1、考研数学二（概率论与数理统计）-试卷 5及答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：1，分数：2.00)1.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(， 2 ， 2 ，0)，则 E(XY 2 )= 1，E(X+Y) 2 = 2。（分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：21，分数：42.00)2.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_3.设 X和 Y是相互独立的且均服从正态分布 N(0， （分数：2.00）_4.设 X 1 和 X 2 是相互独立的且均服从正态分布 N(，)的随机变量，求 E(max(X 1 ，X 2 )（分数：
2、2.00）_5.设随机变量 X和 Y相互独立，且均服从参数为 1的指数分布，记 U=max(X，Y)，V=min(X，Y) (1)求V的概率密度 f V (v)；(2)E(U+V)，E(UV)（分数：2.00）_6.设(X，Y)在区域 D=(x，y)1x3，1y3上服从均匀分布，事件 A=Xa，B=Ya(1)若P(AB)= （分数：2.00）_7.随机变量 X的概率密度为 f(x)= 对 X独立重复地观察 4次，用 Y表示观察值大于 （分数：2.00）_8.设 X服从 N(1，4)，Y 服从 N(2，9)，且 X与 Y相互独立，如果 （分数：2.00）_9.设随机变量 X 3 ，X 2 ，X
3、3 相互独立，其中 X 1 在0，6上服从均匀分布，X 2 服从 N(0，4)，X 3 服从参数为 =3 的泊松分布，记 Y=X 1 -2X 2 +3X 3 ，求 D(Y)（分数：2.00）_10.设 (x)表示标准正态分布函数，随机变量 X的分布函数 F(x)= （分数：2.00）_11.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 E(X)=E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X，Y)=12，求(X，Y)的概率密度（分数：2.00）_12.已知随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N(1，3 2 )和 N(0，4 2 )，且 X与 Y的相关系数 XY = （分数：2.00）
4、_13.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)相互独立同分布，且期望均为 ，方差均为 2 ( 2 0)，令 （分数：2.00）_14.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立，且均服从 N(0，1)，记 （分数：2.00）_15.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n2)的期望都为 0，方差都为 1，且任意两个的相关系数都为 ，设 U=X 1 +X 2 +X n ，Y=X n+1 +X n+2 +X 2n ，求 U和 V的相关系数 XY 。（分数：2.00）_16.已知 X与 Y服从相同的分布，且 PX=Y=0，X 的概率分布为 （分数：2.00）_17.设 A
5、和 B为两个随机事件，定义随机变量 （分数：2.00）_18.对于任意二事件 A，B，0P(A)1，0P(B)1，定义 A与 B的相关系数为 （分数：2.00）_19.设 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_20.设某种商品每周的需求量 X是服从区间10，30上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间10，30中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利 500元；若供大于求则削价处理，每处理 1单位商品亏损 100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每 1单位商品仅获利 300元为使商店所获利润期望值不少于 9 280元，试确定最少进货量（分数：2.00）_21.设自动生产线
6、加工的某种零件的内径 X(单位：mm)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10mm或大于12mm为不合格品，其余为合格品销售合格品获利，销售不合格品亏损，已知一个零件的销售利润 T元与 X有如下关系：T= （分数：2.00）_22.假设一部机器在一天内发生故障的概率为 02，机器发生故障时全天停止工作若一周 5个工作日无故障，可获利 10万元；发生一次故障仍可获利 5万元；发生二次故障所获利润 O元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2万元，求一周内期望利润是多少?（分数：2.00）_考研数学二（概率论与数理统计）-试卷 5答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：1
