1、考研数学二（特征向量与特征值，相似，对角化）模拟试卷 1及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A是 n阶非零矩阵，E 是 n阶单位矩阵，若 A 3 =0，则( )（分数：2.00）A.E-A不可逆，E+A 不可逆B.E-A不可逆，E+A 可逆C.E-A可逆，E+A 可逆D.E-A可逆，E+A 不可逆二、填空题(总题数：6，分数：12.00)3.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_4.设 3阶矩阵 A的特
2、征值为 2，3，如果2A=-48，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_5.A是 3阶矩阵，特征值为 1，2，2则4A -1 -E= 1（分数：2.00）填空项 1:_6.计算行列式 （分数：2.00）填空项 1:_7.计算 （分数：2.00）填空项 1:_8.计算行列式 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.如果 n阶矩阵 A的秩 r(A)1，(n1)，则 A的特征值为 0，0，0，tr(A)（分数：2.00）_11.设 ， 都是 n维列向量时，证明 T 的特征值为 0，0，
3、0， T 如果 不是零向量，则 是 T 的特征向量，特征值为 T （分数：2.00）_12.如果两个 n阶矩阵 A，B 中有一个可逆，则 AB和 BA相似（分数：2.00）_13.已知 =(1，1，-1) T 是 A= （分数：2.00）_14.已知 = 是可逆矩阵 A= （分数：2.00）_15.设 3阶矩阵 A有 3个特征向量 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，-2，1) T ， 3 =(-2，-1，2) T ，它们的特征值依次为 1，2，3，求 A（分数：2.00）_16.设 3阶矩阵 A有 3个特征向量 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，4) T ， 3 =(1，3
4、，9) T ，它们的特征值依次为 1，2，3又设 =(1，1，3) T ，求 A n （分数：2.00）_17.求 A= （分数：2.00）_18.求 A的特征值 （分数：2.00）_19.设 （分数：2.00）_20.A是 2阶矩阵，2 维列向量 1 ， 2 线性无关，A 1 = 1 + 2 ，A 2 =4 1 + 2 求 A的特征值和A（分数：2.00）_21.设 3阶矩阵 A的各行元素之和都为 2，又 1 =(1，2，2) T 和 2 =(0，2，1) T 分别是(A-E)X=0的(A+E)X=0 的解 (1)求 A的特征值与特征向量 (2)求矩阵 A（分数：2.00）_22.A为三阶实
5、对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：2.00）_23.设 4阶矩阵 A满足 A 3 =A (1)证明 A的特征值不能为 0，1，和-1 以外的数 (2)如果 A还满足A+2E=8，确定 A的特征值（分数：2.00）_24.已知 3阶矩阵 A满足A+E=A-E=4E-2A=0，求A 3 -5A 2 （分数：2.00）_25.设 =(1，2，-1) 2 ，=(-2，1，-2) 2 ，A=E- T 求A 2 -2A+2E（分数：2.00）_26.设 =(1，0，-1) T ，A= T ，求aE-A n （分数：2.00）_27.计算 （分数：2.00）_28.已知 n阶矩阵 A满足 A 3 =E
6、(1)证明 A 2 -2A-3E可逆 (2)证明 A 2 +A+2E可逆（分数：2.00）_考研数学二（特征向量与特征值，相似，对角化）模拟试卷 1答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A是 n阶非零矩阵，E 是 n阶单位矩阵，若 A 3 =0，则( )（分数：2.00）A.E-A不可逆，E+A 不可逆B.E-A不可逆，E+A 可逆C.E-A可逆，E+A 可逆 D.E-A可逆，E+A 不可逆解析：解析：因为 A 3 =0，所以 A的特征值满足 3
7、=0则 A的特征值都是 01 和-1 都不是 A的特征值，因此 E-A和 E+A都可逆二、填空题(总题数：6，分数：12.00)3.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：-3）填空项 1:_ （正确答案：-2）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：4.设 3阶矩阵 A的特征值为 2，3，如果2A=-48，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：5.A是 3阶矩阵，特征值为 1，2，2则4A -1 -E= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：A -1 的特征值
8、为 1，12，124A -1 -E的特征值为 3，1，1，4A -1 -E=3.6.计算行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 3 (4+x)）解析：7.计算 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 1 x 2 x 3 x 4 +a 1 b 1 x 2 x 3 x 4 +a 2 b 2 x 1 x 3 x 4 +a 3 b 3 x 1 x 2 x 4 +a 4 b 4 x 1 x 2 x 3）解析：8.计算行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4+4a+2b-4c-2d）解析：三、解答题(总题数：20，分数：40.00)
