1、考研数学二（概率论与数理统计）-试卷 6及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B，C 是同一个试验的随机事件，则事件(AB)(A （分数：2.00）A.ABB.ABC.ABD.3.设 A和 B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是( )（分数：2.00）A.不相容B.相容C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A一 B)=P(A)4.对于任意两个随机事件 A和 B，则( )（分数：2.00）A.如果 ABB.如果 ABC.如
2、果 AB=D.如果 AB=5.设 A为随机事件，且 P(A)=1，则对于任意的随机事件 B，必有( )（分数：2.00）A.P(AB)=P(B)B.P(A一 B)=P(B)C.P(B一 A)=P(B)D.P(AB)=P(B)6.设随机事件 A，B 满足 P(A)=P(B)= （分数：2.00）A.AB=nB.AB=C.P(D.P(AB)=07.设 A和 B为随机事件，则 P(AB)=P(A)一 P(B)成立的充要条件是( )（分数：2.00）A.BB.A=BC.P(B一 A)=0D.P(A8.设 A、B 是两个随机事件，且 P(CAB)=1，则正确的是( )（分数：2.00）A.P(C)P(A
3、)+P(B)一 1B.P(C)=P(AB)C.P(C)=P(AB)D.P(C)P(A)+P(B)一 19.设 0P(A)1，0P(B)1，P(AB)+P( （分数：2.00）A.事件 A和 B互不相容B.事件 A和 B互相对立C.事件 A和 B互不独立D.事件 A和 B相互独立10.已知 A，B，C 三个事件中，A 与 B相互独立，且 P(C)=0，则事件 （分数：2.00）A.相互独立B.两两独立，但不一定相互独立C.不一定两两独立D.一定不两两独立11.设 A，B，C 是三个相互独立的随机事件，且 P(A)0，0P(C)1则在下列给定的四对事件中不一定相互独立的是( ) （分数：2.00）
4、A.B.C.D.12.进行一系列独立重复试验，假设每次试验的成功率为 p(0p1)，则在试验成功 2次前已经失败 3次的概率为( )（分数：2.00）A.4p 2 (1-p) 3 B.4p(1-p) 3 C.10p 2 (1-p) 3 D.p 2 (1-p) 3 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)13.已知 A，B 是任意两个随机事件，则 p=P(AB)(A （分数：2.00）填空项 1:_14.随机地向半圆 0y (a0)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与 x轴夹角小于 （分数：2.00）填空项 1:_15.设两两相互独立的三事件 A，B 和
5、 C满足条件：ABC= ，且已知 P(ABC)= （分数：2.00）填空项 1:_16.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取 2件，已知 2件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 A，B，C 是三个随机事件，且 P(A)=04，P(B)=06，P(C)=05，又 A （分数：2.00）填空项 1:_18.某人向同一个目标进行独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p，此人第 4次射击恰好第 2次命中目标的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
6、步骤。（分数：2.00）_20.某批产品中有口件正品，6 件次品(1)用放回抽样方式从中抽取 n(na+b)件产品，问其中恰有k(kn)件次品的概率 p 1 ；(2)用不放回抽样方式从中抽取 n件产品，问其中恰有 k(kn)件次品的概率p 2 ；(3)依次将产品一件件取出，求第 k次取出正品的概率 p 3 （分数：2.00）_21.在随机地抛掷两枚骰子的试验中，求两枚骰子点数之和为 6的结果出现在点数之和为 8的结果之前的概率（分数：2.00）_22.将 n只球(1 一 n号)随机地放人 n只盒子(1 一 n号)中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对求至少有一个配对
7、的概率（分数：2.00）_23.设(x，y)是平面区域 D=(x，y)x1，y1上的随机点求关于 t的方程 t 2 +xt+y=0有两个正实根的概率（分数：2.00）_24.设有三个事件 A，B，C，其中 0P(B)1，0P(C)1，且事件 B与事件 C相互独立，证明：P(AB)=P(ABC)P(C)+P(AB （分数：2.00）_25.三门炮同时独立地对同一个目标进行炮击，各发射一发炮弹，第一、二、三门炮击中目标的概率分别为 04，05，07，目标中 1，2，3 弹被击毁的概率分别为 02，06，08(1)求炮击后目标被击毁的概率 p；(2)已知目标被击毁，求目标中 2弹的概率 q（分数：2
