1、考研数学二（常微分方程）-试卷 6 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.方程 y2y3ye sin( （分数：2.00）A.B.C.Ae sin( D.Ae cos( 3.设 y()、y()为二阶变系数齐次线性方程 yp()yq()y0 的两个特解，则 C 1 y 1 ()C 2 y 2 ()(C 1 ，C 2 为任意常数)是该方程通解的充分条件为（分数：2.00）A.y 1 ()y 2 ()y 2 ()y 1 ()0B.y 1 ()y 2 ()y 2
2、()y 1 ()0C.y 1 ()y 2 ()y 2 ()y 1 ()0D.y 1 ()y 2 ()y 2 ()y 1 ()04.设函数 y 1 ()，y 2 ()，y 3 ()线性无关，而且都是非齐次线性方程 yp()yq()yf()的解，C 1 ，C 2 为任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C 1 y 1 C 2 y 2 y 3 B.C 1 y 1 C 2 y 2 (C 1 C 2 )y 3 C.C 1 y 1 C 2 y 2 (1C 1 C 2 )y 3 D.C 1 y 1 C 2 y 2 (1C 1 C 2 )y 3 二、填空题(总题数：2，分数：4.00)5.微分
3、方程 y6y9y0 的通解 y 1（分数：2.00）填空项 1:_6.当0 时 是比 较高阶的无穷小量函数 y()在任意点 处的增量y （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_8.设 f(t)连续并满足 f(t)cos2t 0 t f(s)sinsds， (*) 求 f(t)（分数：2.00）_9.设 f()连续，且满足 0 1 f(t)dtf()sin，求 f()（分数：2.00）_10.求下列方程的通解： ()y3y26； ()yycoscos2（分数：2.00）_11.设曲线 L 的
4、极坐标方程为 rr()，M(r，)为 L 上任一点，M 0 (2，0)为 L 上一定点若极径 OM 0 ，OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形的面积值等于 L 上 M 0 ，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的极坐标方程（分数：2.00）_12.设曲线 L 位于 Oy 平面的第一象限内，过 L 上任意一点 M 处自切线与 y 轴总相交，把交点记作 A，则总有长度 ，若 L 过点( )，求 L 的方程 （分数：2.00）_13.在上半平面求一条凹曲线(图 62)，使其上任一点 P(，Y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 PQ 长度的倒数(Q 是法线与 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 轴
5、平行 （分数：2.00）_14.设热水瓶内热水温度为 T，室内温度为 T 0 ，t 为时间(以小时为单位)根据牛顿冷却定律知：热水温度下降的速率与 TT 0 成正比又设 T 0 20，当 t0 时，T100，并知 24 小时后水瓶内温度为50，问几小时后瓶内温度为 95（分数：2.00）_15.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v 之间的关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 V，海水的比重为 ，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k0)试建立 y 与
6、v 所满足的微分方程，并求出函数关系 yy(v)（分数：2.00）_16.要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为 h，上底面直径为 2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数 p设水泥的比重为 ，试求桥墩的形状（分数：2.00）_17.设物体 A 从点(0，1)出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正方向运动，物体 B 从点(1，0)与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A，任意时刻 B 点的坐标(，y)，试建立物体 B 的运动轨迹(y 作为 的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件（分数：2.00）_18.求下列方程的通解： ()ysin(ln)cos(ln)a
7、y； ()y （分数：2.00）_19.求下列微分方程的通解： （分数：2.00）_20.求解二阶微分方程的初值问题 （分数：2.00）_21.解下列微分方程： ()y7y12y 满足初始条件 （分数：2.00）_22.求微分方程 yy 2 的通解（分数：2.00）_23.求方程 2 yd( 3 y 3 )dy0 的通解（分数：2.00）_24.利用代换 uycos 将微分方程 ycos2ysin3ycose 化简，并求出原方程的通解（分数：2.00）_25.设 f()sin 0 (t)f(t)dt，其中 f()连续，求 f()（分数：2.00）_26.设有二阶线性微分方程(1 2 ) y2
8、求：作自变量替换 sint( （分数：2.00）_27.设 f()是以 为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 ykyf()（分数：2.00）_考研数学二（常微分方程）-试卷 6 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.方程 y2y3ye sin( （分数：2.00）A.B. C.Ae sin( D.Ae cos( 解析：3.设 y()、y()为二阶变系数齐次线性方程 yp()yq()y0 的两个特解，则 C 1 y 1 ()C 2 y 2 ()(C
9、1 ，C 2 为任意常数)是该方程通解的充分条件为（分数：2.00）A.y 1 ()y 2 ()y 2 ()y 1 ()0B.y 1 ()y 2 ()y 2 ()y 1 ()0 C.y 1 ()y 2 ()y 2 ()y 1 ()0D.y 1 ()y 2 ()y 2 ()y 1 ()0解析：4.设函数 y 1 ()，y 2 ()，y 3 ()线性无关，而且都是非齐次线性方程 yp()yq()yf()的解，C 1 ，C 2 为任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C 1 y 1 C 2 y 2 y 3 B.C 1 y 1 C 2 y 2 (C 1 C 2 )y 3 C.C 1 y
10、 1 C 2 y 2 (1C 1 C 2 )y 3 D.C 1 y 1 C 2 y 2 (1C 1 C 2 )y 3 解析：二、填空题(总题数：2，分数：4.00)5.微分方程 y6y9y0 的通解 y 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y(C 1 C 2 )e 3 ，其中 C 1 ，C 1 为任意常数）解析：6.当0 时 是比 较高阶的无穷小量函数 y()在任意点 处的增量y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：三、解答题(总题数：21，分数：42.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：8.设
11、f(t)连续并满足 f(t)cos2t 0 t f(s)sinsds， (*) 求 f(t)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(t)连续 0 t f(s)sinsds 可导 f(t)可导于是 这是一阶线性微分方程的初值问题方程两边乘 )解析：9.设 f()连续，且满足 0 1 f(t)dtf()sin，求 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ts，原方程改写成 f(s)dsf()sin(0)， 即 0 f(s)dsf() 2 sin 含变限积分方程 f()f()f()( 2 sin)， 即 f() 将直接积分得 f() )解析：10.求下列方程的通解： ()y3y
12、26； ()yycoscos2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求相应齐次方程的通解，由于其特征方程为 2 3(3)0，所以通解为 再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且 0 是特征方程的单根，所以特解应具形式 y * ()(AB)，代入原方程，得 y * ()3y * ()2A3(2AB)6A2A3B26 比较方程两端的系数，得 解得 A1，B0，即特解为 y * () 2 从而，原方程的通解为 y() 2 C 1 C 2 e 3 ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 ()由于 coscos2 (coscos3)，根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求yy cos
13、 与 yy cos3 的特解 y * ( 1 )与 y * ( 2 )，相加就是原方程的特解 由于相应齐次方程的特征方程为 2 10，特征根为i，所以其通解应为 C 1 cosC 2 sin；同时 yy cos 的特解应具形式：y 1 * ()AcosBsin，代入原方程，可求得 A0，B 即 y 1 * () sin 另外，由于 3i 不是特征根，所以另一方程的特解应具形式 y 2 * ()Ccos3Dsin3，代入原方程，可得 C ，D0这样，即得所解方程的通解为 y() )解析：11.设曲线 L 的极坐标方程为 rr()，M(r，)为 L 上任一点，M 0 (2，0)为 L 上一定点若极
14、径 OM 0 ，OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形的面积值等于 L 上 M 0 ，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的极坐标方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲边扇形的面积公式为 S 0 r 2 ()d又弧微分 ds ，于是由题设有 两边对 求导，即得 r 2 () 所以 r 所满足的微分方程为 (它与原方程等价，在(*)式中令 0 等式自然成立，不必另加条件) 注意到 C 为方程的通解，再由条件 r(0) 2，可知 C6，所以曲线 L 的方程为 rsin( )解析：12.设曲线 L 位于 Oy 平面的第一象限内，过 L 上任意一点 M 处自切线与 y 轴总相交，把交点记作 A，
