1、考研数学二（微分中值定理及其应用）-试卷 3及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f()可导，恒正，且 0ab 时恒有 f()f()，则（分数：2.00）A.bf(a)af(b)B.abf() 2 f(b)C.af(a)f()D.abf() 2 f(a)3.若函数 f()在0，)上连续，在(0，)内可导，且 f(0)0，f()k0，则在(0，)内 f()（分数：2.00）A.没有零点B.至少有一个零点C.只有一个零点D.有无零点不能确定4.曲线 yar
2、ctan （分数：2.00）A.1B.2C.3D.4二、填空题(总题数：2，分数：4.00)5.f() （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_6.曲线 y3 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：28，分数：56.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_8.证明奇次方程 （分数：2.00）_9.设 f()在(，)可导，且 A，求证： （分数：2.00）_10.设 f() ()求 f()； ()证明：0 是 f()的极大值点； ()令 n 1，考察 f( n )是正的还是负的，n 为非零整数； ()证明：对 （分数：2.00）_11.求函
3、数 f() （分数：2.00）_12.将长为口的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使两段面积之和最小，问两段铁丝各长多少?（分数：2.00）_13.求从点 A(10，0)到抛物线 y 2 4 之最短距离（分数：2.00）_14.求圆 2 y 2 1 的一条切线，使此切线与抛物线 y 2 2 所围面积取最小值，并求此最小值（分数：2.00）_15.要造一个圆柱形无盖水池，使其客积为 V 0 m 3 底的单位面积造价是周围的两倍，问底半径 r与高h各是多少，才能使水池造价最低?（分数：2.00）_16.证明函数恒等式 arctan （分数：2.00）_17.设函数 f()，g()
4、在 0 有连续的二阶导数且 f( 0 )g( 0 )，f( 0 )g( 0 )，f( 0 )g( 0 )0，说明这一事实的几何意义（分数：2.00）_18.设 f()在(a，b)内可导，证明： （分数：2.00）_19.求函数 y （分数：2.00）_20.求曲线 y （分数：2.00）_21.在椭圆 （分数：2.00）_22.在半径为 a的半球外作一外切圆锥体，要使圆锥体体积最小，问高度及底半径应是多少?（分数：2.00）_23.设函数 f()在区间0，a上单调增加并有连续的导数，且 f(0)0，f(a)b，求证： 0 a f()d 0 b g()dab，其中 g()是 f()的反函数（分数
5、：2.00）_24.设 f()在0，)上连续，在(0，)内可导且满足 f(0)0，f()0，f()f()(（分数：2.00）_25.证明函数 f() （分数：2.00）_26.设 f()在0，a二次可导且 f(0)0，f()0求证： （分数：2.00）_27.设 f()在(a，b)四次可导， （分数：2.00）_28.设 y()是由方程 2y 3 2y 2 2y 2 1 确定的，求 yy()的驻点，并判定其驻点是否是极值点?（分数：2.00）_29.求函数 y （分数：2.00）_30.设 a0，求 f() （分数：2.00）_31.求函数 f() （分数：2.00）_32.在椭圆 （分数：2
6、.00）_33.设 f()在0，1连续，在(0，1)内 f()0 且茄 f()f() （分数：2.00）_34.设 f()在0，b可导，f()0( (0，b)，t0，b，问 t取何值时，图 410 中阴影部分的面积最大?最小? （分数：2.00）_考研数学二（微分中值定理及其应用）-试卷 3答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f()可导，恒正，且 0ab 时恒有 f()f()，则（分数：2.00）A.bf(a)af(b)B.abf() 2 f(b
7、)C.af(a)f() D.abf() 2 f(a)解析：3.若函数 f()在0，)上连续，在(0，)内可导，且 f(0)0，f()k0，则在(0，)内 f()（分数：2.00）A.没有零点B.至少有一个零点C.只有一个零点 D.有无零点不能确定解析：解析：讨论函数的零点，一般要用连续函数在闭区间上的介值定理根据拉格朗日中值定理，f()f(0)f()(0)，得 f()f(0)k显然当 足够大时 f()0 又 f(0)0，这就表明在(0，)内存在 f()的零点，f()0，即有 f()单调增加，从而零点唯一，故选 C4.曲线 yarctan （分数：2.00）A.1 B.2C.3D.4解析：解析：
8、令 f()arctan ，f()的定义域是(，2)(2，1)(1，)，因f() ，从而 1 与 2 不是曲线 yf()的渐近线又因 故 y二、填空题(总题数：2，分数：4.00)5.f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：01 时 f()0，按定义 0 是极大值点，0 时 f()2ln(ln 2 1) 得 是极小值点 由于 f()是偶函数， 6.曲线 y3 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y31）解析：解析：只有间断点 0， 0 为垂直渐近线又三、解答题(总题数：28，分数：56.00)7.解答题解
9、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：8.证明奇次方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 a0令 f() ，则 )解析：9.设 f()在(，)可导，且 A，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由极限不等式性质转化为有限区间的情形(如图 43) 若 f()A，显然成立若 f() A，必存在 0 ，f( 0 )A，不妨设 f( 0 )A由极限不等式性质， b 0 ，f(b)f( 0 )； )解析：10.设 f() ()求 f()； ()证明：0 是 f()的极大值点； ()令 n 1，考察 f( n )是正的还是负的，n 为非零整数； ()证
