1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 17 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A * 的特征值之一是( )（分数：2.00）A. 1 A n 。B. 1 A。C.A。D.A n 。3.设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵( A 2 ) 1 有特征值( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.已知 1 =(一 1，1，a，4) T ， 2 =(一 2，1，5，
2、a) T ， 3 =(a，2，10，1) T 是四阶方阵 A 的三个不同特征值对应的特征向量，则( )（分数：2.00）A.a5。B.a一 4。C.a一 3。D.a一 3 且 a一 4。5.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P 1 AP) T 属于特征值 的特征向量是( )（分数：2.00）A.P 1 。B.P T 。C.P。D.(P 1 ) T 。6.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 是 A T 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。B.若 是 A * 的特征向量，那么
3、是 A 的特征向量。C.若 是 A 2 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。D.若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。7.已知矩阵 A= ，那么下列矩阵中 （分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。8.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.已知 P 1 AP= （分数：2.00）A.( 1 ，一 2 ， 3 )。B.( 1 ， 2 + 3 ， 2 一 2 3 )。C.( 1 ， 3 ， 2 )。D.( 1 + 2 ， 1 一 2 ， 3 )。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:
4、_11.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_12.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 x 为三维单位列向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 Exx T 的秩为 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.已知 =(a，1，1) T 是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 为二阶矩阵， 1 ， 2 为线性无关的二维列向量，A 1 =0，A 2 =2 1 + 2 ，则 A 的非零特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.设 A
5、 是三阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1，2，如果特征值 0 和 1 对应的特征向量分别为 1 =(1，2，1) T ， 2 =(1，一 1，1) T ，则特征值 2 对应的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：30.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b n ) T 都是非零向量，且满足条件 T =0，记 n 阶矩阵 A= T 。（分数：4.00）(1).求 A 2 ；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A 的特征值和特征向量。（分数：2.00）_20.
6、设矩阵 （分数：2.00）_21.设 A 为正交矩阵，且A=一 1，证明：=一 1 是 A 的特征值。（分数：2.00）_22.设矩阵 A 与 B 相似，且 （分数：2.00）_设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 。（分数：4.00）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵尸使得 P 1 AP=A。（分数：2.00）_23.已知矩阵 A 与 B 相似，其中 （分数：2.00）_在某国，每年有比例为 p 的农村居民移居城镇，有比例为 q 的城
7、镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 x n 和 y n (x n +y n =1)。（分数：4.00）(1).求关系式 （分数：2.00）_(2).设目前农村人口与城镇人口相等，即 （分数：2.00）_24.已知 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=O，且秩 r(A)=2，求矩阵 A 的全部特征值，并求秩 r(A+E)。（分数：2.00）_设 A，B 为同阶方阵。（分数：6.00）(1).若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；（分数：2.00）_(2).举一个二阶方阵的
8、例子说明(I)的逆命题不成立；（分数：2.00）_(3).当 A，B 均为实对称矩阵时，证明(I)的逆命题成立。（分数：2.00）_25.设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(一 1，2，一 3) T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A。（分数：2.00）_考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 17 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00