8、.00）_26.设有 8只球，其中自球和黑球各 4只，从中任取 4只放人甲盒，余下的 4只放入乙盒，然后分别在两盒中任取 1只球，颜色正好相同试问放人甲盒的 4只球中有几只白球的概率最大?（分数：2.00）_27.设有来自三个地区各 10名，15 名，25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3价，7 份，5份随机地取出一个地区的报名表，从中先后抽取两份(1)求先抽到的一份是女生表的概率 p；(2)已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q（分数：2.00）_28.有 30个零件，其中 20个一等品，10 个二等品，随机地取 3个，安装在一台设备上，若 3个零件中有i(i=
9、0，1，2，3)个二等品，则该设备的使用寿命(单位：年)服从参数为 =i+1 的指数分布，试求：(1)设备寿命超过 1年的概率；(2)若已知在该设备上的两个零件安装后使用寿命超过 1年，则安装在该设备上的 3个零件均为二等品的概率（分数：2.00）_29.在电源电压不超过 200伏，在 200240伏和超过 240伏三种情形下某种电子元件损坏的概率分别为01，0001 和 02，假设电源电压 X服从正态分布 N(220，25 2 )，求(1)该电子元件损坏的概率；(2)该电子元件损坏时，电源电压在 200240 伏的概率（分数：2.00）_考研数学二（概率论与数理统计）-试卷 6答案解析(总分
10、：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B，C 是同一个试验的随机事件，则事件(AB)(A （分数：2.00）A.ABB.ABC.AB D.解析：解析： 注：化简数学式子主要从两个角度着手，一是简化形式，二是简化结果注意事件的运算满足交换律、结合律、分配律，德.摩根律和吸收律把握这些特征，有利于化简复杂事件3.设 A和 B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是( )（分数：2.00）A.不相容B.相容C.P(AB)=P(A)P(B)D.
11、P(A一 B)=P(A) 解析：解析：由图 11，显然(A)不成立，由图 1一 2，选项(B)不成立 又 AB= ，故 P(AB)=0，而P(A)P(B)0，选项(C)不正确4.对于任意两个随机事件 A和 B，则( )（分数：2.00）A.如果 ABB.如果 AB C.如果 AB=D.如果 AB=解析：解析：一般地，随机事件互不相容与相互独立之间没有必然联系，如果 0P(A)1，0P(B)1， 且 A和 B相互独立，则 0P(AB)=P(A)P(B)1，则 AB 反之，如果 AB5.设 A为随机事件，且 P(A)=1，则对于任意的随机事件 B，必有( )（分数：2.00）A.P(AB)=P(B
12、)B.P(A一 B)=P(B)C.P(B一 A)=P(B)D.P(AB)=P(B) 解析：解析：因为 A AB，P(A)=1，从而 P(AB)=1，而 B为任意事件，所以选项(A)不正确； 又P(A一 B)= =1一 P(B)，所以选项(B)不正确； P(BA)=6.设随机事件 A，B 满足 P(A)=P(B)= （分数：2.00）A.AB=nB.AB=C.P( D.P(AB)=0解析：解析：由加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)，P(AB)=1 得 P(AB)=0 P(AB)=1，不能说明AB=，故选项(A)不正确； 同样 P(AB)=0，也不能说明 AB= ，故选项(B)
13、不正确； P(A 一 B)=P(A)一P(AB)= ，所以选项(D)不正确； 而7.设 A和 B为随机事件，则 P(AB)=P(A)一 P(B)成立的充要条件是( )（分数：2.00）A.BB.A=BC.P(B一 A)=0 D.P(A解析：解析：因为 P(AB)=P(AAB)=P(A)一 P(AB)，而 P(AB)=P(A)一 P(B)，从而 P(AB)=P(A)一 P(B)成立的充要条件是 P(AB)=P(B) 又 P(BA)=P(BAB)=P(B)一 P(AB)=0，可得 P(AB)=P(B)，因此应选 C8.设 A、B 是两个随机事件，且 P(CAB)=1，则正确的是( )（分数：2.0
14、0）A.P(C)P(A)+P(B)一 1B.P(C)=P(AB)C.P(C)=P(AB)D.P(C)P(A)+P(B)一 1 解析：解析：因为 P(CAB)= =1，从而 P(ABC)=P(AB)， 由加法公式 P(AB)=P(A)+P(8)一 P(AB)P(A)+P(B)一 1， 又 ABC9.设 0P(A)1，0P(B)1，P(AB)+P( （分数：2.00）A.事件 A和 B互不相容B.事件 A和 B互相对立C.事件 A和 B互不独立D.事件 A和 B相互独立 解析：解析：10.已知 A，B，C 三个事件中，A 与 B相互独立，且 P(C)=0，则事件 （分数：2.00）A.相互独立 B
15、.两两独立，但不一定相互独立C.不一定两两独立D.一定不两两独立解析：解析：P(ABC)=P(AB)P(C)=P(A)P(B)P(C)，从而事件 A，B，C 相互独立，由独立性结论，事件11.设 A，B，C 是三个相互独立的随机事件，且 P(A)0，0P(C)1则在下列给定的四对事件中不一定相互独立的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：事实上， ，因此应选 B 注：由已知条件，只能得到 是不一定相互独立的，而不能确定 一定不独立，事实上如果 P(12.进行一系列独立重复试验，假设每次试验的成功率为 p(0p1)，则在试验成功 2次前已经失败 3次的概率为( )（分数：2.
