1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化）-试卷1 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P 一 1 AP) T 属于特征值 的特征向量是( )（分数：2.00）A.P 一 1 B.P T C.PD.(P 一 1 ) T 3.已知 （分数：2.00）A.a=一 2，b=6B.a=2，b=一 6C.a=一 2，b=一 6D.a=2
2、，b=64.设矩阵 （分数：2.00）A.a=b=1B.a=b=一 1C.abD.a+b=05.设矩阵 （分数：2.00）A.2B.3C.4D.56.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =0， 3 =一 1，对应的特征向量分别为 1 , 2 , 3 ，记 P=( 3 ， 2 ， 1 )，则 P 一 1 AP=( )（分数：2.00）A.B.C.D.7.已知矩阵 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：11，分数：22.00)8.设 A 为 n 阶矩阵，A0，A * 为 A 的伴随矩阵层为 n 阶单位矩阵，若 A 有特征值 ，则(A * ) 2 +E 必有特征值 1（分
3、数：2.00）填空项 1:_9.设 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a，则 A 3 +3A 2 +2A+E 必有特征值 1.（分数：2.00）填空项 1:_10.若 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_11.已知向量 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A 为 2 阶矩阵， 1 ， 2 为线性无关的 2 维列向量，A 1 =0，A 2 =2 1 + 2 ，则 A 的非零特征值为 1.（分数：2.00）填空项 1:_13.设 3 维列向量 ， 满足 T =2，则 B T 的非零特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 3 阶方阵
4、 A=( 1 , 2 , 3 )的 3 个特征值各不相同，且 3 维列向量 1 , 2 , 3 满足 1 = 2 +2 3 ，则 r(A)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A=(a ij ) 33 =(b ij ) 33 ，且 A 相似于 B，A 的特征值为 1，2，3则 B 的伴随矩阵 B * 的迹trB * = 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 3 阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A * 为 A 的伴随矩阵，则矩阵 AA * 的全部特征值为 1，特征向量为 2.（分数：2.00）填空项 1:_18.设 1 ， 2 是 n
5、阶实对称矩阵 A 的两个不同特征值， 1 是属于 1 的单位特征向量，则矩阵A 1 1 1 1 必有两个特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：30.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_20.设矩阵 （分数：2.00）_设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b n ) T 都是非零向量，且满足条件 T =0记 n 阶矩阵 A= T ，试求：（分数：4.00）(1).A 2 ；（分数：2.00）_(2).矩阵 A 的特征值和特征向量（分数：2.00）_21.设矩阵 （分数：2.00）_22.设矩阵 （
6、分数：2.00）_23.设 3 阶矩阵 A 满足 A 2 3A+2E=O，且A=2，求矩阵 A 的全部特征值（分数：2.00）_24.设 A=E+ T ，其中 =( 1 , 2 , 3 ) T ，且 T =2，求 A 的特征值和特征向量（分数：2.00）_25.设 n 阶矩阵 （分数：2.00）_26.若矩阵 （分数：2.00）_27.设矩阵 （分数：2.00）_28.设矩阵 （分数：2.00）_29.设矩阵 （分数：2.00）_设矩阵 A 与 B 相似，且 （分数：4.00）(1).求 a，b 的值；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使 P 一 1 AP=B（分数：2.00）_30
7、.已知 （分数：2.00）_考研数学二（矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化）-试卷1 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P 一 1 AP) T 属于特征值 的特征向量是( )（分数：2.00）A.P 一 1 B.P T C.PD.(P 一 1 ) T 解析：解析：本题考查矩阵的特征值与特征向量的概念及性质由于(P 一 1 AP