9、）_解析：2.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A * 的特征值之一是( )（分数：2.00）A. 1 A n 。B. 1 A。 C.A。D.A n 。解析：解析：设向量 x(x0)是与 对应的特征向量，则 Ax=x。两边左乘 A * ，结合 A * A=AE 得 A * Ax=A * (x)， 即Ax=A * x， 从而 A * x= x， 可见 A * 有特征值 3.设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵( A 2 ) 1 有特征值( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 为 A 的非零特征值，所以 2 为 A 2 的特征
10、值， 为(A 2 ) 1 的特征值。因此( A 2 ) 1 的特征值为 3 4.已知 1 =(一 1，1，a，4) T ， 2 =(一 2，1，5，a) T ， 3 =(a，2，10，1) T 是四阶方阵 A 的三个不同特征值对应的特征向量，则( )（分数：2.00）A.a5。 B.a一 4。C.a一 3。D.a一 3 且 a一 4。解析：解析：矩阵 A 的不同特征值对应的特征向量必线性无关，所以 r( 1 ， 2 ， 3 )=3。由于 5.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P 1 AP) T 属于特征值 的特征
11、向量是( )（分数：2.00）A.P 1 。B.P T 。 C.P。D.(P 1 ) T 。解析：解析：设 是矩阵(P T AP) T 属于 的特征向量，并考虑到 A 为实对称矩阵 A T =A，有 (P 1 AP) T =，即 P T A(P 1 ) T =。 把四个选项中的向量逐一代入上式替换 ，同时考虑到A=，可得选项 B 正确，即 左端=P T A(P 1 ) T (P T )=P T A=P T =P T =右端。 所以应选 B。6.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 是 A T 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。B.若 是 A * 的特征向
12、量，那么 是 A 的特征向量。C.若 是 A 2 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。D.若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。 解析：解析：如果 是 2A 的特征向量，即(2A)=，那么 A= ，所以 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量。 由于(EA)x=0 与(EA T )x=0 不一定同解，所以 不一定是 A T 的特征向量。 例如 A= 7.已知矩阵 A= ，那么下列矩阵中 （分数：2.00）A.1。B.2。C.3。 D.4。解析：解析：二阶矩阵 A 有两个不同的特征值 1 和 3，因此 ，那么只要和矩阵 有相同的特征值，它就一定和 相似，也就一定与 A 相似。 和分别
13、是上三角和下三角矩阵，且特征值是 1 和 3，所以它们均与 A 相似，对于和，由8.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：选项 A 是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化。选项 B 是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化。 选项 C 是秩为 1 的矩阵，由EA= 3 一 4 2 ，可知矩阵的特征值是 4，0，0。对于二重根 =0，由秩 r(0E 一 A)=r(A)=1 可知齐次方程组(OE 一 A)x=0 的基础解系有 31=2 个线性无关的解向量，即 =0 时有两个线性无关的特征向
14、量，从而矩阵必可以相似对角化。 选项 D 是上三角矩阵，主对角线上的元素 1，1，一 1 就是矩阵的特征值，对于二重特征值 =1，由秩 9.已知 P 1 AP= （分数：2.00）A.( 1 ，一 2 ， 3 )。B.( 1 ， 2 + 3 ， 2 一 2 3 )。C.( 1 ， 3 ， 2 )。D.( 1 + 2 ， 1 一 2 ， 3 )。 解析：解析：由题意可得 A 1 =2 1 ，A 2 =6 2 ，A 3 =6 3 。 因 2 是属于特征值 =6的特征向量，所以一 2 也是属于特征值 =6 的特征向量，故选项 A 正确。同理，选项 B，C 也正确。 由于 1 ， 2 是属于不同特征值
15、的特征向量，所以 1 + 2 ， 1 一 2 均不是矩阵 A 的特征向量，故选项 D 一定错误。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 或*）解析：解析：EA= =( 一 2) 2 一 2 一 2(a 一 2)=0。 如果 =2 是二重根，则 =2是 2 一 2 一 2(a2)=0 的单根，故 a=2。 如果 2 一 2 一 2(a2)=0 是完全平方，则有=4+8(a 一 2)=0，满足 =1 是一个二重根，此时 a= 11.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_
16、（正确答案：2）解析：解析：因 A 有一个零特征值，所以A=2(a 一 1)=0，即 a=1。 A 的特征多项式为 EA= 12.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，7，7）解析：解析：由矩阵 A 的特征多项式 EA= =( 一 7)( 一 1) 2 可得矩阵 A 的特征值为7，1，1。所以A=711=7。 如果 A=，则有 A * = 13.设 x 为三维单位列向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 Exx T 的秩为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由题设知，矩阵 xx T 的特征值为 0，0，1，故 E 一 xx
