1、考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷 23及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.不连续。B.连续但两个偏导数不存在。C.两个偏导数存在但不可微。D.可微。3.设函数 (x，y)=(xy)+(x 一 y)+ xy xy (t)dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设函数 z=f(x，y)的全微分为 dz=xdx+ydy，则点(0，0)( )（分数：2.00）A.不是 f(
2、x，y)的连续点。B.不是 f(x，y)的极值点。C.是 f(x，y)的极大值点。D.是 f(x，y)的极小值点。5.设 D为单位圆 x 2 +y 2 1，I 1 = (x 3 +y 3 )dxdy，I 2 = (x 4 +y 4 )dxdy，I 3 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 。B.I 3 I 1 I 2 。C.I 3 I 2 I 1 。D.I 1 I 3 I 2 。6.累次积分 0 1 dx x 1 f(x，y)dy+ 1 2 dy 0 2y f(x，y)dx 可写成( )（分数：2.00）A. 0 2 dx x 2x f(x，y)dy。B. 0 1 dy 0 2y
3、f(x，y)dx。C. 0 1 dx x 2x f(x，y)dy。D. 0 1 dy y 2y f(x，y)dx。7.设 f(x)= （分数：2.00）A.1。B.1一C.1+D.e1。8.设有平面闭区域，D=(x，y)一 axa，xya，D 1 =(x，y)0xa，xya，则 (xy+cosxsiny)dxdy=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)9.设 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_10.设 z=z(x，y)由方程 z+e z =xy 2 所确定，则 dz= 1。（分数：2.00）填空项 1:_11.设函数 z=z(x，y)
4、由方程 z=e 2x3z +2y确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 z=z(x，y)是由方程 xyz+ （分数：2.00）填空项 1:_13.设函数 f(，)具有二阶连续偏导数 z=f(x,xy)，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.交换积分次序 1 0 dy 2 1y f(x，y)dx= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.已知极坐标系下的累次积分 I= （分数：2.00）填空项 1:_16.D是圆周 x 2 +y 2 =Rx所围成的闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
5、算步骤。（分数：2.00）_18.设 y=y(x)，z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f和 F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_19.设 z=f(x 2 一 y 2 ，e xy )，其中 f具有连续二阶偏导数，求 （分数：2.00）_20.设函数 =f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 =0，确定 a，b 的值，使等式通过变换=x+ay，=x+by 可化简为 （分数：2.00）_21.已知 =2x+y+1， （分数：2.00）_22.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4一 x一 y)在直线 x+y=6
6、，x 轴与 y轴围成的闭区域 D上的最大值与最小值。（分数：2.00）_23.求二重积分 （分数：2.00）_24.设 D=(x，y)(x 一 1) 2 +(y一 1) 2 =2，计算二重积分 （分数：2.00）_25.计算二重积分 （分数：2.00）_26.计算二重积分 x(y+1)d，其中积分区域 D是由 y轴与曲线 （分数：2.00）_27.设函数 f(x)在区间0，1上连续，且 0 1 f(x)dx=A，求 0 1 dx x 1 f(x)f(y)dy。（分数：2.00）_考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷 23答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，
7、分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 （分数：2.00）A.不连续。B.连续但两个偏导数不存在。C.两个偏导数存在但不可微。D.可微。 解析：解析：由3.设函数 (x，y)=(xy)+(x 一 y)+ xy xy (t)dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：先分别求出 ，再进一步比较结果。 因为 = (x+y)+ (x一 y)+(x+y)一 (x 一 y)， = (x+y)一 (x一 y)+(x+y)+(x 一 y)， 于是 = (x+y)+ (x一
8、 y)+ (x+y)一 (x一 y)， = (x+y)一 (x一 y)+ (x+y)+ (x一 y)，= (x+y)+ (x一 y)+ (x+y)一 (x一 y)， 可见有 4.设函数 z=f(x，y)的全微分为 dz=xdx+ydy，则点(0，0)( )（分数：2.00）A.不是 f(x，y)的连续点。B.不是 f(x，y)的极值点。C.是 f(x，y)的极大值点。D.是 f(x，y)的极小值点。 解析：解析：根据 dz=xdx+ydy可得 =y，则 又在(0，0)处， 5.设 D为单位圆 x 2 +y 2 1，I 1 = (x 3 +y 3 )dxdy，I 2 = (x 4 +y 4 )d
9、xdy，I 3 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 。B.I 3 I 1 I 2 。C.I 3 I 2 I 1 。D.I 1 I 3 I 2 。 解析：解析：由于积分域 D关于两个坐标轴都对称，而 x 3 是 x的奇函数，y 3 是 y的奇函数，则 I 1 = (x 3 +y 3 )dxdy=0， y 5 dxdy=0， 积分区域关于 y=x对称，从而由轮换对称性可知 I 3 = (x 6 +y 6 )dxdy，由于在 D内x1，y1，则 x 6 +y 6 x 4 +y 4 ，则 0 (x 6 +y 6 )dxdy 6.累次积分 0 1 dx x 1 f(x，y)dy+ 1 2
10、dy 0 2y f(x，y)dx 可写成( )（分数：2.00）A. 0 2 dx x 2x f(x，y)dy。B. 0 1 dy 0 2y f(x，y)dx。C. 0 1 dx x 2x f(x，y)dy。 D. 0 1 dy y 2y f(x，y)dx。解析：解析：原积分域为直线 y=x，x+y=2，与 y轴围成的三角形区域，故选 C。7.设 f(x)= （分数：2.00）A.1。B.1一 C.1+D.e1。解析：解析：积分区域如图 145 交换积分次序 故应选 B。8.设有平面闭区域，D=(x，y)一 axa，xya，D 1 =(x，y)0xa，xya，则 (xy+cosxsiny)dx