7、，分数：2.00)1.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(， 2 ， 2 ，0)，则 E(XY 2 )= 1，E(X+Y) 2 = 2。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2 + 3 ，2 2 +4 2 ）解析：解析：由于(X，Y)服从正态分布 N(， 2 ， 2 ，0)， 所以 X服从 N(， 2 )，Y 也服从 N(， 2 )， 而 =0，所以 X与 Y是相互独立的 因此 E(XY 2 )=E(X).E(Y 2 )=E(X)D(Y)+(EY) 2 =( 2 + 2 )= 2 + 3 E(X+Y) 2 =E(X 2 +2XY+Y 2 )=E(X 2 )+2E(X)
8、E(Y)+E(Y 2 ) =D(X)+E(X) 2 +2E(X)E(Y)+D(Y)+E(Y) 2 = 2 + 2 +2 2 + 2 + 2 =2 2 +4 2 二、解答题(总题数：21，分数：42.00)2.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：3.设 X和 Y是相互独立的且均服从正态分布 N(0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X和 Y是相互独立的且均服从正态分布 N(0， )的随机变量， 所以T=XY服从 N(0，1)，其概率密度为 )解析：解析：本题考查独立条件下正态分布的性质及其函数的期望的计算需要先判断 X-Y的概率分布，然后再选择
9、恰当的公式计算4.设 X 1 和 X 2 是相互独立的且均服从正态分布 N(，)的随机变量，求 E(max(X 1 ，X 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X 1 ，X 2 的分布函数为 F(x)，Z=maxX 1 ，X 2 ，则 f Z (x)=2F(x)d(x)， )解析：5.设随机变量 X和 Y相互独立，且均服从参数为 1的指数分布，记 U=max(X，Y)，V=min(X，Y) (1)求V的概率密度 f V (v)；(2)E(U+V)，E(UV)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X和 Y相互独立，都服从参数为 1的指数分布，所以 E(X)=E(Y)=1，
10、且 X的分布函数为 (1)设 V的分布函数为 F min (v)，则 F min (v)=1一1-F(v) 2 =1=e -2v ，v0 故f V (v)= )解析：解析：本题考查独立同分布条件下最大值和最小值的分布先写出 V的分布函数，再求导得到其概率密度注意到 U+V=X+Y，UV=XY，利用性质和指数分布期望的结果得到 E(U+V)，E(UV)6.设(X，Y)在区域 D=(x，y)1x3，1y3上服从均匀分布，事件 A=Xa，B=Ya(1)若P(AB)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：本题考查将问题提炼为几何型概率和伯努利概率模型的能力首先利用加法公式求出常数
11、a，而 D 0 为事件 AB 所占的区域，随机地向 D投点 4次，因此该试验是 4次伯努利试验，由于 Z为落入D 0 内的次数，因此意识到 Z服从 B(4，P(AB)，进而可利用方差的计算公式求出 E(Z 2 )7.随机变量 X的概率密度为 f(x)= 对 X独立重复地观察 4次，用 Y表示观察值大于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：本题仍然是考查常用分布之二项分布的数字特征对 X独立重复地观察 4次，用 Y表示观察值大于8.设 X服从 N(1，4)，Y 服从 N(2，9)，且 X与 Y相互独立，如果 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知，E(X)=1，D
12、(X)=4，E(Y)=2，D(Y)=9， 由于 X与 Y相互独立，所以 )解析：解析：考查正态分布的数字特征根据期望和方差的运算性质或独立条件下正态分布的性质求出a，b9.设随机变量 X 3 ，X 2 ，X 3 相互独立，其中 X 1 在0，6上服从均匀分布，X 2 服从 N(0，4)，X 3 服从参数为 =3 的泊松分布，记 Y=X 1 -2X 2 +3X 3 ，求 D(Y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件，D(X 1 )= )解析：10.设 (x)表示标准正态分布函数，随机变量 X的分布函数 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)F(+)=1，有
13、a+b=1 (2)以 (x)表示标准正态分布的概率密度，则 E(x)= - + xdF(x)= - + xa(x)+b(x 一 1)dx =a - + x(x)dx+b - + x(x 一 1)dx 注意到 - + x(x)dx=0，从而有 E(x)=b - + x(x 一 1)dx=b - + (x一 1+1)(x一 1)dx =b - + (x一 1)(x 一 1)dx+b - + (x1)dx 令 x一 1=t，有 E(x)=b - + t(t)dt+b - + (t)dt =b0+b1=b)解析：解析：考查分布函数的性质和计算数学期望的方法由于 X的分布已知，可以利用公式结合分布的性质