8、)P=PA T (P -1 ) T P T =P T A(P T ) -1 P T =P T A=P T =P T 由特征值与特征向量的定义知(P 一 1 AP) T 属于特征值 A 的特征向量为 P T 因而应选 B3.已知 （分数：2.00）A.a=一 2，b=6 B.a=2，b=一 6C.a=一 2，b=一 6D.a=2，b=6解析：解析：本题考查特征值与特征向量的概念，用定义 Ax=x 直接求得由特征值与特征向量定义 得4.设矩阵 （分数：2.00）A.a=b=1B.a=b=一 1C.abD.a+b=0 解析：解析：本题考查用 A 的特征方程E-A=0 求特征值和 A 的 k 重特征值
9、对应 k 个线性无关的特征向量的充要条件是 r(A k E)=n 一 k 由 A 的特征方程 得 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =一 1，由于对应于不同特征值所对应的特征向量线性无关，所以当 A 有 3 个线性无关的特征向量时，对应于特征值 1 = 2 =1 应有两个线性无关的特征向量，从而 r(BA)=1，由 5.设矩阵 （分数：2.00）A.2B.3C.4 D.5解析：解析：本题考查相似矩阵的定义和性质以及矩阵的秩因 A 相似于 B，所以存在可逆矩阵 P，使A=PBP 一 1 从而 r(A 一 2E)+r(AE)=r(P 一 1 BP 一 2E)+r(P 一 1 BP-E)=rP
10、 一 1 (B 一 2E)P+rP 一 1 (BE)P=r(B 一 2E)+r(BE) 6.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =0， 3 =一 1，对应的特征向量分别为 1 , 2 , 3 ，记 P=( 3 ， 2 ， 1 )，则 P 一 1 AP=( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：本题考查相似对角矩阵的概念 注意相似变换矩阵 P 的列的顺序与其对应的特征值构成的对角矩阵 A 的列的顺序相同由于 A 1 =1 1 ，A 2 =0 2 ，A 3 =(-1) 3 ，所以 又由于 1 , 2 , 3 是不同的特征值对应的特征向量，所以 1 , 2 , 3 线性无关，
11、从而 P=( 3 , 2 , 1 )可逆 故 7.已知矩阵 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本题考查矩阵 B 相似于对角矩阵 A 的充分必要条件是对于 B 的 k 重特征值 k ，则有 r( k E-B)=nk 显然 二、填空题(总题数：11，分数：22.00)8.设 A 为 n 阶矩阵，A0，A * 为 A 的伴随矩阵层为 n 阶单位矩阵，若 A 有特征值 ，则(A * ) 2 +E 必有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题主要考查 A 的特征值和与 A 有关的矩阵的特征值之间的关系，要求考生掌握若 是 A的特征值，则 是 A
12、 * (A 的伴随矩阵)的特征值，()是 (A)的特征值其中 (A)是 A 的多项式矩阵，()是 的多项式由于 是 A 的特征值，所以 是 A * 的特征值从而(A * ) 2 +E必有特征值 9.设 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a，则 A 3 +3A 2 +2A+E 必有特征值 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 3 +3a 3 +2a+1）解析：解析：本题考查矩阵 A 的特征值的概念，若 是 A 的特征值，则 的多项式也是 A 的多项式矩阵的特征值 由于 10.若 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确
13、答案：正确答案：24）解析：解析：本题考查相似矩阵的性质、特征值的概念、性质及公式由矩阵 A 与 B 相似，知 A 与 B 有相同的特征值，因此 B 的特征值也为 11.已知向量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 或一 2）解析：解析：本题考查 A 与 A 一 1 的特征值、特征向量的关系设 是 A 一 1 的对应于 的特征值，则A 一 1 =，即 =A，亦即 12.设 A 为 2 阶矩阵， 1 ， 2 为线性无关的 2 维列向量，A 1 =0，A 2 =2 1 + 2 ，则 A 的非零特征值为 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解
14、析：本题考查矩阵特征值与特征向量的概念，相似矩阵的概念，矩阵与列向量组的关系 由于A( 1 ， 2 )=(A 1 ，A 2 )=(02 1 + 2 ) 令 则有 AP=PB，由于 1 ， 2 线性无关，从而 P=( 1 ， 2 )可逆，于是 P 一 1 AP=B，再由 13.设 3 维列向量 ， 满足 T =2，则 B T 的非零特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：本题考查特征值与特征向量的概念，用特征值与特征向量的定义求抽象矩阵的特征值因为 T =2，所以( T )=2，由定义得 2 是 T 的一个特征值，故应填 214.设 3 阶方阵 A=(