11、dy=( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：将闭区间 D=(x，y)一 axa，xya用直线 y=一 x将其分成两部分 D 2 和 D 3 ，如图 l一 48所示，其中 D 2 关于 y轴对称，D 3 关于 x轴对称，xy 关于 x和 y均为奇函数，所以在 D 2 和 D 3 上，均有 xydxdy=0。 而 cosxsiny是关于 x的偶函数，关于 y的奇函数，在 D 3 积分不为零，在 D 2 积分值为零，因此 故选项 A正确。 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)9.设 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为
12、0 xx0， 利用夹逼定理知，10.设 z=z(x，y)由方程 z+e z =xy 2 所确定，则 dz= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：11.设函数 z=z(x，y)由方程 z=e 2x3z +2y确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：偏导数法。在 z=e 2x3z +2y的两边分别对 x，y 求偏导，z 为 x，y 的函数。 12.设 z=z(x，y)是由方程 xyz+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2dx+dy）解析：解析：方程两边微分，有 xydz+xzdy+yzdx+
13、=0， 将 x=0，y=一 1，z=1 代入上式，得一 dx+13.设函数 f(，)具有二阶连续偏导数 z=f(x,xy)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xf 12 +f 2 +xyf 22 ）解析：解析：由题干可知， =f 1 +f 2 y， 14.交换积分次序 1 0 dy 2 1y f(x，y)dx= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 2 dx 0 1x f(x，y)dy）解析：解析：由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D(如图 1411)：一 1y0，1 一yx2。则有 1 0 dy 1y 2 f(x，y)dx= 15.
14、已知极坐标系下的累次积分 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 0 a dx ）解析：解析：先将，表示成 I= f(x，y)d，用 D的极坐标表示 ，0racos， 因此可知区域 D： 。如图 14一 15所示： 如果按照先 y后 x的积分次序，则有 D：0xa， ， 因此可得 I= 0 a dx 16.D是圆周 x 2 +y 2 =Rx所围成的闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：圆周 x 2 +y 2 =Rx所围成的闭区域用极坐标表示为 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过
15、程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设 y=y(x)，z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f和 F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分别在 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 的两端对 x求导，得 整理后得 解得 )解析：19.设 z=f(x 2 一 y 2 ，e xy )，其中 f具有连续二阶偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为由已知条件可得 =2xf 1 +ye xy f 2 ， =一 2yf 1 +xe xy f 2 ， )解析：20.设函数 =f(
16、x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 =0，确定 a，b 的值，使等式通过变换=x+ay，=x+by 可化简为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据已知 有 根据 10ab+12(a+b)+80，舍去 因此可知 a=一 2，)解析：21.已知 =2x+y+1， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =2x+y+1，有 (x，y)=x 2 +xy+x+(y)，再结合 =x+2y+3，有x+ (y)=x+2y+3，得 (y)=2y+3，(y)=y 2 +3y+C。 于是 (x，y)=x 2 +xy+x+y 2 +3y+C。 又由 (0，0)=1 得 C=1，因此 (x，y)=x
17、 2 +xy+y 2 +x+3y+1。 )解析：22.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4一 x一 y)在直线 x+y=6，x 轴与 y轴围成的闭区域 D上的最大值与最小值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求在 D内的驻点，即 因此在 D内只有驻点 相应的函数值为 f(2，1)=4。 再求 f(x，y)在 D边界上的最值 在 x轴上 y=0，所以 f(x，0)=0。 在 y轴上 x=0，所以 f(0，y)=0。 在 x+y=6上，将 y=6一 x代入 f(x，y)中，得 f(x，y)=2x 2 (x一 6)， 因此 f x =6x 2 一24x=0。得 x=0(舍)，x=4
18、。所以 y=6一 x=2。 于是得驻点 )解析：23.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 xy=1将区域分成两个区域 D 1 和 D 2 +D 3 (如图 1一 4一 16) =1+2ln2+ )解析：24.设 D=(x，y)(x 一 1) 2 +(y一 1) 2 =2，计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 D 1 =(x，y)x 2 +y 2 1，(x，y)D， D 2 =(x，y)x 2 +y 2 1，(x，y)D， 因此 )解析：26.计算二重积分 x(y+1)d，其中积
19、分区域 D是由 y轴与曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：引入极坐标(r，)满足 x=rcos，y=rsin，在极坐标(r，)中积分区域 D可表示为 D=(r，)0 ，2cosr2)， )解析：27.设函数 f(x)在区间0，1上连续，且 0 1 f(x)dx=A，求 0 1 dx x 1 f(x)f(y)dy。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：交换积分次序可得 0 1 dx x 1 f(x)f(y)dy= 0 1 dy 0 y f(x)f(y)dx = 0 1 dx 0 x f(y)f(x)dy， 因此，可得 0 1 dx x 1 f(x)f(y)dy= 0 1 dx x 1 f(x)f(y)dy+ 0 1 dx 0 x f(x)f(y)dy = 0 1 dx 0 1 f(x)f(y)dy = 0 1 f(x)dx 0 1 f(y)dy = )解析：