14、出 E(X)11.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 E(X)=E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X，Y)=12，求(X，Y)的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：本题考查二维正态分布的参数含义和概率密度的形式，将参数代入到概率密度表达式可得到概率密度的具体形式12.已知随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N(1，3 2 )和 N(0，4 2 )，且 X与 Y的相关系数 XY = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：综合考查正态分布，二维正态分布的关系和数字特征利用数字特征的性质直接求出 E(Z)，D(Z)和 X
15、Y 判断 X与 Z是否相互独立则需要利用正态分布的性质13.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)相互独立同分布，且期望均为 ，方差均为 2 ( 2 0)，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：本题考查正确使用公式和性质计算数字特征的能力及 X i 与 的关系，是基本问题 中含有 X i ，因此 14.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立，且均服从 N(0，1)，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n2)的期望都为 0，方差都为 1，且任意两个的相关系数都为 ，设 U=X
16、1 +X 2 +X n ，Y=X n+1 +X n+2 +X 2n ，求 U和 V的相关系数 XY 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.已知 X与 Y服从相同的分布，且 PX=Y=0，X 的概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)根据已知条件，知(X，Y)的概率分布为 )解析：17.设 A和 B为两个随机事件，定义随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 P(A)=P 1 ，P(B)=P 2 ，P(AB)=P 12 ，则有 E(X)=2P 1 1，E(Y)=2P 2 1，E(XY)=4P 12 -2P 1 一 2P 2 +1， COY(
17、X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=4(P 12 一 P 1 P 2 ) X 与 Y不相关 )解析：解析：本题考查不相关与独立性的判断严格按照定义证明18.对于任意二事件 A，B，0P(A)1，0P(B)1，定义 A与 B的相关系数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：本题考查建立事件与随机变量联系的能力，题中给出事件相关系数的定义式，要求利用随机变量相关系数的性质证 AB 1，因此引入(0 一 1)分布，将事件 A，B 与随机变量建立起关系式19.设 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)E(X)= =2，从而 D(X)=E
18、(X 2 )一(EX) 2 =2 (2)cov(X，X)=E(XX)一 E(X)E(X)=E(XX)= =0，从而 X与X不相关 (3)对于给定的实数 a0，显然事件x1 )解析：解析：本题考查二个随机变量的协方差及相关性的概念，相关性与独立性的关系由于分布已知，可以利用公式计算数字特征20.设某种商品每周的需求量 X是服从区间10，30上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间10，30中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利 500元；若供大于求则削价处理，每处理 1单位商品亏损 100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每 1单位商品仅获利 300元为使商店所获利润期望值不少于
19、9 280元，试确定最少进货量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设进货量为 t，利润为 L=L(t)，则 )解析：解析：考查利用期望解决实际问题的能力，关键要建立起利润函数的表达式再求解21.设自动生产线加工的某种零件的内径 X(单位：mm)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10mm或大于12mm为不合格品，其余为合格品销售合格品获利，销售不合格品亏损，已知一个零件的销售利润 T元与 X有如下关系：T= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 X服从正态分布 N(，1)，所以 X- 服从 N(0，1)，于是 )解析：22.假设一部机器在一天内发生故障的概率为 02，机器发生故障时全天停止工作若一周 5个工作日无故障，可获利 10万元；发生一次故障仍可获利 5万元；发生二次故障所获利润 O元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2万元，求一周内期望利润是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X表示一周 5天内机器发生故障的天数，Y 表示利润， 则 Y= )解析：