15、 1 , 2 , 3 )的 3 个特征值各不相同，且 3 维列向量 1 , 2 , 3 满足 1 = 2 +2 3 ，则 r(A)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：本题考查矩阵特征值的性质：A 不可逆，则 A 必有零特征值由于 1 = 2 +2 3 ，所以 1 , 2 , 3 线性相关，从而 A 不可逆，故 0 是 A 的一个特征值，又由于 A 的 3 个特征值各不相同，则 A 的另两个特征值必不为零，且 A 可相似对角矩阵，此对角矩阵主对线上元素是 A 的 3 个特征值，因此对角矩阵的秩为 2，从而 r(A)=215.设 A=(a ij ) 33
16、 =(b ij ) 33 ，且 A 相似于 B，A 的特征值为 1，2，3则 B 的伴随矩阵 B * 的迹trB * = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：11）解析：解析：本题考查矩阵迹的概念和特征值的性质由于 A 相似于 B，所以 B 的特征值为 1，2，3从而B=123=6，于是得 B * 的特征值为 16.设 3 阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：本题考查矩阵重特征值的重数与其对应线性无关特征向量的个数的关系 由于矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，所以矩阵 A 有 3 重特征值，设 是 A 的特征值所以有 3
17、=42+1，从而=1 于是17.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A * 为 A 的伴随矩阵，则矩阵 AA * 的全部特征值为 1，特征向量为 2.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：特征值为 =A，特征向量 k 1 e 1 +k 2 e 2 +k n e n ，其中 k 1 ,k 2 ,，k n 为 R n 的标准正交基，k 1 ,k 2 ,，k n 是不同时为零的任意常数）解析：解析：本题考查特征值与特征向量的概念和求法由于矩阵 A 可逆，故A0，又因为 AA * =AE，即得AA * 一AE=0，因此矩阵 AA * 的全部特征值为 =A，是 n 重特征值对于=A，EAA *
18、 =AEAE=O，显然任何一个非零的 n 维向量都是方程组(E 一 AA * )x=0的非零解，从而矩阵 AA * 的属于 =A的特征向量为 k 1 e 1 +k 2 e 2 +k n e n ，其中 e 1 ，e 2 ，e n 为 R n 中的标准正交基，k 1 ,k 2 ,，k n 是不同时为零的任意常数18.设 1 ， 2 是 n 阶实对称矩阵 A 的两个不同特征值， 1 是属于 1 的单位特征向量，则矩阵A 1 1 1 1 必有两个特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0， 2 ）解析：解析：本题考查矩阵 A 的特征值与特征向量的概念及用定义求特征值与特征
19、向量的求法 设 2 为矩阵 A 的属于 2 的特征向量，由于 2 ， 2 为 n 阶实对称矩阵 A 的两个不同特征值，则 1 T 2 =0又 1 为单位向量，则 1 T 1 =1 又(A 1 1 T 1 ) 1 =A 1 1 1 1 T 1 = 1 1 1 1 ( 1 T 1 ) = 1 1 1 1 =0 1 ，(A 1 1 T 1 ) 2 = 2 一 1 1 1 T 2 = 2 2 一 1 1 ( 1 T 2 ) = 2 2 0. 1 1 = 2 2 从而得 A 1 1 1 T 的两个特征值为 0， 2 故应填 0， 2 三、解答题(总题数：14，分数：30.00)19.解答题解答应写出文字
20、说明、证明过程或演算步骤。_解析：20.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于A=70，所以矩阵 A 的任一特征值 0 设 是 A 的属于 的一个特征向量，即 A=，故 是 A 一 1 的属于 的特征向量 又 A 一 1 =AA 一 1 ，故 是 A * 的属于 的特征向量 由 B=P 一 1 A * P，有 PBP 一 1 =A * 从而， )解析：解析：本题主要考查矩阵的特征值及特征向量的计算，并由 A 的特征值、特征向量计算与 A 有关的某些矩阵的特征值及特征向量本题主要有两种解法，一是先讨论矩阵 B 与 A 的特征值、特征向量之间的关系，经计算 A 的特征值、特征向量而
21、得到 B+2E 的特征值、特征向量；二是由 A 求 A * ，再求 B 及B+2E，从而算出 B+2E 的特征值、特征向量，后一方法由于要经过多次数字计算，中间稍有错误便前功尽弃设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b n ) T 都是非零向量，且满足条件 T =0记 n 阶矩阵 A= T ，试求：（分数：4.00）(1).A 2 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A= T 和 T =0，有 A 2 =AA=( T )( T )=( T ) T =( T ) T =( T ) T T =O，即 A 2 为 n 阶零矩阵)解析：解析：本题主要考查