17、T 的特征值为 1，1，0。又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即 r(Exx T )=2。14.已知 =(a，1，1) T 是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：设 是矩阵 A 1 属于特征值 的特征向量，则 A 1 =，即 =A，于是 解得 =一 15.设 A 为二阶矩阵， 1 ， 2 为线性无关的二维列向量，A 1 =0，A 2 =2 1 + 2 ，则 A 的非零特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题设条件，得 A( 1 ， 2 )=(A 1 ，A 2
18、)=( 1 ， 2 ) 。 记 P=( 1 ， 2 )，因 1 ， 2 线性无关，故 P=( 1 ， 2 )是可逆矩阵。由 AP= ， 可得 P 1 AP= ，则 A 与 B 相似，从而有相同的特征值。 因为 EB= 16.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：A 的特征多项式为 EA= 17.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：因为 EA= =( 一 2)( 一 3) 2 ， 所以矩阵 A 的特征值分别为 2，3，3。因为矩阵 A 和对角矩阵相似，所以对应于特征值 3 有两个线性无关
19、的特征向量，即(3E 一 A)x=0 有两个线性无关的解，因此矩阵 3EA 的秩为 1。 18.设 A 是三阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1，2，如果特征值 0 和 1 对应的特征向量分别为 1 =(1，2，1) T ， 2 =(1，一 1，1) T ，则特征值 2 对应的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t(一 1，0，1) T ，t0）解析：解析：设所求的特征向量为 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，故有 三、解答题(总题数：11，分数：30.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
20、算步骤。_解析：设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b n ) T 都是非零向量，且满足条件 T =0，记 n 阶矩阵 A= T 。（分数：4.00）(1).求 A 2 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 T =0 可知 与 正交，则 A 2 =( T )( T )=( T ) T =0。)解析：(2).求矩阵 A 的特征值和特征向量。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 为 A 的特征值，则 2 为 A 2 的特征值。因 A 2 =O，所以 A 2 的特征值全为零，故 =0， 即 A 的特征值全为零，于是方程组 Ax=0 的非零解就是
21、 A 的特征向量。不妨设 a 1 0，b 1 0，对 A 作初等行变换得 )解析：20.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 的特征值为 ，对应特征向量为 ，则有 A=。由于A=70，所以 0。 又因 A * A=AE，故有 A * = 。于是有 B(P 1 )=P 1 A * P(P 1 )= (P 1 )， (B+2E)P 1 =( +2)P 1 。 因此， +2 为 B+2E 的特征值，对应的特征向量为 P 1 。 由于EA= =( 一 1) 2 ( 一 7)， 故 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =7。 当 1 = 2 =1 时，对应的线性无关的两个特征向量
22、可取为 。 当 3 =7 时，对应的一个特征向量可取为 3 = 。 因此，B+2E 的三个特征值分别为 9，9，3。 对应于特征值 9 的全部特征向量为 k 1 P 1 1 +k 2 P 1 2 = ， ，其中 k 1 ，k 2 是不全为零的任意常数； 对应于特征值 3 的全部特征向量为 k 3 P 1 3 = )解析：21.设 A 为正交矩阵，且A=一 1，证明：=一 1 是 A 的特征值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要证 =一 1 是 A 的特征值，需证A+E=0。 因为A+E=A+A T A=(E+A T )A=E+A T A=一A+E，所以A+E=0，故 =一 1 是 A
23、 的特征值。)解析：22.设矩阵 A 与 B 相似，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB 有 于是得 a=5，b=6。 且由 AB，知 A 与 B 有相同的特征值，于是 A 的特征值是 1 = 2 =2， 3 =6。 当 =2 时，解齐次线性方程组(2E 一 A)x=0 得到基础解系为 1 =(1，一 1，0) T ， 2 =(1，0，1) T ，即属于 =2 的两个线性无关的特征向量。 当 =6 时，解齐次线性方程组(6EA)x=0，得到基础解系是(1，一 2，3) T ，即属于 =6 的特征向量。 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：设 A 为三阶矩阵， 1 ，