16、00）A.4p 2 (1-p) 3 B.4p(1-p) 3 C.10p 2 (1-p) 3 D.p 2 (1-p) 3 解析：解析：考查独立重复试验事件的概率，事件“在试验成功 2次前已经失败 3次”是指“试验进行 5次，第 5次是第 2次成功”，相当于事件“第 5次成功，前 4次成功 1次” 由于是独立重复试验，故所求概率为 C 4 1 p(1-p) 3 p=4p 2 (1-p) 3 ，应选 A二、填空题(总题数：6，分数：12.00)13.已知 A，B 是任意两个随机事件，则 p=P(AB)(A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题考查随机事件的概率
17、，关键是综合运用事件的关系和运算律化简事件14.随机地向半圆 0y (a0)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与 x轴夹角小于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 A表示事件“原点与该点的连线与 x轴夹角小于 ”，如图 14所示，事件 A对应图中区域 D，则 P(A)=15.设两两相互独立的三事件 A，B 和 C满足条件：ABC= ，且已知 P(ABC)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取 2件，已知 2件中有一件是不合格品，则
18、另一件也是不合格品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题考查条件概率的识别和计算，由于事件发生有先后顺序，因此是条件概率关键是要清楚先发生的事件的内涵，即“任取 2件产品，已知 2件中有一件是不合格品”是指“所取 2件产品至少有一件是不合格品” 设 A表示事件“2 件产品中有一件是不合格品”，B 表示“另一件也是不合格品”，则所求概率为17.设 A，B，C 是三个随机事件，且 P(A)=04，P(B)=06，P(C)=05，又 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：18.某人向同一个目标进行独立重复射击，每
19、次射击命中目标的概率为 p，此人第 4次射击恰好第 2次命中目标的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：05）解析：解析：试验是独立重复试验，某人第 4次射击恰好第 2次命中是指“在前 3次射击中命中 1次，第4次射击恰好是第 2次命中” 由已知条件，所求概率为 q=C 3 1 p(1-p) 2 p=3p 2 (1-p) 2 = ， 故 p(1-p)= 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.某批产品中有口件正品，6 件次品(1)用放回抽样方式从中抽取 n(na+b)件产品，问其中
20、恰有k(kn)件次品的概率 p 1 ；(2)用不放回抽样方式从中抽取 n件产品，问其中恰有 k(kn)件次品的概率p 2 ；(3)依次将产品一件件取出，求第 k次取出正品的概率 p 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：这是古典型概率问题，样本空间可以作不同的设计，但必须满足等可能性的要求21.在随机地抛掷两枚骰子的试验中，求两枚骰子点数之和为 6的结果出现在点数之和为 8的结果之前的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由古典型概率，“两枚点数之和为 6”的概率为 ，“出现点数之和为 6或8”的概率为 由事件的独立性，所求概率为 p= )解析：解析：设 A i
21、 表示在“前 i一 1次试验中既不出现点数之和为 6，也不出现点数之和为 8，而第 i次试验出现点数之和为 6的结果”i=1，2，A 表示“两枚骰子点数之和为 6的结果出现在点数之和为8的结果之前”，则 A 1 ，A 2 ，A i ，两两互不相容，且 A= 22.将 n只球(1 一 n号)随机地放人 n只盒子(1 一 n号)中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对求至少有一个配对的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A i 表示“第 i号球配对”，i=1，2，以 B表示“至少有一个配对”， )解析：解析：这是古典型概率的基本问题，所讨论的事件比较复杂，可
22、以用简单事件的关系表示该事件，再利用加法公式计算23.设(x，y)是平面区域 D=(x，y)x1，y1上的随机点求关于 t的方程 t 2 +xt+y=0有两个正实根的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设平面区域 A=(x，y)0y ，一 1x0，则当随机点(x，y)A 时，方程 t 2 +xt+y=0有两个正实根，由几何型概率可得所求概率为 )解析：解析：这是典型的几何型概率问题，如图 1一 3所示，样本空间对应的区域为区域D=(x，y)x1，y1，方程 t 2 +xt+y=0有两个正实根的充要条件是=x 2 4y0，其根 t= ，x0，y0计算区域的面积之比即为所求事件的概率 2