22、矩阵的特征值与特征向量的求法和矩阵的运算利用矩阵乘法的结合律以及 T 为一数值易计算出 A 2 ，利用(1)的结论及特征值的定义即可求出 A 的特征值在求出了 A 的特征值之后，便可解出全部特征向量(2).矩阵 A 的特征值和特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 为 A 的任一特征值，A 的属于 的特征向量为 ，则 A=A，于是 A 2 =A=A 2 由(1)知，A 2 =O，故有 2 =0因为特征向量 0，所以 2 =0，即 =0，故矩阵 A 的特征值全为零不妨设向量 ， 的分量 a 1 0，b 1 0 对齐次线性方程组(0.E-A)x=0 的系数矩阵作初等行变换，得 )解析
23、：21.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于矩阵 A 可逆，故 A * 可逆 于是 0，A0在等式 A * = 两边同时左乘矩阵 A，得 )解析：解析：本题考查了矩阵的特征值和特征向量的概念和性质，也综合考查了伴随矩阵的概念和性质实际上由 A * = 两边左乘 A 就可得 22.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，可得 AA * =AE=一 E 和 A * = 0 ，于是 AA * =A( 0 )= 0 A 又 AA * =一 E=一 故 0 A=-，即 )解析：解析：本题主要考查矩阵特征值、特征向量的概念以及矩阵与其伴随矩阵之间的关系 题目中待求的参数
24、较多，若能转化为求方程组的解，问题可以解决由题设，知 A * = 0 ，又由公式 AA * =AE，可得 0 A=一 ，把问题转化为求解方程组 0 A=一 23.设 3 阶矩阵 A 满足 A 2 3A+2E=O，且A=2，求矩阵 A 的全部特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 为矩阵 A 的任意一个特征值， 为属于 的特征向量 所以 A=，于是 A 2 -3A+2=0， 即 2 一 3+2=0 亦即 (A 2 -3+2)=0， 而 a0，从而 2 一3+2=0， 于是，得 ( 一 1)(-2)=0 得 A 的特征值为 =1 或 =2 又A=20，故矩阵 A 的3 个特征值 1
25、 ， 2 ， 3 应满足 1 2 3 =2 因此 1 ， 2 ， 3 只能取 1 或 2，由此得 A 的特征值应为 1 = 2 =1， 3 =2)解析：解析：本题考查用矩阵特征值与特征向量的定义求抽象矩阵的特征值24.设 A=E+ T ，其中 =( 1 , 2 , 3 ) T ，且 T =2，求 A 的特征值和特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A=(E+ T )=+ T =3，于是得 A 的特征值 3 =3，其对应的特征向量为 k 1 ，k 1 0 为常数又由 A=E+ T ，得 AE= T ，两边取行列式A 一E= T =0，由此知 2 =1 是 A 的另一个特征值 再由
26、矩阵 A 的特征值的性质，trA= 1 + 2 + 3 =4+ 3 ，从而 3 =trA 一 4=3+ T -4=1 由于 2 = 3 =1，对应的特征矩阵为 A-E，由题设条件 =(a 1 ，a 2 ，a 3 ) T 0，不妨设 a 1 0，则 )解析：解析：本题考查抽象矩阵求特征值与特征向量的方法可用定义 Ax=x，特征方程EA=0，trA= 1 + 2 + 3 求 A 的特征值与特征向量25.设 n 阶矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 b=0 或 n=1 时，A=E，于是 A 的特征值为 1 = n =1，任意非零列向量均为特征向量；对任意 n 阶可逆矩阵 P，均有 P
27、 一 1 AP=E下面考虑 b0 且 n2 的情形 由 得 A的特征值为 =1+(n1)b，=1 一 b (1)对于 1 =1+(n 一 1)b，考虑齐次线性方程组( 1 E一 A)x=0，对 1 EA 施以初等行变换，得 解得基础解系为 1 =(1，1，1) T ，所以 A 的属于 1 的全部特征向量为 k 1 1 =k(1，1，1) T (k 1 为任意非零常数) 对于 2 = n =1 一 b，考虑齐次线性方程组( 2 E 一 A)x=0对 2 E-A 施以初等行变换，得 解得基础解系为 2 =(1，一 1，0，0) T ， n =(1，0，0，一 1) T ，故 A 的属于 2 的全部
28、特征向量为 k 2 2 +k 3 3 +k n n (k 2 ，k 3 ，k n 是不全为零的常数) (2)令 P=( 1 ， 2 ， n )，则 )解析：解析：本题主要考查含参数的矩阵的特征值、特征向量的计算问题计算过程中涉及行列式的计算、齐次线性方程组的求解以及矩阵对角化问题，因而是一道综合性较强的试题由矩阵 A 的特征多项式E 一 A，求出特征值，然后通过解齐次线性方程组(E 一 A)x=0，求特征向量，进而求出 P26.若矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A 的特征多项式为 故 A 的特征值为 1 = 2 =6， 3 =一 2 由于 A 相似于对角矩阵 A，故对应于