9、9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.如果 n阶矩阵 A的秩 r(A)1，(n1)，则 A的特征值为 0，0，0，tr(A)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)n，所以 0是 A的特征值，特征值 O的重数n-r(A)n-1即 A的特征值中至少有 n-1个是 0另外一个特征值为 tr(A)解析：11.设 ， 都是 n维列向量时，证明 T 的特征值为 0，0，0， T 如果 不是零向量，则 是 T 的特征向量，特征值为 T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 用上例的结论r( T )1，因此 T 的特征值为0，0，0，t
10、r( T ) 设 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b n ) T ，则 T 的对角线元素为 a 1 b 1 ，a 2 b 2 ，a n b n ，于是 tr( T )=a 1 b 1 +a 2 b 2 +a n b n = T 方法二 记 A= T ，则 A 2 = T T =( T )A，于是根据定理 52 的推论，A的特征值都满足等式 2 =( T )A，即只可能是 0和 T 如果 T =0，则 A的特征值都是 0 如果 T 0，则根据定理 53 的，A 的所有特征值之和为 tr(A)= T ，它们一定是 n-1个为 0，一个为 T 仍记 A= T ，则
11、A= T =( T )，因此则 是 A的特征向量，特征值为 T )解析：12.如果两个 n阶矩阵 A，B 中有一个可逆，则 AB和 BA相似（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 A可逆，则 A -1 (AB)A=BA，因此 AB和 BA相似)解析：13.已知 =(1，1，-1) T 是 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A=，得 )解析：14.已知 = 是可逆矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A可逆知 也是 A的特征向量有 A= 0 于是可如同上题，求出 a，b和 0 而 = A 0 )解析：15.设 3阶矩阵 A有 3个特征向量 1 =(
12、1，2，2) T ， 2 =(2，-2，1) T ， 3 =(-2，-1，2) T ，它们的特征值依次为 1，2，3，求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：建立矩阵方程 A( 1 ， 2 ，73)=( 1 ，2 2 ，3 3 )，用初等变换法求解： ( 1 ， 2 ， 3 ) T ( 1 ， 2 ， 3 ) T ) 得 )解析：16.设 3阶矩阵 A有 3个特征向量 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，4) T ， 3 =(1，3，9) T ，它们的特征值依次为 1，2，3又设 =(1，1，3) T ，求 A n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 表示为 1 ，
13、 2 ， 3 线性组合，即解方程 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =， )解析：17.求 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)特征值的计算 可按常规方法计算特征值：求出 A的特征多项式，求其根得特征值但本题可利用特征值的性质很容易求出特征值 r(A)=1，tr(A)=4利用特征值的性质直接可得到 A的特征值为 0，0，0，4 (不用性质，也可这样计算：r(A)=1，即 r(A-0E)=1，于是 0是 A的特征值，并且其重数 k4-r(A)=3即 A的 4个特征值中至少有 3个为 0于是第 4个特征值为 tr(A)=4) (2)求特征向量 属于 0的特征向量是 AX=0
14、的非零解 AX=0和 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =0同解得AX=0的一个基础解系 1 =(1，-1，0，0) T ， 2 =(1，0，-1，0) T ， 3 =(1，0，0，-1) T 属于 0的特征向量的一般形式为 c 1 1 +c 2 2 +c 3 3 ，c 1 ，c 2 ，c 3 不全为 0 属于 4的特征向量是(A-4E)X=0 的非零解 得(A-4E)X=0 的同解方程组 )解析：18.求 A的特征值 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A+3E 就是一个秩为 1的矩阵了，于是 A=A+3E-3E，用定理 55 的，就容易求特征值了 A= -3E )解析：19.设
15、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征多项式 )解析：20.A是 2阶矩阵，2 维列向量 1 ， 2 线性无关，A 1 = 1 + 2 ，A 2 =4 1 + 2 求 A的特征值和A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一先找 A的特征向量由于 1 ， 2 线性无关，每个 2维向量都可以用它们线性表示于是 A的特征向量应是 1 ， 2 的非零线性组合 c 1 1 +c 2 2 ，由于从条件看出 1 不是特征向量，c 2 不能为 0，不妨将其定为 1，即设 =c 1 + 2 是 A的特征向量，特征值为 ，则 A=， A=A(c 1 + 2 )=c( 1 + 2 )+4 1