23、4.设有三个事件 A，B，C，其中 0P(B)1，0P(C)1，且事件 B与事件 C相互独立，证明：P(AB)=P(ABC)P(C)+P(AB （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为事件 B与事件 C相互独立，从而事件 B与事件 也相互独立，且 )解析：解析：本题考查事件的独立性和条件概率计算公式，直接证明即可25.三门炮同时独立地对同一个目标进行炮击，各发射一发炮弹，第一、二、三门炮击中目标的概率分别为 04，05，07，目标中 1，2，3 弹被击毁的概率分别为 02，06，08(1)求炮击后目标被击毁的概率 p；(2)已知目标被击毁，求目标中 2弹的概率 q（分数：2.00）_正确
24、答案：(正确答案：(1)设 A表示事件“目标被击毁”，B i 表示事件“目标中 i弹(i=0，1，2，3)”，由事件的独立性，有 P(B 0 )=(1一 04)(1 一 05)(1 一 07)=009， P(B 1 )=04(105)(107)+(104)05(107) +(1 一 04)(1 一 05)07=036， P(B 2 )=0405(1 一 07)+04(1 一 05)07 +(1 一 04)0507=041， P(B 3 )=040507=014 由已知，有 P(AB 0 )-0，P(AB 1 )=02，P(AB 2 )=06，P(AB 3 )=08 根据全概率公式，有 p=P(
25、A)= P(B i )P(AB i ) =0009+03602+04106+01408=043 (2)根据贝叶斯公式，有 q=P(B 2 A)= )解析：解析：随机试验分为两个阶段，炮击后目标可能没有中弹，或被击中 1弹、2 弹、3 弹，目标是否被击毁的概率由所中炮弹个数决定，考虑用全概率公式26.设有 8只球，其中自球和黑球各 4只，从中任取 4只放人甲盒，余下的 4只放入乙盒，然后分别在两盒中任取 1只球，颜色正好相同试问放人甲盒的 4只球中有几只白球的概率最大?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A表示“在两盒中任取 1只球，颜色正好相同”，B i 表示“甲盒中有i(i=0，1
26、，2，3，4)只白球”，则有 )解析：解析：本题所讨论的是在事件“在两盒中任取 1只球，颜色正好相同”发生的条件下第一次随机试验的各个结果发生的概率，考虑使用贝叶斯公式第一次随机试验的结果用 B i 表示，即设 B i 表示“甲盒中有 i(i=0，1，2，3，4)只白球”27.设有来自三个地区各 10名，15 名，25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3价，7 份，5份随机地取出一个地区的报名表，从中先后抽取两份(1)求先抽到的一份是女生表的概率 p；(2)已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由全概率公式，得 )解析
27、：解析：随机试验分为两个阶段，先要抽取一个地区，再在所抽取的地区中先后抽取两份报名表，第二阶段的结果由第一阶段试验结果所决定，因此考虑使用全概率公式进行计算可以设 B i 表示“报名表是第 i个地区考生的”i=1，2，3P(E)= 28.有 30个零件，其中 20个一等品，10 个二等品，随机地取 3个，安装在一台设备上，若 3个零件中有i(i=0，1，2，3)个二等品，则该设备的使用寿命(单位：年)服从参数为 =i+1 的指数分布，试求：(1)设备寿命超过 1年的概率；(2)若已知在该设备上的两个零件安装后使用寿命超过 1年，则安装在该设备上的 3个零件均为二等品的概率（分数：2.00）_正
28、确答案：(正确答案：设 B i 表示“3 个零件中有 i个是二等品”(i=0，1，2，3)，令 A表示“设备的寿命超过 1年”，以 X表示“设备的使用寿命”)解析：解析：设备的使用寿命受所取零件中所含二等品的个数影响，所含二等品的个数有四种情况，可以设 B i 表示“3 个零件中有 i(i=0，1，2，3)个是二等品”，作为完备事件组，利用全概率公式和贝叶斯公式计算所求概率 (1) P(AB 0 )=PX1B 0 = 1 + edx=e -1 同理可求 P(AB 1 )=e -2 ，P(AB 2 )=e -3 ，P(AB 3 )=e -4 从而 P(A)=0281e -1 +0222e -2
29、+0222e -3 +0275e -4 01495 (2)由贝叶斯公式，所求概率为 P(B 3 A)= 29.在电源电压不超过 200伏，在 200240伏和超过 240伏三种情形下某种电子元件损坏的概率分别为01，0001 和 02，假设电源电压 X服从正态分布 N(220，25 2 )，求(1)该电子元件损坏的概率；(2)该电子元件损坏时，电源电压在 200240 伏的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 1 表示“电源电压不超过 200伏”；A 2 表示“电压在 200240伏”；A 3 表示“电压超过 240伏”；B 表示“电子元件榻坏” )解析：解析：电源电压的三种情形决定电子元件损坏的概率，将其作为完备事件组，用全概率公式正态分布计算概率利用标准正态分布计算
