1、考研数学二（特征向量与特征值，相似，对角化）模拟试卷 2及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.A是 4阶实对称矩阵，A 2 +2A=0，r(A)=3，则 A相似于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：2，分数：4.00)3.A是 3阶矩阵，它的特征值互不相等，并且A=0，则 r(A)= 1（分数：2.00）填空项 1:_4.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：46.00)5.解答
2、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_6.设 是 n维非零列向量，记 A=E- T 证明 T 1 （分数：2.00）_7.设 n阶矩阵 A满足 A 4 +2A 3 -5A 2 +2A+5E=0证明 A-2E可逆（分数：2.00）_8.设 A= （分数：2.00）_9.设 A和 B都是可相似对角化的 n阶矩阵，证明 A和 B相似 （分数：2.00）_10.证明 3阶矩阵 A= （分数：2.00）_11.已知 3阶矩阵 A= （分数：2.00）_12.设 A为 3阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性的无关 3维列向量组，满足 A 1 = 1 +2 2 +2 3 ，A 2 =
3、2 1 + 2 +2 3 ，A 3 =2 1 +2 2 + 3 (1)求 A的特征值 (2)判断 A是否相似于对角矩阵?（分数：2.00）_13.A= （分数：2.00）_14.已知 A= （分数：2.00）_15.设 A= （分数：2.00）_16.已知 A= （分数：2.00）_17.设 ， 都是 n维非零列向量，A= T 证明：A 相似于对角矩阵 （分数：2.00）_18.设 A为 3阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3维列向量组，满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 (1)求作矩阵 B，使得 A( 1 ， 2 ， 3
4、)=( 1 ， 2 ， 3 )B (2)求 A的特征值 (3)求作可逆矩阵 P，使得 P -1 AP为对角矩阵（分数：2.00）_19.已知 n阶矩阵 A满足(A-aE)(A-bE)=0，其中 ab，证明 A可对角化（分数：2.00）_20.A是 n阶矩阵，数 ab证明下面 3个断言互相等价： (1)(A-aE)(A-bE)=0 (2)r(A-aE)+r(A-bE)=n (3)A 相似于对角矩阵，并且特征值满足(-a)(-b)=0（分数：2.00）_21.构造正交矩阵 Q，使得 Q T AQ是对角矩阵 （分数：2.00）_22.设 3阶实对称矩阵 A的各行元素之和都为 3，向量 1 =(-1，
5、2，-1) T ， 2 =(0，-1，1) T 都是齐次线性方程组 AX=0的解 (1)求 A的特征值和特征向量 (2)求作正交矩阵 Q和对角矩阵 ，使得 Q T AQ=A (3)求 A及A-(32)E 6 （分数：2.00）_23.A= ，正交矩阵 Q使得 Q T AQ是对角矩阵，并且 Q的第 1列为 （分数：2.00）_24.设 3阶实对称矩阵 A的特征值为 1，2，3， 1 =(-1，-1，1) T 和 2 =(1，-2，-1) T 分别是属于1和 2的特征向量，求属于 3的特征向量，并且求 A（分数：2.00）_25.3阶实对称矩阵 A的特征值为 1，2，-2， 1 =(1，-1，1)
6、 T 是 A的属于 1的特征向量记 B=A 5 -4A 3 +E (1)求 B的特征值和特征向量 (2)求 B（分数：2.00）_26.设 是一个 n维非零实列向量构造 n阶实对称矩阵 A，使得它的秩=1，并且 是 A的特征向量，特征值为非零实数 A（分数：2.00）_27.设 B是 3阶实对称矩阵，特征值为 1，1，-2，并且 =(1，-1，1) T 是 B的特征向量，特征值为-2求 B（分数：2.00）_考研数学二（特征向量与特征值，相似，对角化）模拟试卷 2答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一
7、个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.A是 4阶实对称矩阵，A 2 +2A=0，r(A)=3，则 A相似于( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：用排除法 由于 A 2 +2A=0，A 的特征值满足 2 +2=0，因此只可能是 0或-2于是和它相似的矩阵的特征值也只可能是 0或-2(A)(B)中的矩阵的特征值中都有 2因此不可能相似于 A，都可排除 又 r(A)=3，和它相似的矩阵的秩也应该是 3，(C)中矩阵的秩为 2，也可排除二、填空题(总题数：2，分数：4.00)3.A是 3阶矩阵，它的特征值互不相等，并且A=0，则 r(A)= 1（分数：2.00）填空项 1
8、:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：A 的特征值互不相等，因此相似于对角矩阵，并且对角线上的元素就是 A的特征值，为 3个互不相等数其中有一个为 0(因为A=0)，则 r(A)=24.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：A 的特征值为 6，6，-2 1 =(1，2，0) T ， 2 =(0，0，1) T 都是属于 6的特征向量； 3 =(1，-2，0) T 是属于-2 的特征向量 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，则 P -1 AP= 三、解答题(总题数：23，分数：46.00)5.解答题解答应写出文字说
9、明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：6.设 是 n维非零列向量，记 A=E- T 证明 T 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： T 的特征值为 0，0， T ，于是 A的特征值为 1，1，1- T 再用定理 51 的推论的，A 可逆 0不是 A的特征值 )解析：7.设 n阶矩阵 A满足 A 4 +2A 3 -5A 2 +2A+5E=0证明 A-2E可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A-2E 可逆 )解析：8.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题可先求出 B+2E(先求 A * ，再求 B，再求 B+2E)，然后求它的特征值与特征向量，这
10、样做计算量大一个简捷的解法是利用特征值与特征向量的性质来计算 求特征值 A=C+E，其中 则 C的特征值为 0，0，6，从而 A的特征值为 1，1，7A=117=7 根据定理 55的，A * 的特征值为 7，7，1 BA * ，从而 B和 A * 特征值完全一样，也是 7，7，1 B+2E 的特征值为 9，9，3 求特征向量 A * 与 A的对应特征值(指 1与 7，7 与 1)的特征向量一样，B+2E 与 B对应特征值(指 7与 9，1 与 3)的特征向量也一样，根据定理 58 的，A * = )解析：9.设 A和 B都是可相似对角化的 n阶矩阵，证明 A和 B相似 （分数：2.00）_正确
11、答案：(正确答案：“ ”是相似的重要性质 “ )解析：10.证明 3阶矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：证明它们的特征值相等，并且都相似于对角矩阵 (1)先说明特征值相等 A=C+E，其中 则 C的秩为 1，从而特征值为 0，0，3于是 A的特征值为 1，1，4 B 是上三角矩阵，特征值就是对角线上的元素，也是 1，1，4 (2)再说明它们都相似于对角矩阵 A 是实对称矩阵，因此相似于对角矩阵 用判断法则二，要说明 B是相似于对角矩阵，只要对二重特征值 1，说明 n-r(B-E)=2，而 n=3， 因此只要说明 r(B-E)=1 B-E= )解析：11.已知 3阶矩阵 A=
12、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)求 a A 的特征多项式为 =(-2)( 2 -8+18+3a) 要使得它有二重根，有两种可能的情况： 2 是二重根，即 2是 2 -8+18+3a 的根，即 4-16+18+3a=0，求出 a=-2，此时三个特征值为 2，2，6 2 是一重根，则 2 -8+18+3a 有二重根， 2 -8+18+3a=(-4) 2 ，求出 a=-23此时三个特征值为 2，4，4 (2)讨论 A是否相似于对角矩阵 当 a=-2时，对二重特征值 2，考察 3-r(A-2E)是否为 2 7即 r(A-2E)是否为 1 A-2E= ，r(A-2E)=1，此时 A可相
13、似对角化 当 a=-23 时，对二重特征值 4，考察 3-r(A-4E)是否为 2!即 r(A-4E)是否为 1 A-4E= )解析：12.设 A为 3阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性的无关 3维列向量组，满足 A 1 = 1 +2 2 +2 3 ，A 2 =2 1 + 2 +2 3 ，A 3 =2 1 +2 2 + 3 (1)求 A的特征值 (2)判断 A是否相似于对角矩阵?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)用矩阵分解： A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 +2 2 +2 3 ，2 1 + 2 +2 3 ，2 1 +2 2 + 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )B， 这里
14、 从 1 ， 2 ， 3 线性无关的条件知道，( 1 ， 2 ， 3 )是可逆矩阵于是 A相似于 B (1)B= -E )解析：13.A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： A的特征值 0，5，b 如果 b0 和 5，则 A的特征值两两不同，A 相似于对角矩阵 如果 b=0，则 A的特征值 0，0，5 此时 A相似于对角矩阵 特征值 0的重数2=3-r(A) r(A)=1 a=0 于是：a=0 且 b=0时 A相似于对角矩阵；a0 且 b=0时 A不相似于对角矩阵； 如果 b=5，则 A的特征值 0，5，5 此时 )解析：14.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(
15、1)A 与 B相似，从而有相同的特征值 2，2，y 2 是二重特征值，于是 r(A-2E)=1 A-2E= 得 x=5 A 与 B相似从而 tr(A)=tr(B)，于是 1+4+5=2+2+y得 y=6 (2)求属于 2的两个线性无关的特征向量：即求(A-2E)X=0 的基础解系： 得(A-2E)X=0 的同解方程组 x 1 =-x 2 +x 3 ， 得基础解系 1 =(1，-1，0) T ， 2 =(1，0，1) T 求属于 6的一个特征向量：即求(A-6E)X=0的一个非零解： 得(A-6E)X=0 的同解方程组 得解 3 =(1，-2，3) T 令 U=( 1 ， 2 ， 3 )，则 U
16、 -1 AU= )解析：15.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)求 A的特征值： E-A= =(-1)(+1) 2 于是 A的特征值为1(一重)和-1(二重) 要使 A可对角化，只需看特征值-1要满足 3-r(A+E)=2，即 r(A+E)=1， 得k=0， (2)求属于-1 的两个线性无关的特征向量，即求(A+E)X=0 的基础解系： 得(A+E)X=0 的同解方程组 2x 1 +x 2 -x 3 =0 得基础解系 1 =(1，0，2) T ， 2 =(0，1，1) T 求属于 1的一个特征向量，即求(A-E)X=0 的一个非零解： 得(A-E)X=0 的同解方程组
17、得解 3 =(1，0，1) T 令 U=( 1 ， 2 ， 3 )，则 U -1 AU= )解析：16.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)先求 A的特征值 E-A= =(-a-1) 2 (-a+2) A 的特征值为a+1(二重)和 a-2(一重) 求属于 a+1的两个线性无关的特征向量，即求A-(a+1)EX=0 的基础解系： 得A-(a+1)EX=0 的同解方程组 x 1 =x 2 +x 3 ， 得基础解系 1 =(1，l，0) T ， 2 =(1，0，1) T 求属于 a-2的一个特征向量，即求A-(a-2)EX=0 的一个非零解： 得A-(a-2)EX=0的同解
18、方程组 得解 3 =(-1，1，1) T 令 U=( 1 ， 2 ， 3 )，则 U -1 AU= )解析：17.设 ， 都是 n维非零列向量，A= T 证明：A 相似于对角矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征值为 0，0，0， T 由相似对角化的判别法则二，只用对重数大于 1的特征值 0，检查其重数是否等于 n-r(A-0E)=n-r(A)=n-1 当 T =0 时，0 的重数是 n，A 不能相似对角化 当 T 0 时，0 的重数是 n-1，A 可相似对角化)解析：18.设 A为 3阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3维列向量组，满足 A 1 = 1 + 2
19、+ 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 (1)求作矩阵 B，使得 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )B (2)求 A的特征值 (3)求作可逆矩阵 P，使得 P -1 AP为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)用矩阵分解求出 (2)由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，( 1 ， 2 ， 3 )是可逆矩阵，并且( 1 ， 2 ， 3 ) -1 A( 1 ， 2 ， 3 )=B，因此 A和 B相似，特征值相同 E-B= =(-1)( 2 -5+4)=(-1) 2 (-4) B 的特征值为 1，1，4A 的特征值也为 1，1，4 (3
20、)先把 B对角化求出 B的属于 1的两个线性无关的特征向量(1，-1，0) T ，(0，2，-1) T ；求出 B的属于 4的一个特征向量(0，1，1) T 构造矩阵 D -1 BD= 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )D=( 1 - 2 ，2 2 - 3 ， 2 + 3 )，则 P -1 AP=D -1 ( 1 ， 2 ， 3 ) -1 A( 1 ， 2 ， 3 )D=D -1 BD= )解析：19.已知 n阶矩阵 A满足(A-aE)(A-bE)=0，其中 ab，证明 A可对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先证明 A的特征值只能是 a或 b 设 是 A的特征值，则(-a)(-
21、b)=0，即 =a 或 =b 如果 b不是 A的特征值，则 A-bE可逆，于是由(A-aE)(A-bE)=0 推出 A-aE=0，即 A=aE是对角矩阵 如果 b是 A的特征值，则A-bE=0设 1 ， 2 ， t 是齐次方程组(A-bE)X=0的一个基础解系(这里 t=n-r(A-bE)，它们都是属于 b的特征向量取 A-bE的列向量组的一个最大无关组 1 ， 2 ， k ，这里 k=r(A-bE)则 1 ， 2 ， k 是属于 a的一组特征向量则有 A的 k+t=n个线性无关的特征向量组 1 ， 2 ， k ； 1 ， 2 ， t ，因此 A可对角化)解析：20.A是 n阶矩阵，数 ab证
22、明下面 3个断言互相等价： (1)(A-aE)(A-bE)=0 (2)r(A-aE)+r(A-bE)=n (3)A 相似于对角矩阵，并且特征值满足(-a)(-b)=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 a和 b都是 A的特征值(因为如果 a不是 A的特征值，则 3个断言都推出A=bE如果 b不是 A的特征值，则 3个断言都推出 A=aE) (1) (2) 用关于矩阵的秩的性质，由(A-aE)(A-bE)=0得到： r(A-aE)+r(A-bE)n， r(A-aE)+r(A-bE)r(A-aE)-(A-bE)=r(b-a)E)=n， 从而 r(A-aE)+r(A-bE)=n (2)
23、 (3) 记 k a ，k b 分别是 a，b 的重数，则有 k a n-r(A-aE) k b n-r(A-bE) 两式相加得 nk a +k b n-r(A-aE)+n-r(A-bE)=n，于是其中“”都为”=”，从而和都是等式，并且 k a +k b =n k a +k b =n，说明 A的特征值只有 a和 b，它们都满足(-a)(-b)=0 和都是等式，说明 A相似于对角矩阵 (3) )解析：21.构造正交矩阵 Q，使得 Q T AQ是对角矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)先求特征值 E-A= =(-2)(-6) A 的特征值为 0，2，6 再求单位正交特征向量组
24、属于 0的特征向量是齐次方程组 AX=0的非零解， 求得一个非零解为(1，1，-1) T ，单位化得 1 = (1，1，-1) T 属于 2的特征向量是齐次方程组(A-2E)X=0 的非零解， 得 AX=0的同解方程组 求得一个非零解为(1，-1，0) T ，单位化得 2 = (1，-1，0) T 属于 6的特征向量是齐次方程组(A-6E)X=0 的非零解， 得 AX=0的同解方程组 求得一个非零解为(1，1，2) T ，单位化得 3 = (1，1，2) T 作正交矩阵 Q=( 1 ， 2 ， 3 )，则 Q T AQ=Q -1 AQ= (2)先求特征值 E-A= =(-1) 2 (-10)
25、A的特征值为 1，1，10 再求单位正交特征向量组 属于 1的特征向量是齐次方程组(A-E)X=0 的非零解， 得(A-E)X=0 的同解方程组 x 1 +2x 2 -2x 3 =0， 显然 1 =(0，1，1) T 是一个解第 2个解取为 2 =(c，-1，1) T (保证了与 1 的正交性!)，代入方程求出 c=4，即 2 =(4，-1，1) T 令 1 = 1 1 = (0，1，1) T ， 2 是= 2 2 = (4，-1，1) T 再求出属于 10的特征向量是齐次方程组(A-10E)X=0 的非零解(1，2，-2) T ，令 3 = 3 3 =(1，2，-2) T 3 作正交矩阵 Q