15、则总有长度 ，若 L 过点( )，求 L 的方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 L 的方程为 yy()，过点 M(，y()的切线与 y 轴的交点为 A(0，y()y()，又 2 y()(y()y() 2 2 2 y 2 ， (yy) 2 ， 按题意得 2 2 y 2 (yy) 2 ，即 2yyy 2 2 又初始条件 这是齐次方程 y ，令 u 上，则方程化成 分离变量得 积分得 ln(1u 2 )lnC 1 ，1u 2 代入 u 得 y 2 2 C 由初始条件 )解析：13.在上半平面求一条凹曲线(图 62)，使其上任一点 P(，Y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 PQ 长度的
16、倒数(Q 是法线与 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 轴平行 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若将此曲线记为 yy()，则依曲率计算公式，并注意曲线凹凸性的假设，即要求 y0，故曲率 K 又由于过(，f()点的法线方程为 Xy()Yy()0，它与 轴交点 Q 的横坐标 X 0 y()y()，所以，线段 的长度为 这样，由题设该曲线所满足的微分方程及初始条件为 y(1)1，y(1)0 解二阶方程的初值问题 得 y )解析：14.设热水瓶内热水温度为 T，室内温度为 T 0 ，t 为时间(以小时为单位)根据牛顿冷却定律知：热水温度下降的速率与 TT 0 成正比又设 T 0 20
17、，当 t0 时，T100，并知 24 小时后水瓶内温度为50，问几小时后瓶内温度为 95（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：温度变化的速率即 ，牛顿冷却定律给出了这个变化率满足的条件，写出来它就是温度 T 所满足的微分方程： k(TT 0 )，其中 k 为比例常数，且 k0其通解为 TT 0 Ce -kt 再由题设：T 0 20，T(0)100，T(24)50，所以 C80，k (ln8ln3) 这样，温度 T2080 若 T95，则 t )解析：15.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v 之间的关系设仪器在重力作用下，从海平面由
18、静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 V，海水的比重为 ，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系 yy(v)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取沉放点为坐标原点 0，Oy 轴的正向铅直向下，则由牛顿第二定律得 m mgpVkv 由于 v ，所以，此方程是一个既不显含自变量 t，又不显含未知函数 y 的二阶方程，按照常规的办法，可以令 v 为未知函数，得到 v 所满足的一阶线性方程，这样所求得的是 v 与时间 t 的关系然而题目所要求的是 y 与 v 的关系，注意 ，所以应将方程改
19、写为 直接求积分，则有 y (Hkv)C 再由题设，其初始条件应为 v y0 0，由此可定出 C lnH，故所求的关系 y )解析：16.要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为 h，上底面直径为 2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数 p设水泥的比重为 ，试求桥墩的形状（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：建立坐标系如图 63分别过 轴上点 及 作桥墩的水平截面，则 两个截面上的压力差两个截面之间柱体的重量 于是 py 2 ()py 2 ()y 2 ()， 即 当0，得 同样有初始条件 y(h)a解此一阶线性齐次方程的初值问题，同样得 ya )解析：17.设物体 A 从
20、点(0，1)出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正方向运动，物体 B 从点(1，0)与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A，任意时刻 B 点的坐标(，y)，试建立物体 B 的运动轨迹(y 作为 的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：规定 A 出发的时刻 t0 (1)列方程t 时刻 A 位于(0，1vt)t 时刻 B 位于点(t)，y(t)，B 点的速度 (，1vty)同向(见图 64) 又 B 点的速度大小为 进一步消去 t，可得 y 作为 的函数满足的微分方程将式两边对 求导得 将它代入得 yy()满足的微分方程为 (2)初条件y