10、明：对 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当 0 时按求导法则得 当 0 时按导数定义得 f(0) 0 ()由于 f()f(0)(2sin )0(0)，即 f()f(0)，于是由极值的定义可知 0 是 f()的极大值点 ()令 n (n1，2，3，)，则 (1) n ，于是 f( n ) ()对 0，当 n为 负奇数且n充分大时 n (，0)，f( n )0 )解析：11.求函数 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求导数并得驻点 由 f()0 即 2 得唯一驻点 再求 由于 f()在(，)内可导，且有唯一的极小值点 ，因而必是最小值点，f()的最小值为 )解析：1
11、2.将长为口的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使两段面积之和最小，问两段铁丝各长多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设围成圆的铁丝长为 ，则围成正方形的铁丝长为 a，于是圆的半径 r，正方形边长 (a)，问题是求面积S() ，(0，a)的最小值点由 因此 )解析：13.求从点 A(10，0)到抛物线 y 2 4 之最短距离（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：抛物线上点 P( ，y)到 A(10，0)的距离的平方(如图 44)为 d(y) y 2 问题是求 d(y)在0，)上的最小值(d(y)在(，)为偶函数) 由于 d(y) ， 在(0，)解 d(y)0
12、得 y 于是 d( )36，d(0)100 又 d(y)在0，)的最小值为 36，即最短距离为 6 )解析：14.求圆 2 y 2 1 的一条切线，使此切线与抛物线 y 2 2 所围面积取最小值，并求此最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 45，圆周的参数方程为 cos，ysin圆周上 点(cos，sin)处切线的斜率是 cot，于是切线方程是 ycot 它与 y 2 2 交点的横坐标较小者为 ，较大者为 ，则 ， 是方程 2 cot2 0 的根，并且切线与抛物线所围面积为 为求 () 3 最小值，只要求() 2 最小值，由一元二次方程根与系数关系得 所以，当 20 时取最小值
13、 3由 sin 因此，所围面积最小值为 S min 所求切线有两条： )解析：15.要造一个圆柱形无盖水池，使其客积为 V 0 m 3 底的单位面积造价是周围的两倍，问底半径 r与高h各是多少，才能使水池造价最低?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出水池总造价的表达式设水池周围单位面积造价为 a元m 2 ，水池造价为 y，则 y2rha2ar 2 h又知 V 0 r 2 h代入上式得 y2a( r 2 )，0r 现求 y(r)在(0，)上的最小值点求 y(r)： 因此，当 r (相应地，h )解析：16.证明函数恒等式 arctan （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f
14、()arctan，g() ，要证 f()g()当 (1，1)时成立， 只需证明：f()，g()在(1，1)可导且当 (1，1)f()g()； (1，1)使得 f( 0 )g( 0 ) 由初等函数的性质知 f()与 g()都在(1，1)内可导，计算可得 )解析：17.设函数 f()，g()在 0 有连续的二阶导数且 f( 0 )g( 0 )，f( 0 )g( 0 )，f( 0 )g( 0 )0，说明这一事实的几何意义（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 yf()，yg()在公共点 M 0 ( 0 ，f( 0 )即( 0 ，g( 0 )处相切，在点 M 0 的某邻域有相同的凹凸性因 f(
15、)，g()在 处连续，f( 0 )g( 0 )0(或0) 0 的某邻域( 0 ， 0 )，当 ( 0 ， 0 )时 f()0，g()0(或 f()0，g()0)又由曲率计算公式知，这两条曲线在点 M 0 处有相同的曲率 )解析：18.设 f()在(a，b)内可导，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：设(*)成立， 1 ， 2 (a，b)且 1 2 f( 2 )f( 1 )f( 1 )( 2 1 )，f( 1 )f( 2 )f( 2 )( 1 2 ) 两式相加 f( 1 )f( 2 )( 2 1 )0 ( 1 )f( 2 )，即 f()在(a，b)单调减少 充分性：设 f(
16、)在(a，b)单调减少对于 )解析：19.求函数 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()定义域 1，间断点 1，零点 0，且是奇函数 ()求y，y和它们的零点 由 y0 得驻点 0， ；由 y0 得 0，由这些点及间断点 1 把函数的定义域按自然顺序分成(， )，( ，1)，(1，0)，(0，1)，(1， )，( ，)由此可列出函数如下分段变化表，并标明每个区间上函数的单渊性、凹凸性及相应的极值点与拐点 因此，单调增区间是(， )，( ，)，单调减区间是( ，1)，(1，1)，(1， )；极大值点是 ，对应的极大值是 ，极小值点是 ，对应的极小值是 )解析：20.求曲线 y （分数
17、：2.00）_正确答案：(正确答案：只有间断点 0因 ，故有垂直渐近线 0又 因此，时有斜渐近线 y 最后， )解析：21.在椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设椭圆内接矩形在第一象限中的顶点为 M(，y)，则矩形的面积为 S()4y (0a) 下面求 S()在0，a上的最大值先求 S()： 令 S()0 解得 ，因 S(0)S(a)0，S( )解析：22.在半径为 a的半球外作一外切圆锥体，要使圆锥体体积最小，问高度及底半径应是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设外切圆锥的底半径为 r，高为 h见图 48，记ABO 则 tan ，于是圆锥体体积为 求 V(r)的最