26、=( 1 ， 2 ， 3 ) 则 Q T AQ=Q -1 AQ= )解析：22.设 3阶实对称矩阵 A的各行元素之和都为 3，向量 1 =(-1，2，-1) T ， 2 =(0，-1，1) T 都是齐次线性方程组 AX=0的解 (1)求 A的特征值和特征向量 (2)求作正交矩阵 Q和对角矩阵 ，使得 Q T AQ=A (3)求 A及A-(32)E 6 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)条件说明 A(1，1，1) T =(3，3，3) T ，即 0 =(1，1，1) T 是 A的特征向量，特征值为 3又 1 ， 2 都是 AX=0的解说明它们也都是 A的特征向量，特征值为 0由于
27、1 ， 2 线性无关，特征值 0的重数大于 1于是 A的特征值为 3，0，0 属于 3的特征向量：c 0 ，c0 属于 0的特征向量：c 1 1 +c 2 2 ，c 1 ，c 2 不都为 0 (2)将 0 单位化，得 0 = 对 1 ， 2 作施密特正交化，得 作 Q=( 0 ， 1 ， 2 )，则 Q是正交矩阵，并且 Q T AQ=Q -1 AQ= (3)建立矩阵方程 A( 0 ， 1 ， 2 )=(3 0 ，0，0)，用初等变换法求解：得 由 Q -1 AQ= 得 A=Q Q -1 于是 A-(32)E= )解析：23.A= ，正交矩阵 Q使得 Q T AQ是对角矩阵，并且 Q的第 1列为
28、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Q -1 AQ=Q T AQ是对角矩阵，说明 Q的列向量都是 A的特征向量，于是(1，2，1) T 也是 A的特征向量 (1，2，1) T 和(2，5+a，4+2a) T 相关，得 a=-1，并且(1，2，1) T 的特征值为 2 A的特征值为 2，5，-4下面来求它们的单位特征向量 1 = (1，2，1) T 是属于 2的单位特征向量 则(1，-1，1) T 是属于 5的特征向量，单位化得 2 = (1，-1，1) T 则(1，0，-1) T 是属于-4 的特征向量，单位化得 3 = )解析：24.设 3阶实对称矩阵 A的特征值为 1，2，3， 1
29、 =(-1，-1，1) T 和 2 =(1，-2，-1) T 分别是属于1和 2的特征向量，求属于 3的特征向量，并且求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：属于 3的特征向量和 1 ， 2 都正交，从而是齐次方程组 的非零解解此方程组，得 3 =(1，0，1) T 构成它的一个基础解系于是属于 3的特征向量应为(k，0，k) T ，k0 建立矩阵方程 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ，2 2 ，3 3 )，用初等变换法解得 )解析：25.3阶实对称矩阵 A的特征值为 1，2，-2， 1 =(1，-1，1) T 是 A的属于 1的特征向量记 B=A 5 -4A 3 +E (1)求
30、 B的特征值和特征向量 (2)求 B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)记 f(x)=x 5 -4x 3 +1，则 B的特征值为 f(1)=-2，f(2)=1，f(-2)=1 1 =(1，-1，1) T 是 A的属于 1的特征向量，则它也是 B的特征向量，特征值-2 B 的属于-2 的特征向量为 c 1 ，c0 B 也是实对称矩阵，因此 B的属于特征值 1的特征向量是与 1 正交的非零向量，即是 x 1 -x 2 +x 3 =0的非零解求出此方程的基础解系 2 =(1，1，0) T ， 3 =(0，1，1) T ，B 的属于特征值 1的特征向量为 c 1 2 +c 2 3 ，c 1
31、 ，c 2 不全为 0 (2)B( 1 ， 2 ， 3 )=(-2 1 ， 2 ， 3 )解此矩阵方程得 )解析：26.设 是一个 n维非零实列向量构造 n阶实对称矩阵 A，使得它的秩=1，并且 是 A的特征向量，特征值为非零实数 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： T 是 n阶实对称矩阵，秩为 1，并且 是 T 的特征向量，特征值为 T =(，)和题目要求只差在 的特征值上于是记 c=(，)，设 A=c T ，则 A是 n阶实对称矩阵，秩=1，并且 A=c T =c(，)=)解析：27.设 B是 3阶实对称矩阵，特征值为 1，1，-2，并且 =(1，-1，1) T 是 B的特征向量，特征值为-2求 B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A=B-E，则 A是 3阶实对称矩阵，特征值为 0，0，-3，因此秩为 1用上题的结论，可知 A=c T ，其中 c=-3(，)=-1，即 A=- T 于是 B=A+E=- T +E= )解析：
