1、考研数学二(常微分方程)-试卷 2 及答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 -1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解,则 (分数:2.00)A.-ln3B.ln3C.D.3.微分方程 y“-y“-6y=(x+1)e -2x 的特解形式为( )(分数:2.00)A.(ax+b)e -2xB.ax 2 e -2xC.(ax 2 +bx)e -2xD.x 2 (ax+b)e -2x4.微分方程 y“-4y=
2、x+2 的通解为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:9,分数:18.00)5.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_6.设 f(x)在0,+)上非负连续,且 f(x) (分数:2.00)填空项 1:_7.连续函数 f(x)满足 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_8.设 y=y(x)可导,y(0)=2,令y=y(x+x)=y(x),且y= (分数:2.00)填空项 1:_9.的通解为 1 (分数:2.00)填空项 1:_10.微分方程 xy“-yln(xy)-1=0 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_11.
3、微分方程 y 2 dx+(x 2 -xy)dy=0 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_12.设连续函数 f(x)满足 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_13.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:17,分数:34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_15.求微分方程 (分数:2.00)_16.求微分方程 xy“=yln (分数:2.00)_17.求微分方程 xy“+2y“=e x 的通解(分数:2.00)_18.设 x0 时,f(x)可导,且满足:f(x)= (分数:2.00
4、)_19.求微分方程 (分数:2.00)_20.求微分方程(y-x 3 )dx-2xdy=0 的通解(分数:2.00)_21.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 的通解(分数:2.00)_22.求微分方程 (分数:2.00)_23.求微分方程 (分数:2.00)_24.求微分方程 x 2 y“+xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1 的特解(分数:2.00)_25.求微分方程 (分数:2.00)_26.求微分方程 (分数:2.00)_27.设 y=e x 为微分方程 xy“+P(x)y=x 的解,求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解(分数:2.00)_28.
5、设 f(x)=e x - (分数:2.00)_29.求微分方程 xy“+3y“=0 的通解(分数:2.00)_30.设当 x0 时,f(x)满足 (分数:2.00)_考研数学二(常微分方程)-试卷 2 答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 -1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解,则 (分数:2.00)A.-ln3B.ln3C.D. 解析:解析:由 2xydx+(x 2 -1)dy=0 得 =0
6、,积分得 ln(x 2 -1)+lny=lnC,从而 y= 由 y(0)=1 得 C=-1,于是 y= 故 3.微分方程 y“-y“-6y=(x+1)e -2x 的特解形式为( )(分数:2.00)A.(ax+b)e -2xB.ax 2 e -2xC.(ax 2 +bx)e -2x D.x 2 (ax+b)e -2x解析:解析:因为原方程的特征方程的特征值为 1 =-2, 2 =3,而-2 为其中一个特征值,所以原方程的特解形式为 x(ax+b)e -2x ,选(C)4.微分方程 y“-4y=x+2 的通解为( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:微分方程 y“-4y=0 的特
7、征方程为 2 -4=0,特征值为-2,2,则方程 y“-4y=0 的通解为 C 1 e -2x +C 2 e 2x ,显然方程 y“-4y=x+2 有特解 二、填空题(总题数:9,分数:18.00)5.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:cosxe tanxdx dx+Ce -tanxdx =(x+C)cosx)解析:6.设 f(x)在0,+)上非负连续,且 f(x) (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2x)解析:解析: 7.连续函数 f(x)满足 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答
8、案:正确答案:2e 3x )解析:解析:由 8.设 y=y(x)可导,y(0)=2,令y=y(x+x)=y(x),且y= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由y=9.的通解为 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由10.微分方程 xy“-yln(xy)-1=0 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:Cx)解析:解析:令 xy=u,y+xy“=11.微分方程 y 2 dx+(x 2 -xy)dy=0 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:令 ,
9、两边积分得 u-lnu-lnx-lnC=0,解得 y=12.设连续函数 f(x)满足 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2e 2x -e x )解析:解析: ,两边求导数得 f“(x)-2f(x)=e x ,解得 f(x)= 13.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:令 y“=p,则 ,两边积分得 lnp=ln(2x+3) 2 +lnC 1 ,或 y“=C 1 (2x+3) 2 , 于是y= 三、解答题(总题数:17,分数:34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
10、步骤。(分数:2.00)_解析:15.求微分方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 =1+x+y+xy 得 =(1+x)(1+y),分离变量得 =(1+x)dx, 两边积分得 ln1+y=x+ )解析:16.求微分方程 xy“=yln (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:xy“= 变量分离得 )解析:17.求微分方程 xy“+2y“=e x 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:方法一 令 y“=p,则原方程化为 方法二 xy“+2y“=e x 两边乘以 x 得 x 2 y“+2xy“=xe x ,即(x 2 y“)“=xe x , 积分得 x 2 y“=(x-1)
11、e x +C 1 ,即 y“= 再积分得原方程通解为 )解析:18.设 x0 时,f(x)可导,且满足:f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 f(x)= 两边对 x 求导得 f(x)+xf“(x)=1+f(x),解得 f“(x)= )解析:19.求微分方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 )解析:20.求微分方程(y-x 3 )dx-2xdy=0 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由(y-x 3 )dx-2xdy=0,得 )解析:21.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 y
12、2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 得 )解析:22.求微分方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 )解析:23.求微分方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:方法一 由 ,解得 u 2 =lnxx+C,由 y(e)=2e,得 C=2,所求的通解为 y 2 =x 2 lnx 2 +2x 2 方法二 由 解得 z= )解析:24.求微分方程 x 2 y“+xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1 的特解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 x 2 y“+xy=y 2 得 )解析:25.求微分方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 )解析:26.求微分方
13、程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 x+y=u,则,于是有 )解析:27.设 y=e x 为微分方程 xy“+P(x)y=x 的解,求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:把 y=e x 代入微分方程 xy“+P(x)y=x,得 P(x)=xe -x -x,原方程化为 y“+(e -x -1)y=1,则 y= , 将 y(ln2)=0 代入 y= )解析:28.设 f(x)=e x - (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 f(x)=e x - ,两边对 x 求导,得 f“(x)=e x - ,两边再对 x 求导得 f“(x)+f(x)=e x ,其通解为 f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+ (x-t)f(t)dt 中,令 x=0 得 f(0)=1,在f“(x)=e x - 中,令 x=0 得 f“(0)=1,于是有 C 1 = )解析:29.求微分方程 xy“+3y“=0 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 y“=p,则 )解析:30.设当 x0 时,f(x)满足 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 )解析: