1、考研数学二（微分中值定理及其应用）-试卷 2及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.曲线 yf() （分数：2.00）A.1个B.2个C.3个D.4个3.设函数 f()在 0 的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.是 f()的驻点，且为极大值点B.是 f()的驻点，且为极小值点C.是 f()的驻点，但不是极值点D.不是 f()的驻点4.设 f()分别满足 f()在 0 邻域二阶可导，f(0)0，且( （分数：2.00）A.f(0)不是 f()的极值，
2、(0，f(0)不是曲线 yf()的拐点B.f(0)是 f()的极小值C.(0，f(0)是曲线 yf()的拐点D.f(0)是 f()的极大值二、填空题(总题数：2，分数：4.00)5.曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_6.数列 1， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：26，分数：52.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_8.证明：当 1 时 0ln （分数：2.00）_9.当 0，证明 （分数：2.00）_10.求证：当 0 时不等式(1)ln 2 (1) 2 成立（分数：2.00）_11.求证：(0，1)时 （分数：2.00）_
3、12.设 f()在0，)可导，且 f(0)0若 f()f()， （分数：2.00）_13.求证：0，1时， p (1) p 1，p1；1 p (1) p （分数：2.00）_14.设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且f()1，又 f(0)f(1)，证明：对于 1 ， 2 0，1，有f( 1 )f( 2 ) （分数：2.00）_15.求证 （分数：2.00）_16.设 f()在0，1连续，在(0，1)可导，f(0)0，0f()1(0，1)，求证： 0 1 f()d 2 0 1 f 3 ()d（分数：2.00）_17.设 f()在(a，b)二阶可导， 1 ， 2 (a，b)， 1 2
4、， t(0，1)，则 ()若 f()0( (a，b)，有 ft 1 (1t 2 ) 2 tf( 1 )(1t)f( 2 )， (46) 特别有 ()若 f()0( (a，b)，有 ft 1 (1t) 2 tf( 1 )(1t)f( 2 )， (47) 特别有 （分数：2.00）_18.设 a0，b0，ab，证明下列不等式： ()a p b p 2 1-p (ab) p (P1)； ()a p b p 2 1-p (ab) p (0P1)（分数：2.00）_19.设 f()在(，a)内可导， f()0， （分数：2.00）_20.设 f()在a，b上可导，且 f + (a)与 f - (b)反号
5、，证明：存在 (a，b)使得 f()0（分数：2.00）_21.设 f()在a，b上可导，且 f + (a)0，f - (b)0，f(a)f(b)，求证：f()在(a，b)至少有两个零点（分数：2.00）_22.设 f()在(a，b)内可导，且 （分数：2.00）_23.设 f()在0，1三阶可导，且 f(0)f(1)0设 F() 2 f()，求证：在(0，1)内存在c使得 F(c)0（分数：2.00）_24.设 a，b，c 为实数，求证：曲线 ye 与 ya 2 bc 的交点不超过三个（分数：2.00）_25.设 f() （分数：2.00）_26.设 f()在0，1上连续，且满足 0 1 f
6、()d0， 0 1 f()d0，求证：f()在(0，1)内至少存在两个零点（分数：2.00）_27.设 f()在 1 ， 2 可导，0 1 2 ，证明： ( 1 ， 2 )使得 （分数：2.00）_28.设 f()在01二阶可导，且 f(0)f(1)0，试证： (0，1)使得 f() （分数：2.00）_29.设 f()在(a，b)内可导，且 0 (a，b)使得 又 f()0(0)， f()0(0)， f()0(0)(如图 413)，求证：f()在(a，b)恰有两个零点 （分数：2.00）_30.求证：方程 ln （分数：2.00）_31.就 a的不同取值情况，确定方程 ln a (a0)实根
7、的个数（分数：2.00）_32.设 f()在a，b连续，在(a，b)可导，又 ba0，求证： ，(a，b)使得 f()f() （分数：2.00）_考研数学二（微分中值定理及其应用）-试卷 2答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.曲线 yf() （分数：2.00）A.1个B.2个 C.3个D.4个解析：3.设函数 f()在 0 的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.是 f()的驻点，且为极大值点B.是 f()的驻点，且为极小值点C.是 f()的驻