24、 2 ， 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 。（分数：4.00）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知可得 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 + 2 + 3 ，2 2 + 3 ，2 2 +3 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) ， 记 P 1 =( 1 ， 2 ， 3 )，B= ，则有 AP 1 =P 1 B。 由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，即矩阵 P 1 可逆，所以 P 1 1 AP 1 =B，因此矩阵 A 与 B 相似，则 EB= )解析：(2).求
25、可逆矩阵尸使得 P 1 AP=A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(EB)x=0，得矩阵 B 对应于特征值 =1 的特征向量 1 =(一 1，1，0) T ， 2 =(一 2，0，1) T ；由(4EB)x=0，得对应于特征值 =4 的特征向量 3 =(0，1，1) T 。 令 P 2 =( 1 ， 2 ， 3 )= ，得 P 2 1 BP 2 = ，则 P 2 1 P 1 1 AP 1 P 2 = ， 即当 P=P 1 P 2 =( 1 ， 2 ， 3 ) =(一 1 + 2 ，一 2 1 + 3 ， 2 + 3 )时，有 P 1 AP= )解析：23.已知矩阵 A 与 B 相似
26、，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB，得 ，解得 a=7，b=一 2。 由矩阵 A 的特征多项式EA= = 2 一 4 一 5，得 A 的特征值是 1 =5， 2 =一 1。它们也是矩阵 B 的特征值。 分别解齐次线性方程组(5EA)x=0，(一 EA)x=0，可得到矩阵 A 的属于 1 =5， 2 =一 1 的特征向量依次为 1 =(1，1) T ， 2 =(一 2，1) T 。 分别解齐次线性方程组(5E 一 B)x=0，(一 E 一 B)x=0，可得到矩阵B 的属于 1 =5， 2 =一 1 的特征向量分别是 1 =(一 7，1) T ， 2 =(一 1，1) T
27、。 )解析：在某国，每年有比例为 p 的农村居民移居城镇，有比例为 q 的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 x n 和 y n (x n +y n =1)。（分数：4.00）(1).求关系式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，人口迁移的规律不变 x n1 =x n +qy n 一 px n =(1 一 p)x n +qy n ， y n1 =y n +px n 一 qy n =px n +(1 一 q)y n ， 用矩阵表示为 )解析：(2).设目前农村人口与城镇人口相等，即 （分数：2.0
28、0）_正确答案：(正确答案： 得 A 的特征值为 1 =1， 2 =r，其中 r=1 一 pq。 当 1 =1 时，解方程(AE)x=0，得特征向量 p 1 = ； 当 2 =r 时，解方程(ArE)x=0，得特征向量 p 2 = 。 令 P=(p 1 ，p 2 )= ，则 P 1 AP= 。 )解析：24.已知 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=O，且秩 r(A)=2，求矩阵 A 的全部特征值，并求秩 r(A+E)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是矩阵 A 的任一特征值，(0)是属于特征值 的特征向量，则A=，于是 A n = n 。用 右乘
29、A 4 2A 3 +A 2 +2A=O，得( 4 +2 3 + 2 +2)=0。 因为特征向量 0，故 4 +2 3 + 2 +2=(+2)( 2 +1)=0。由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵 A 的特征值是 0 或一 2。 由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩 r(A)= =2，所以 A 的特征值是 0，一 2，一 2。因 ，所以 r(A+E)= )解析：设 A，B 为同阶方阵。（分数：6.00）(1).若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P 1 AP=B，则 E 一 B=E 一 P 1
30、 AP=P 1 EPP 1 AP =P 1 (E 一 A)P=P 1 EAP=EA。 所以 A、B 的特征多项式相等。)解析：(2).举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：(3).当 A，B 均为实对称矩阵时，证明(I)的逆命题成立。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵，若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1 ， n ，则有 所以存在可逆矩阵 P，Q，使 P 1 AP= )解析：25.设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，若
31、 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(一 1，2，一 3) T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 r(A)=2 知，A=0，所以 =0 是 A 的另一特征值。 因为 1 = 2 =6 是实对称矩阵的二重特征值，故 A 属于 =6 的线性无关的特征向量有两个，因此 1 ， 2 ， 3 必线性相关，显然 1 ， 2 线性无关。 设矩阵 A 属于 =0 的特征向量 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 解得此方程组的基础解系 =(一 1，1，1) T 。 根据 A( 1 ， 2 ，)=(6 1 ，6 2 ，0)得 A=(6 1 ，6 2 ，0)( 1 ， 2 ，) 1 = )解析：
