1、考研数学二（概率论与数理统计）-试卷 4及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设两个相互独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和 2，则随机变量 3X一 2Y的方差为( )（分数：2.00）A.8B.16C.28D.443.设 X是一随机变量，且 E(X)=u，D(X)=(，0 为常数)，则对于任意常数 C，必有( )（分数：2.00）A.E(XC) 2 =E(X)一 C 2 B.E(XC) 2 =E(X-) 2 C.E(XC) 2 E(X-) 2 D
2、.E(XC) 2 E(X 一 ) 2 4.设随机变量 X和 Y满足 D(2X+Y)=0，则 X和 Y的相关系数 XY =( )（分数：2.00）A.一 1B.0C.D.15.对于以下各数字特征都存在的任意两个随机变量 X和 Y，如果 E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X和 Y相互独立D.X和 Y不相互独立6.若随机变量 X与 Y满足 Y=1一 （分数：2.00）A.1B.2C.一 1D.一 27.设随机变量 X和 Y相互独立，且 EX与 EY存在，记 U=max(X，Y)，Y=min(X，Y)，则
3、E(UV)=( )（分数：2.00）A.EU.EVB.EX.EYC.EU.EYD.EX.EV8.设(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 =XY 不相关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.E(X)=E(Y)B.E(X 2 )一E(X) 2 =E(Y 2 )一E(Y) 2 C.E(X 2 )=E(Y 2 )D.E(X 2 )+E(X) 2 =E(Y 2 )+E(Y) 2 二、填空题(总题数：1，分数：2.00)9.设随机变量 X与 Y相互独立，且 EX= 1 ，EY= 2 ，DX= 1 2 ，DY= 2 2 ，则 COV(XY，X)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、
4、解答题(总题数：15，分数：30.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3件合格品和 3件次品，乙箱中装有 3件合格品从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后，求(1)乙箱中次品件数的数学期望；(2)从乙箱中任取 1件产品是次品的概率（分数：2.00）_12.已知随机变量 X的概率分布为 PX=k= （分数：2.00）_13.一汽车沿街道行驶，需要经过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯均为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等以 X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数(1)
5、求 X的概率分布；(2)求 E( （分数：2.00）_14.设试验成功的概率为 （分数：2.00）_15.连续进行某项试验，每次试验只有成功和失败两个结果，设当第 k次成功时，第 k+1次试验成功的概率为 ，当第 k次失败时，第 k+1次试验成功的概率为 ，且第一次试验成功与失败的概率均为（分数：2.00）_16.一民航送客车载有 20名乘客自机场开出，旅客有 10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，假设每位旅客在各个车站下车的可能性相同，且各个旅客是否下车相互独立，求停车次数 X的数学期望（分数：2.00）_17.某产品的次品率为 01，检验员每天检验 4次每次随机地取 10
6、件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于 1，就去调整设备以 X表示一天中调整设备的次数，且诸产品是否为次品是相互独立的，求E(X)（分数：2.00）_18.设随机变量 X在-1，2上服从均匀分布，随机变量 Y= （分数：2.00）_19.设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为 （分数：2.00）_20.设二维随机变量(X，Y)在矩形域 D=(x，y)0x2，0y1上服从均匀分布(如图 4一 1)，记 （分数：2.00）_21.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_22.设随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_23.在数轴上的区间0，
7、a内任意独立地选取两点 M与 N，求线段 MN长度的数学期望（分数：2.00）_24.设随机变量 X 1 ，X 2 均在(0，1)上服从均匀分布，且相互独立，X=max(X 1 ，X 2 )，Y=min(X 1 ，X 2 )，求 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，E(X+Y)（分数：2.00）_考研数学二（概率论与数理统计）-试卷 4答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设两个相互独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和 2，则随机变量 3X
8、一 2Y的方差为( )（分数：2.00）A.8B.16C.28D.44 解析：解析：D(3X 一 2Y)=9DX+4DY=94+42=443.设 X是一随机变量，且 E(X)=u，D(X)=(，0 为常数)，则对于任意常数 C，必有( )（分数：2.00）A.E(XC) 2 =E(X)一 C 2 B.E(XC) 2 =E(X-) 2 C.E(XC) 2 E(X-) 2 D.E(XC) 2 E(X 一 ) 2 解析：解析：令 g(C)=E(XC) 2 ，于是 g(C)=E(X 2 一 2CX+C 2 )=E(X 2 )一 2CE(X)+C 2 = 2 + 2 一 2C+C 2 ， g“(C)=一
9、 2+2C， g“(C)=20 令 g“(C)=0，得唯一驻点 C=，因此函数 g(C)在 C=处取得最小值 g()=E(X-) 2 ，即 E(XC) 2 E(X-) 2 4.设随机变量 X和 Y满足 D(2X+Y)=0，则 X和 Y的相关系数 XY =( )（分数：2.00）A.一 1 B.0C.D.1解析：解析：由于 D(2X+Y)=0，因此 P2X+Y=C=1，即 PY=一 2X+C=1， 其中 C为常数，从而 XY =一15.对于以下各数字特征都存在的任意两个随机变量 X和 Y，如果 E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+
10、Y)=D(X)+D(Y) C.X和 Y相互独立D.X和 Y不相互独立解析：解析：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X，Y) 又 COV(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0，从而 D(X+Y)=D(X)+D(y)6.若随机变量 X与 Y满足 Y=1一 （分数：2.00）A.1B.2C.一 1 D.一 2解析：解析：由于 cov(X，Y)= cov(X，X)，注意到 cov(X，X)=DX，cov(X，1)=0，从而 cov(X，Y)=一7.设随机变量 X和 Y相互独立，且 EX与 EY存在，记 U=max(X，Y)，Y=min(X，Y)，则 E(UV)=( )（分数：2.00