8、点，但不是极值点 D.不是 f()的驻点解析：解析：本题应先从 0 是否为驻点人手，即求 f(0)是否为 0；若是，再判断是否为极值点 由 1，可知 0，从而 f(0)0，f(0) 100 可知 0 是 f()的驻点再由极限的局部保号性还知，在 0 的某去心邻域内4.设 f()分别满足 f()在 0 邻域二阶可导，f(0)0，且( （分数：2.00）A.f(0)不是 f()的极值，(0，f(0)不是曲线 yf()的拐点B.f(0)是 f()的极小值 C.(0，f(0)是曲线 yf()的拐点D.f(0)是 f()的极大值解析：解析：已知 f(0)0现考察 f(0)由方程得 又 f()在 0 连续
9、二、填空题(总题数：2，分数：4.00)5.曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，0)）解析：解析： 这里 y()在(，)连续，(y(0)，y(0)均不6.数列 1， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：三、解答题(总题数：26，分数：52.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：8.证明：当 1 时 0ln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 1 引入函数 f()ln 2，则 f()在1，)可导，且当1 时 从而 f()在1，)单调增加，又 f(1)0，所以当 1 时，f()(
10、1)0，即ln 0 令 g()ln (1) 3 ，则 g()在1，)可导，且当 1 时 g() 0， 故 g()在区间1，)上单调减少，又 g(1)0，所以当 1 时 g()g(1)0，即 ln 2 )解析：9.当 0，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f() 0 (tt 2 )sin 2n tdt，则 f()在0，)可导，f()( 2 )sin 2n 当 01 时，f()0；当 1 时，除 k(k1，2，3，)的点(f()0)外，f()0，则 f()在 01 单调上升，在 1 单调减小，因此 f()在0，)上取最大值 f(1)又当 t0 时 sintt，于是当 0 时有 )
11、解析：10.求证：当 0 时不等式(1)ln 2 (1) 2 成立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f() 2 (1)ln 2 (1)，则有 f(0)0， f()2ln 2 (1)2ln(1)，f(0)0， f()22 ln(1)，f(0)0， f() )解析：11.求证：(0，1)时 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g() ，知当 0 时有 故 g()在(0，1)内单调下降又 g()在(0，1连续，且 g(1) 1，g()在 0 无定义，但 若补充定义 g(0) ，则 g()在0，1上连续又 g()0，01，因此 g()在0，1单调下降所以，当 01 时 g(1)g
12、()g(0)，即 )解析：12.设 f()在0，)可导，且 f(0)0若 f()f()， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要证 f()0 e f()0 (0) 由 e f()在0，)可导且e f()e f()f()0 e f()在0，)单调上升 e f()e f() 1 0 (0) )解析：13.求证：0，1时， p (1) p 1，p1；1 p (1) p （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f() p (1) p ，则 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且有 f()p p-1 (1) p-1 令 f()0 得 易知 f(0)f(1)1， 当 p1 时，1 f()
13、在0，1的最大值为 1，最小值为 f()1，0，1 当 0p1 时，1 f()在0，1的最大值为 ，最小值为 1 )解析：14.设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且f()1，又 f(0)f(1)，证明：对于 1 ， 2 0，1，有f( 1 )f( 2 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：联系 f( 1 )f( 2 )与 f()的是拉格朗日中值定理不妨设 0 1 2 1分两种情形： 1)若 2 1 ，直接用拉格朗日中值定理得 f( 1 )f( 2 )f()( 2 1 )f() 2 1 2)若 2 1 ，当 0 1 2 1 时，利用条件 f(0)f(1)分别在0， 1 与 2
14、 ，1上用拉 格朗日中值定理知存在 (0， 1 )，( 2 ，1)使得 f( 1 )f( 2 )f( 1 )f(0)f( 2 )f(1) f( 1 )f(0)f(1)f( 2 ) f() 1 f()(1 2 ) 1 (1 2 )1( 2 1 ) ， 当 1 0 且 2 时，有 f( 1 )f( 2 )f(0)f( 2 )f(1)f( 2 )f()(1 2 ) 当 1 且 2 1 时，同样有 f( 1 )f( 2 )f( 1 )f(1)f( 1 )f(0)f()( 1 0) 因此对于任何 1 ， 2 0，1总有 f()f() )解析：15.求证 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：改写右端
15、对 f(t) ln(1t)，g(t)arcsint 在0，区间用柯西中值定理：余下只需证 注意函数在 在(0，1)是单调减函数，因为 )解析：16.设 f()在0，1连续，在(0，1)可导，f(0)0，0f()1(0，1)，求证： 0 1 f()d 2 0 1 f 3 ()d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：即证 0 1 f()d 2 0 1 f 3 ()d0考察 F() 0 f(t)dt 2 0 f 3 (t)dt， 若能证明 F()0(0，1)即可这可用单调性方法 令 F() 0 f(t)dt 2 0 f 3 (t)dt，易知 F()在0，1可导，且 F(0)0，F()f()2 0
16、 f(t)dtf 2 () 由条件知，f()在0，1单调上升，f()f(0)0(0，1)，从而 F()与 g()2 0 f(t)dtf 2 ()同号再考察 g()2f()1f()0(0，1)， g()在0，1连续，于是 g()在0，1单调上升，g()g(0)0(0，1)，也就有 F()0( (0，1)，即 F()在0，1单调上升，F()F(0)0(0，1)因此 F(1) 0 f()d 2 0 1 f 3 ()d0 即结论成立)解析：17.设 f()在(a，b)二阶可导， 1 ， 2 (a，b)， 1 2 ， t(0，1)，则 ()若 f()0( (a，b)，有 ft 1 (1t 2 ) 2 t
17、f( 1 )(1t)f( 2 )， (46) 特别有 ()若 f()0( (a，b)，有 ft 1 (1t) 2 tf( 1 )(1t)f( 2 )， (47) 特别有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()与()的证法类似，下面只证()因 f()0(a，b) f()在(a，b)为凹的 (45)相应的式子成立注意 t 1 (1t) 2 (a，b) )解析：18.设 a0，b0，ab，证明下列不等式： ()a p b p 2 1-p (ab) p (P1)； ()a p b p 2 1-p (ab) p (0P1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 a p b p 2 1-p
18、(ab) p 改写成 考察函数 f() p ，0，则 f()p p-1 ，f(p)p(p1) p-2 ()若 P1，则 f()0( 0)，f()在(0，)为凹函数，由已知不等式(46)，其中 得： a0，b0，ab，有 ()若 0P1，则 f()0( 0)，f()在(0，)为凸函数，由不等式(47)，其中 t 得 )解析：19.设 f()在(，a)内可导， f()0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由极限的不等式性质， 0，当 a，a)时 0，即 f()0，也就有 f(a)0 0 a，当 0 时 f() 0于是由微分中值定理知，当 0 ， (， 0 )使得 f()f( 0 )f()
19、( 0 ）f( 0 ) ( 0 )， 由此可得 )解析：20.设 f()在a，b上可导，且 f + (a)与 f - (b)反号，证明：存在 (a，b)使得 f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由极限的不等式性质和题设知，存在 0 使得 ab，且 于是f(a)f(a)，f(b)f(b) 这表明 f()在a,b上的最大值必在(a，b)，内某点取到，即存在(a，b)使得 f() )解析：21.设 f()在a，b上可导，且 f + (a)0，f - (b)0，f(a)f(b)，求证：f()在(a，b)至少有两个零点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f()在a，b的连续性，保证在
20、a，b上 f()至少达到最大值和最小值各一次由 f(a)f(b)得，若 f()的最大值在区间端点达到，则必在 a 达到由 f()的可导性，必有f + (a)0，条件 f + (a)0 表明 f()的最大值不能在端点达到同理可证 f()的最小值也不能在端点 a 或 b 达到因此，f()在a，b的最大值与最小值必在开区间(a，b)达到，于是最大值点与最小值点均为极值点又 f()在a，b可导，在极值点处 f()0，所以 f()在(a，b)至少有两个零点)解析：22.设 f()在(a，b)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 g() )解析：23.设 f()在0，1三阶可导，且 f
21、(0)f(1)0设 F() 2 f()，求证：在(0，1)内存在c使得 F(c)0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 F(0)F(1)0，F()在0，1可导，则 1 (0，1)，F( 1 )0又 F() 2 f()2f()， 及由 F(0)0，F( 1 )0，F()在0，1可导，则 2 (0， 1 )使得 F( 2 )0又 F() 2 f()4f()2f()， 及由 F(0)F( 2 )0，F()在0，1可导，则 )解析：24.设 a，b，c 为实数，求证：曲线 ye 与 ya 2 bc 的交点不超过三个（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()e a 2 bc，那么问题
22、等价于证明 f()的零点不超过三个假设结论不正确，则至少有四个点 1 2 3 4 ，使得 f()0，i1，2，3，4 由于 f()在 1 ， 4 上可导，由罗尔定理可知 f( 1 )在( 1 ， 2 )，( 3 ， 4 )，( 3 ， 4 )内至少各有一个零点 1 ， 2 ， 3 又由于 f()在 1 ， 3 上可导，由罗尔定理可知 f()在( 1 ， 2 )，( 2 ， 3 )内至少各有一个零点 1 ， 2 同样地，由于 f()在 1 ， 2 上可导，由罗尔定理可知 f()在( 1 ， 2 )内至少有一个零点因此至少存在一点 (，)使得 f()0，而 f()e 0(，)，这就产生了矛盾故 f
23、()的零点不超过三个)解析：25.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()令 F() ，显然 F()f()由于 F()是以 2 为周期的可导函数，故 F()在0，2上连续，从而必有最大值与最小值设 F()分别在 1 ， 2 达到最大值与最小值，且 1 2 ， 1 ， 2 0，2，)，则 F( 1 )，F( 2 )也是 F()在(，)上的最大值，最小值，因此 1 ， 2 必是极值点又 F()可导，由费马定理知 F( 1 )f( 1 )0，F( 2 )f( 2 )0 ()f (m) ()同样为()中类型的函数即可写成 f (m) () )解析：26.设 f()在0，1上连续，且满
24、足 0 1 f()d0， 0 1 f()d0，求证：f()在(0，1)内至少存在两个零点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F() 0 f(t)dt，G() 0 F(s)ds，显然 G()在0，1可导，G(0)0，又 对 G()在0，1上用罗尔定理知， c(0，1)使得 G(c)F(c)0 现由F()在0，1可导，F(0)F(c)F(1)0，分别在0，c，c，1对 F()用罗尔定理知 )解析：27.设 f()在 1 ， 2 可导，0 1 2 ，证明： ( 1 ， 2 )使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F() ，其中 l ，则 f()在 1 ， 2 可导，又 因此，
25、由罗尔定理， ( 1 ， 2 )，使得 )解析：28.设 f()在01二阶可导，且 f(0)f(1)0，试证： (0，1)使得 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因此 F()在0，1上连续，在(0，1)内可导 由于 f(0)f(1)0，由罗尔定理知， (0，1)使 f()0因此，F()F(1)0，对 F()在，1上利用罗尔定理得， (，1)，使得，F() 0，即 f()f )解析：29.设 f()在(a，b)内可导，且 0 (a，b)使得 又 f()0(0)， f()0(0)， f()0(0)(如图 413)，求证：f()在(a，b)恰有两个零点 （分数：2.00）_正确答案
26、：(正确答案：由 1 (a， 0 )使 f()0， 2 ( 0 ，b)使 f( 2 )0则 f()在( 1 ， 0 )与( 0 ， 2 )内各存在一个零点 因 f()0( (a， 0 )，从而 f()在(a， 0 )单调增加；f()0( )解析：30.求证：方程 ln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：即证 f()ln 在(0，)只有两个零点先考察它的单调性： 由于 f()在(0，e)与(e，)分别单调上升与下降，又 f(e) 0 d0，故只需证明： 1 (0，e)使 f( 1 )0； 2 (e，)使 f( 2 )0因 则 1 (0，e)使 f( 1 )0； )解析：31.就 a的不同
27、取值情况，确定方程 ln a (a0)实根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求 f()的单调区间 则当 0 0 时，f()单调上升；当 0 时，f()单调下降；当 0 时，f()取最大值 f( 0 )ln (1lna)从而 f()在(0，)有几个零点，取决于 yf()属于图 414 中的哪种情形 方程 f()0 的实根个数有下列三种情形： ()当 f( 0 ) (1lna)0 即 a 时，恒有 f()0( (0，)，故 f()0 没有根 ()当 f( 0 ) (1lna)0 即 a 时，由于 (0，)，当 0 e e 时，f()0，故 f()0 只有一个根，即 0 e e ()当 f() (1lna)0 即 0a 时，因为 )解析：32.设 f()在a，b连续，在(a，b)可导，又 ba0，求证： ，(a，b)使得 f()f() （分数：2.00）_