16、+ 2 =(c+4) 1 +(c+1) 2 ， 则 (c+4) 1 +(c+1) 2 =(c 1 +)， 得 c+4=c，c+1=解得 c=2或-2，对应的特征值 分别为3，-1A=-3 方法二 A( 1 ，)=( 1 + 2 ，4 1 + 2 )，用矩阵分解法，得 ( 1 + 2 ，4 1 + 2 )=( 1 ， 2 ) 记 B= ，则 A( 1 ， 2 )=( 1 ， 2 )B 由于 1 ， 2 线性无关，( 1 ， 2 )是可逆矩阵，于是 A相似于 B A 和 B的特征值一样 E-B= )解析：21.设 3阶矩阵 A的各行元素之和都为 2，又 1 =(1，2，2) T 和 2 =(0，2
17、，1) T 分别是(A-E)X=0的(A+E)X=0 的解 (1)求 A的特征值与特征向量 (2)求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 1 =(1，2，2) T 是(A-E)X=0 的解，即 A 1 = 1 ，于是 1 是 A的特征向量，特征值为 1 同理得 2 是 A的特征向量，特征值为-1 记 3 =(1，1，1) T ，由于 A的各行元素之和都为 2，A 3 =(2，2，2) T =2 3 ，即 3 也是 A的特征向量，特征值为 2 于是 A的特征值为 1，-1，2 属于 1的特征向量为 c 1 ，c0 属于-1 的特征向量为 c 2 ，c0 属于2的特征向量为 c
18、 3 ，c0 (2)建立矩阵方程 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ，- 2 ，2 3 )，用初等变换法解得 )解析：22.A为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由条件得 A(1，2，-1) T =(-3，-6，3)，A(1，0，1) T =(3，0，3)，说明(1，2，-1) T 和(1，0，1) T 都是 A的特征向量，特征值分别为-3 和 3 A 的秩为 2维数 3，于是 0也是 A的特征值 A 的特征值为-3，3，0 属于-3 的特征向量为 c(1，2，-1) T ，c0 属于 3的特征向量为 c(1，0，1) T ，c0 属于 0
19、的特征向量和(1，2，-1) T ，(1，0，1) T 都正交，即是方程组的非零解，解出属于 0的特征向量为：c(-1，1，1) T ，c0 (2)利用 A的 3个特征向量，建立矩阵方程求 A 用初等变换法解得 )解析：23.设 4阶矩阵 A满足 A 3 =A (1)证明 A的特征值不能为 0，1，和-1 以外的数 (2)如果 A还满足A+2E=8，确定 A的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由于 A 3 =A，A 的特征值 满足 3 =A，从而 只能为 0，1 或-1(但并非0，1，-1 都一定是 A的特征值!) (2)由 A的特征值不是 0，1，-1 外的数，得知 A+
20、2E的特征值不是2，3，1 之外的数又由于A+2E=8，必有 A+2E的特征值为 2，2，2，1，从而 A的特征值为0，0，0，-1)解析：24.已知 3阶矩阵 A满足A+E=A-E=4E-2A=0，求A 3 -5A 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：条件说明-1，1，2 是 A的特征值 得出 A 3 -5A 2 的 3个特征值：记 f(x)=x 3 -5x 2 ，则 A 3 -5A 2 的 3个特征值为 f(-1)=-6，f(1)=-4，f(2)=-12 A 3 -5A 2 =(-4)(-6)(-12)=-288)解析：25.设 =(1，2，-1) 2 ，=(-2，1，-2) 2
21、 ，A=E- T 求A 2 -2A+2E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用特征值计算 T =2，于是 T 的特征值为 0，0，2，从而 A的特征值为 1，1，=1，A 2 -2A+2E的特征值为 1，1，5于是A 2 2A+2E=115=5)解析：26.设 =(1，0，-1) T ，A= T ，求aE-A n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用 A容易计算其方幂，求出矩阵 aE-A n 后再计算行列式 A n =( T ) n =( T ) n-1 A=2 n-1 aE-A n = )解析：27.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记矩阵 则所求为AA=B+c
22、E，而 B= )解析：28.已知 n阶矩阵 A满足 A 3 =E (1)证明 A 2 -2A-3E可逆 (2)证明 A 2 +A+2E可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：通过特征值来证明，矩阵可逆的充要条件是 0不是它的特征值 由于 A 3 =E，A的特征值都满足 3 =1 (1)A 2 -2A-3E=(A-3E)(A+E)，3 和-1 都不满足 3 =1，因此都不是 A的特征值于是(A-3E)和(A+E)都可逆，从而 A 2 -2A-3E可逆 (2)设 A的全体特征值为 1 ， 2 ， n ，则 A 2 +A+2E的特征值 i 2 + i +2，i=1，2，n 由于 i 3 =1， i 或者为 1，或者满足 i 2 + i +1=0于是 i 2 + i +2或者为 4，或者为 1，总之都不是 0因此 A 2 +A+2E可逆)解析：
