1 下达到最小值，运用拉格朗日函数法。令 F(x，y，z，)=x 2 +y 2 +z 2 +(x 一 y
20、) 2 +z 2 一， 则有 由(3)式，若 =一 1，代入(1)，(2)得 解得 x=0，y=0。代入曲面方程 (x 一 y) 2 +z 2 =1，得到 z 2 =1，d=1。 若 一 1，由(3)解得 z=0。由(1)，(2)得到 x=一 y。代入曲面方程(x一 y) 2 +z 2 =1，得到 故所求的最短距离为 d= )解析：23.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件，积分区域 D=(x，y)(x 一 1) 2 +(y 一 1) 2 2，yx。 由(x一 1) 2 +(y 一 1) 2 2，得 r2(sin+cos)，于是 )解析：24.计算二重积分 I= ，
21、其中 D=(r，)0rsec，0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将极坐标转化为直角坐标，可得积分区域如图 1418 所示。D=(x，y)0x1，0yx， )解析：25.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 是正方形区域(如图 1421)。因在 D 上被积函数分块表示为 maxx 2 ，y 2 =于是要用分块积分法，用 y=x 将 D 分成两块： D=D 1 D 2 ，D 1 =Dyx，D 2 =Dyx。 则有 )解析：26.求 ，其中 D 是由圆 x 2 +y 2 =4 和(x+1) 2 +y 2 =1 所围成的平面区域(如图 14-2)。 （分数：2.00）
22、_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)x 2 +y 2 4，D 2 =(x，y)(x+1) 2 +y 2 1(如图 1 一423 所示)。 根据图象的对称性， yd=0。 )解析：27.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0， f(x，y)dxdy=a，其中D=(x，y)0x1，0y1，计算二重积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将二重积分 xyf xy (x，y)dxdy 转化为累次积分可得 xyf xy (x，y)dxdy= 0 1 dy 0 1 xyf xy (x，y)dx。 首先考虑 0 1 xyf xy (x，y)
23、dx，注意这里把变量 y 看作常数，故有 0 1 xyf xy (x，y)dx=y 0 1 xdf y (x，y) =xyf y (x，y) 0 1 0 1 yf y (x，y)dx =yf y (1，y)一 0 1 yf y (x，y)dx。 由 f(1，y)=f(x，1)=0 易知，f y (1，y)=f x (x，1)=0。所以 0 1 xyf xy (x，y)dx=一 0 1 yf y (x，y)dx。 因此 xyf xy (x，y)dxdy= 0 1 dy 0 1 xyf xy (x，y)dx=一 0 1 dy 0 1 yf y (x，y)dx， 对该积分交换积分次序可得， 一 0 1 dy 0 1 yf y (x，y)dx=一 0 1 dx 0 1 yf y (x，y)dy。 再考虑积分 0 1 yf y (x，y)dy，注意这里把变量 x 看作常数，故有 0 1 yf y (x，y)dy= 0 1 ydf(x，y) =yf(x，y) 0 1 一 0 1 f(x，y)dy =一 0 1 f(x，y)dy， 因此 xyf xy (x，y)dxdy=一 0 1 dx 0 1 yf y (x，y)dy = 0 1 dx 0 1 f(x，y)dy = )解析：