18、小值点等价于求 f(r) 的最小值点由于 因此，当)解析：23.设函数 f()在区间0，a上单调增加并有连续的导数，且 f(0)0，f(a)b，求证： 0 a f()d 0 b g()dab，其中 g()是 f()的反函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(a) 0 a f()d 0 f(a) g()daf(a)，对 a求导得 F(a)f(a)gf(a)f(a)af(a)f(a)， 由题设 g()是 f()的反函数知 gf(a)a，故 F(a)0，从而 F(a)为常数又 F(0)0，故 F(a)0，即原等式成立)解析：24.设 f()在0，)上连续，在(0，)内可导且满足 f(0
19、)0，f()0，f()f()(（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f()f()0， 得 e f()()e ()0 又f()e 0 0， 则 f()e f()e 0 0进而 f()0(0，)， 因此 f()0( )解析：25.证明函数 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 下证 2 ln2 (12 )ln(12 )0( 0)令 t2 ，0 时 t1， 2 ln2 (12 )ln(12 )tlnt(1t)ln(1t) g(t) 由于 g(t)lntln(1t)0( 0) g(t)在(0，)单调下降，又 0 )解析：26.设 f()在0，a二次可导且 f(0)0，f()0求证
20、： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理， (0，a， )解析：27.设 f()在(a，b)四次可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f (4) ()0(a，b)，f()在(a，b)单调上升又因 f( 0 )0， 故 )解析：28.设 y()是由方程 2y 3 2y 2 2y 2 1 确定的，求 yy()的驻点，并判定其驻点是否是极值点?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先用隐函数求导法求出 y()将方程两边对 求导得 6y 2 y4yy2y2y20 整理得 ()由 y()0 及原方程确定驻点由 y()0 得 y 代入原方程得 2 3 2 2 2
21、 2 1，即 3 2 3 10，(1)(2 2 1)0 仅有根 1当 y1 时，3y 2 2y0因此求得驻点 1 ()判定驻点是否是极值点将式化为(3y 2 2y)yy 将式两边对 在 1 求导，注意 y(1)0，y(1)1，得 2y(1)1，y(1) )解析：29.求函数 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 y 在定义域(0，)上处处连续，先求 y，y和它们的零点及不存在的点 由 y0 得 1； 时 y不存在； 时 y不存在；无 y0 的点 现列下表： 因此得 y 单调减少区间是(0，1)，单调增加区问是(1，)，1 是极小值点，凹区间是(0， )，凸区间是( ，)，( ，0
22、)是拐点 最后求渐近线因 y在(0，)连续，且 y0，所以无垂直渐近线由于 )解析：30.设 a0，求 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f()在(，)上连续且可写成如下分段函数 由此得 (，0)时 f()0，故 f()在(，0单调增加；(a，)时 f()0，故 f()在a，)单调减少从而 f()在0，a上的最大值就是 f()在(，)上的最大值 在(0，a)上解 f()0，即(1a) 2 (1) 2 0，得 又 因此 f()在0，a即在(，)的最大值是 由于 f()在(，0)单调增加，在(a，)单调减少，又 f()在0，a的最小值 )解析：31.求函数 f() （分数：2.00
23、）_正确答案：(正确答案：由于 f()是偶函数，我们只需考察 0，)由变限积分求导公式得 f()2(2) 解 f()0 得 0 与 ，于是 从而，f()的最大值是 f( ) 0 2 (2t)e -t dt 0 2 (2t)de -t (t2)e -t 0 2 0 2 e -t dt 2e -t 0 2 1e -2 由上述单调性分析，为求最小值，只需比较 f(0)与 f()的大小由于 )解析：32.在椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：椭圆参数方程为 acost，ybsint过椭圆上第一象限任意点的切线参数方程为 分别令 y0 与 0，得 ，y 轴的截距为 S(t) (0t )的最小
24、值点，即 f(t)sintcost sin2t(0t )的最大值点，显然 t 为所求因此(，y)解析：33.设 f()在0，1连续，在(0，1)内 f()0 且茄 f()f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求旋转体的体积 求 V(a)的最小值点由于 )解析：34.设 f()在0，b可导，f()0( (0，b)，t0，b，问 t取何值时，图 410 中阴影部分的面积最大?最小? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 s(t) 0 t f(t)f()d t b f()f(t)d tf(t) 0 t f()d t b f()d(tb)f(t) 在0，b可导，且 S(t)tf(t)f(t)f(t)f(t)f(t)(tb)f(t) 则 S(t)a在 ，在 ，因此 t 时，S(t)取最小值 S(t)在0，b连续，也一定有最大值，且只能在 t0 或 tb 处取得 S(0) 0 b f()dbf(0)，S(b)bf(b) 0 b f()d， S(b)S(0) )解析：