29、 1 = 2 =6 应有两个线性无关的特征向量 因此矩阵 6E 一 A 的秩应为 1 从而由 知 a=0于是对应于 1 = 2 =6 的两个线性无关的特征向量可取为 当 3 =一 2 时， 于是对应于 3 =一 2 的特征向量可取为 令 )解析：解析：本题主要考查矩阵可相似对角化问题和矩阵特征值与特征向量的计算利用矩阵可相似于对角矩阵的充要条件解此题27.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由E 一 A=0，求 A 的全部特征值 得 A 的特征值为 1 = 2 =一 1， 3 =1 (2)由(E 一 A)x=0，求 A 的特征向量 对于 1 = 2 =一 1，解线性方程组(
30、-E-A)x=0，有 要使矩阵 A 相似于对角矩阵，则对应于 1 = 2 =一 1，必有两个线性无关的特征向量，所以 r(-E-A)=32=1，从而有 k=0 于是当 k=0 时，有 得对应的两个线性无关的特征向量为 1 =(一 1，2，0) T ， 2 =(1，0，2) T 对于 3 =1，解线性方程组(E-A)x=0，有 得对应的线性无关的特征向量为 3 =(1，0，1) T 因此，当 k=0 时，存在可逆矩阵 )解析：解析：本题主要考查矩阵可相似对角化的问题，行列式的计算及特征值、特征向量的计算先求出矩阵 A 的特征值，只有当矩阵 A 有 3 个线性无关的特征向量时，A 才相似于对角矩阵
31、，即存在可逆矩阵P，使得 P 一 1 AP 为对角矩阵，其中 P 是以 A 的 3 个线性无关的特征向量构成的矩阵28.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 有 3 个线性无关的特征向量，=2 是 A 的二重特征值，所以 A 的属于 =2的线性无关的特征向量必有两个，故 r(2E 一 A)=1经过初等行变换，得 解得 x=2，y=一 2设 A的特征值为 1 ， 2 ， 3 ，且 1 = 2 =2，则 trA= 1 + 2 + 3 =2+2+ 3 =1+4+5=10，得 3 =6对于特征值 1 = 2 =2，解齐次线性方程组(2E-A)x=0，有 对应的两个线性无关的特征向
32、量为 1 =(1，一 1，0) T ， 2 =(1，0，1) T 对于特征值 3 =6，解齐次线性方程组(6EA)x=0，有 对应的特征向量为 3 =(1，一 2，3) T 令可逆矩阵 )解析：解析：本题主要考查矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件以及把一个矩阵化为对角矩阵的方法因为 A 有 3 个线性无关的特征向量，=2 是 A 的二重特征值，所以，A 对应于 =2 的线性无关的特征向量有两个，故 r(2E-A)=1对矩阵 2E-A 作适当的初等行变换，通过 r(2E-A)=1 确定出 x 和 y 的值，从而确定出 A再按现成的方法求可逆矩阵 P 使 P 一 1 AP 为对角形29.设矩阵 （分
33、数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A 的特征多项式为 若 =2 是特征方程的二重根，则有 2 2 一16+18+3a=0，解得 a=一 2 当 a=一 2 时，A 的特征值为 2，2，6，矩阵 的秩为 1，故 =2 对应的线性无关的特征向量有两个，从而 A 可相似对角化若 =2 不是特征方程的二重根，则 2 一8+18+3a 为完全平方数，从而 18+3a=16，解得 当 时，A 的特征值为 2，4，4，矩阵 )解析：解析：本题主要考查矩阵特征值、特征向量的求法及矩阵相似于一个对角矩阵的充分必要条件通过讨论矩阵特征方程二重根的情况以及对应的线性无关的特征向量的个数，从而决定矩阵 A
34、是否可以相似于对角矩阵设矩阵 A 与 B 相似，且 （分数：4.00）(1).求 a，b 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 )解析：解析：本题主要考查矩阵相似的性质及矩阵的特征向量的求法矩阵 A 与 B 相似，即它们有相同的特征多项式，由此可求出 a 和 b可逆矩阵 P 即为矩阵 A 的特征根 2 和 b 对应的特征向量构成的矩阵(2).求可逆矩阵 P，使 P 一 1 AP=B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 1 = 2 =2，可由方程组(2E 一 A)x=0，求得 A 的线性无关的特征向量为 1 =(1，一 1，0) T ， 2 =(1，0，1) T ，当 3 =6，可由方程组(6E 一 A)x=0，求得 A 的线性无关的特征向量为 3 =(1，一 2，3) T 令 )解析：30.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)据定义，有 A=，故 解之，得 =一 1，a=一 3，b=0 (2)据(1)，它的特征多项式 )解析：解析：设特征向量 所对应的特征值为 ，则(E 一 A)=0，这是一个含 ，a 和 b 的方程组，由此可解出 ，a 和 bA 能否相似于对角阵取决于 A 是否存在 3 个线性无关的特征向量，求出 A 的所有特征值并弄清有几个线性无关的特征向量即可判定