11、）A.EU.EVB.EX.EY C.EU.EYD.EX.EV解析：解析：如果 XY，则 U=X，V=Y；如果 XY，则 U=Y，V=X，从而 E(UV)=E(XY) 由于 X和 Y相互独立，所以 E(UV)=E(XY)=EX.EY8.设(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 =XY 不相关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.E(X)=E(Y)B.E(X 2 )一E(X) 2 =E(Y 2 )一E(Y) 2 C.E(X 2 )=E(Y 2 )D.E(X 2 )+E(X) 2 =E(Y 2 )+E(Y) 2 解析：解析：=X+Y 与 =X-Y 不相关的充分必要条件是 cov(
12、，)=0，即 COV(X+Y，XY)=cov(X，X)一 cov(X，Y)+cov(Y，X)-cov(Y，Y)=DXDY=0， 从而 DX=DY，又 DX=E(X 2 )一(EX) 2 ，DY=E(Y 2 )一(EY) 2 ，从而应选 B二、填空题(总题数：1，分数：2.00)9.设随机变量 X与 Y相互独立，且 EX= 1 ，EY= 2 ，DX= 1 2 ，DY= 2 2 ，则 COV(XY，X)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2 ）解析：解析：COV(XY，X)=E(XYX)-E(XY).EX=E(X 2 Y)一 EX.E(XY)， 因为随机变量 X与 Y相
13、互独立，所以 cov(XY，X)=E(X 2 )EY-EX.EX.EY=DX+(EX) 2 EY-(EX) 2 .EY =( 1 2 + 1 2 ) 2 - 1 2 2 = 2 1 2 三、解答题(总题数：15，分数：30.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3件合格品和 3件次品，乙箱中装有 3件合格品从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后，求(1)乙箱中次品件数的数学期望；(2)从乙箱中任取 1件产品是次品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 X表示乙箱中次品件数，则 X可能取
14、值为 0，1，2，3， )解析：解析：考查离散型随机变量的分布和数学期望由已知条件，容易得到次品件数的分布，再利用分布计算期望12.已知随机变量 X的概率分布为 PX=k= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：概率分布已知，利用公式直接计算13.一汽车沿街道行驶，需要经过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯均为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等以 X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数(1)求 X的概率分布；(2)求 E( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)X 的可能取值为 0，1，2，3设 A i 表示“汽车在第 i
15、个路口遇到红灯”，则PX=0=P(A 1 )= ，PX=1= (2) )解析：解析：这是一道“有限几何分布”的应用题关键是建立 X的概率分布，再利用分布求其数字特征14.设试验成功的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：本题考查计算数学期望的方法和计算能力由已知条件，可以得到 X的概率分布，直接利用分布计算注意到由于是独立重复试验，考虑能否将 X分解，从而简化计算15.连续进行某项试验，每次试验只有成功和失败两个结果，设当第 k次成功时，第 k+1次试验成功的概率为 ，当第 k次失败时，第 k+1次试验成功的概率为 ，且第一次试验成功与失败的概率均为（分数：2.00
16、）_正确答案：(正确答案：X 可能取的值为 1，2，PX=1= 设 A k 表示第 k次试验成功，当k2 时，X 的分布律为 )解析：16.一民航送客车载有 20名乘客自机场开出，旅客有 10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，假设每位旅客在各个车站下车的可能性相同，且各个旅客是否下车相互独立，求停车次数 X的数学期望（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：引入随机变量，令 X i = i=1，2，10从而 X=X 1 +X 10 ， 又 PX i =0= )解析：解析：本题考查将实际问题提炼为概率模型的能力由于是独立重复试验，每次试验仅有两个结果，即下车或不下车，因此可以引
17、入(0 一 1)分布表示17.某产品的次品率为 01，检验员每天检验 4次每次随机地取 10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于 1，就去调整设备以 X表示一天中调整设备的次数，且诸产品是否为次品是相互独立的，求E(X)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：引入随机变量 X i ，i=1，2，3，4。设 X i = )解析：18.设随机变量 X在-1，2上服从均匀分布，随机变量 Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：考查随机变量函数的方差的计算由已知条件，Y 为离散型随机变量，可以求出其概率分布Y 取各值的概率由 X取值计算，而 X服从的是均匀分布，可以利用几
18、何型概率计算概率19.设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由已知条件，关于 X的概率分布为 )解析：解析：考查二维离散型随机变量的数字特征，分布已知，可以直接利用计算公式求解20.设二维随机变量(X，Y)在矩形域 D=(x，y)0x2，0y1上服从均匀分布(如图 4一 1)，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 41所示， )解析：解析：本题考查二维离散型随机变量的相关系数的计算由已知条件，(U，V)的概率分布容易获得，可以先求出其概率分布，再利用公式计算注意到(X，Y)在 D上服从均匀分布，因此可以利用几何型概率来简化
19、计算21.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 - + f(x)dx=1，得 2a+6c+2b=1， 由 EX= - + xf(x)dx=2，得4a+28c+9b=3， )解析：解析：本题考查连续型随机变量的三个核心问题，即概率分布、概率和数字特征，直接利用它们的性质得到关于 a，b，c 的方程组，计算可得 a，b，c 的值22.设随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.在数轴上的区间0，a内任意独立地选取两点 M与 N，求线段 MN长度的数学期望（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设两点的坐标分别为 X，Y，则(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= 如图 42所示，所求 E(XY)= )解析：24.设随机变量 X 1 ，X 2 均在(0，1)上服从均匀分布，且相互独立，X=max(X 1 ，X 2 )，Y=min(X 1 ，X 2 )，求 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，E(X+Y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知道(X 1 ，X 2 )的概率密度为 )解析：