21、 1 ， 1(1 时 )解析：18.求下列方程的通解： ()ysin(ln)cos(ln)ay； ()y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()属变量可分离的方程分离变量改写为 (sinlncoslna)d 两端求积分，由于sin(ln)dsin(ln).cos(ln). dsin(ln)cos(ln)d， 所以通解为 lnysin(ln)aC 1 ，或 yCe sin(ln)a ，其中 C为任意常数 ()属齐次方程令 yu，并且当 0 时，原方程可化为 两端求积分，则得arcsinulnC，即其通解为 arcsin lnC，其中 C 为任意常数当 0 时，上面的方程变为 ，其通解应为
22、 arcsin )解析：19.求下列微分方程的通解： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()这是一阶线性非齐次方程，两边同乘 ，得 积分得 ， 其中 C 为任意常数 ()注意到如果将 看作 y 的函数，则该方程可改写为 yy 3 ，这也是一个一阶线性非齐次方程，两边同乘 )解析：20.求解二阶微分方程的初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此方程不显含 ，令 py，并以 y 为自变量，则 y ，并且方程变为 其解为 1p 2 Cy 2 代入初始条件，可知 C1，即 p 2 y 2 y 2 1，从而 d 这是一个变量分离的方程，两端求积分(ln(y 1)c)，并代入初始条件
23、 ， 则无论右端取正号，还是取负号，其结果均为 y )解析：21.解下列微分方程： ()y7y12y 满足初始条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()相应齐次方程的特征方程为 2 7120，它有两个互异的实根： 1 3， 2 4，所以，其通解为 由于 0 不是特征根，所以非齐次方程的特解应具有形式 y * ()AB代入方程，可得 A ，B ，所以，原方程的通解为 y() 代入初始条件，则得 因此所求的特解为 y() ()由于相应齐次方程的特征根为ai，所以其通解为 ()C 1 cosaC 2 sina求原非齐次方程的特解，需分两种情况讨论： 当 ab 时，特解的形式应为 Acosb
24、Bsinb，将其代入原方程，则得 A ，B0 所以，通解为 y() cosbC 1 cosaC 2 sina，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 当 ab 时，特解的形式应为AcosaBsina，代入原方程，则得 A0B 原方程的通解为 y() )解析：22.求微分方程 yy 2 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将原方程看作不显含 y 的二阶方程，则属于可降阶的范围令 Py，Py，代入原方程，则化为 p 的一阶线性非齐次方程 pp 2 ，即 p p而 ，于是两边同乘 因此 ypC 2 再积分一次，即得原方程的通解为 y )解析：23.求方程 2 yd( 3 y 3 )dy0 的
25、通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然这是一个齐次方程，利用齐次方程的解法町以得到其通解这里若将 看作y 的函数，原方程可改写为 令 u ，原方程又可改写为 分离变量得 u 2 du )解析：24.利用代换 uycos 将微分方程 ycos2ysin3ycose 化简，并求出原方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ycosu，则 yusec，从而 yusecusectanyusec2usectanusectan 2 usec 3 代入原方程，则得 u4ue 这是一个二阶常系数线性非齐次方程，其通解为 u e C 1 cos2C 2 sin2 代回到原未知函数，则有
26、 y )解析：25.设 f()sin 0 (t)f(t)dt，其中 f()连续，求 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将原方程改写为 f()sin 0 f(t)dt 0 tf(t)dt 因为f()连续，所以方程的右端是可微的，因而左端的函数 f()也可微两端对 求导，又原式中令0，则原方程等价于 f()cossin 0 f(t)dt，f(0)0 (67) 同理，方程右端仍可微，所以 f()存在二阶导数，再将(67)中的方程两边求导，并令 0，则得(67)等价于 f()sin2cosf()，f(0)0，f(0)0 即 yf()满足微分方程的初值问题 yysin2cos，y(0)0，
27、y(0)0 (68) 由于此方程的特征根为i，所以其特解应具形式 y()(AB)cos(CD)sin代入方程，求出系数 A，B，C，D，则得其特解 y * () sin，进而方程的通解为 yf() sinC 1 cosC 2 sin (69) 由 f(0)0 可知 C 1 0，而由 f(0)0 又可推出 C 2 0，所以 f() )解析：26.设有二阶线性微分方程(1 2 ) y2 求：作自变量替换 sint( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 再将求导，得 将代入 将，代入原方程得 )解析：27.设 f()是以 为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 ykyf()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此线性方程的通解即所有解可表示为 y()e -k C 0 f(t)e kt dty()以 为周期，即 y()y()，亦即 )解析：
