1、考研数学二（线性代数）-试卷 22 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=OB.ABO 的充分必要条件是 AO 且 BOC.AB=O 且 r(A)=n，则 B=OD.若 ABO，则A0 或B03.设 （分数：2.00）A.B=P 1 AP 2B.B=P 2 AP 1C.B=P 2 -1 AP 1D.B=P 1 -1 AP 2 -14.设
2、向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关B. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 - 1 线性无关D. 1 + 2 ， 2 +a3， 3 - 4 ， 4 - 1 线性无关5.设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，则 A( )（分数：2.00）A.必有一列元素全为零B.必有两行元素对应成比例C.必有一列是其余列向量的线性组合D.任一列都是其余列向量的线性组合6.设向量组 1 ， 2 ， 3 为方程组
3、AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组 AX=0 的基础解系的是( )（分数：2.00）A. 1 ，+ 2 ， 2 + 4 ， 3 - 1B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1D. 1 + 2 + 3 ，2 1 -3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 -5 37.设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 与单位矩阵 E 合同B.矩阵 A 的特征值都是实数C.存在可逆矩阵 P，使 PAP -1 为对角阵D.存在正交阵 Q，使 Q T AQ 为对角阵8.设 （分数：2
4、.00）A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似D.不合同也不相似二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设 A=( 1 ， 2 ， 3 )为三阶矩阵，且A=3，则 1 +2 2 ， 2 -3 3 ， 3 +2 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A * ) * -1 = 1(用 A * 表示)（分数：2.00）填空项 1:_11.设 A 为四阶矩阵，A * =8，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 n 维列向量 =(a，0，0，a) T ，其中 aT ，B=E+ （分数：2.00）填空项 1:_13.设 1 ， s 是非齐
5、次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k 1 1 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.设 A= （分数：2.00）_16.设 A 是 mn 阶矩阵，若 A T A=O，证明：A=O（分数：2.00）_17.设 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn)，且 AB=E证明：B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_18.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，其中 1 ， 3 ， 5 线性无关，且 2 =3 1 - 3 -
6、5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 ，求方程组 AX=0 的通解（分数：2.00）_（分数：4.00）(1).若 a i a i (ij)，求 A T X=b 的解；（分数：2.00）_(2).若 a 1 =a 3 =a0，a 2 =a 4 =-a，求 A T X=b 的通解（分数：2.00）_19.设 A T A=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 1（分数：2.00）_20.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 A 2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量?说明理由（分数：2
7、.00）_21.设 n 阶矩阵 A 满足(aE-A)(bE-A)=O 且 ab证明：A 可对角化（分数：2.00）_22.设 A 为三阶矩阵，A i =i i (i=1，2，3)， （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).求 a；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 p -1 AP=B（分数：2.00）_设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵，f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：4.00）(1).记 X=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，把二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )写成矩阵形式；（分数：2.00）_(2).二次型 g(X)=X T AX 是否与
8、f(x 1 ，x 2 ，x n )合同?（分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 22 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=OB.ABO 的充分必要条件是 AO 且 BOC.AB=O 且 r(A)=n，则 B=O D.若 ABO，则A0 或B0解析：解析：取 ，显然 AB=O，故(A)、(B)都不对，取3.设 （分数：2.
9、00）A.B=P 1 AP 2B.B=P 2 AP 1C.B=P 2 -1 AP 1D.B=P 1 -1 AP 2 -1 解析：4.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关B. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 - 1 线性无关 D. 1 + 2 ， 2 +a3， 3 - 4 ， 4 - 1 线性无关解析：解析：因为-( 1 + 2 )+( 2 +a3)-( 3 + 4 )+( 4 + 1
10、)=0， 所以 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性相关； 因为( 1 - 2 )+( 2 - 3 )+( 3 - 4 )+( 4 - 1 )=0， 所以 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性相关； 因为( 1 + 2 )-( 2 + 3 )+( 3 - 4 )+( 4 - 1 )=0， 所以 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法得 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 - 1 线性无关，选(C)5.设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，则 A( )（分数：2.
11、00）A.必有一列元素全为零B.必有两行元素对应成比例C.必有一列是其余列向量的线性组合 D.任一列都是其余列向量的线性组合解析：解析：因为A=0，所以 r(A)n)，且 AB=E证明：B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 r(B)minm，n=n，由 AB=E 得 r(AB)=n，而 r(AB)f(B)，所以 r(B)n，从而 r(B)=n，于是 B 的列向量组线性无关)解析：18.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，其中 1 ， 3 ， 5 线性无关，且 2 =3 1 - 3 - 5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 ，求方程组 AX=0
12、的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 3 ， 5 线性无关，又 2 ， 4 可由 1 ， 3 ， 5 线性表示，所以 r(A)=3，齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量 由 2 =3 1 - 3 - 5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 得方程组 AX=0 的两个解为 1 =(3，-1，-1，0，-1) T ， 2 =(2，0，1，-1，6) T 故 AX=0 的通解为 k 1 (3，-1，-1，0，-1) T +k 2 (2，0，1，-1，6) T (k 1 ，k 2 为任意常数)解析：（分数：4.00）(1).若 a i a i (ij)，
13、求 A T X=b 的解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D=AT=(a 4 -a 1 )(a 4 -a 2 )(a 4 -a 3 )(a 3 -a 1 )(a 3 -a 2 )(a 2 -a 1 )，若 a i a j (ij)，则 D0，方程组有唯一解，又 D 1 =D 2 =D 3 =0，D 4 =D，所以方程组的唯一解为 X=(0，0，0，1) T ；)解析：(2).若 a 1 =a 3 =a0，a 2 =a 4 =-a，求 A T X=b 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a 1 =a 3 =a0，a 2 =a 4 =-a 时， )解析：19.设 A T
14、A=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 Ax=X，则 X T A T =X T ，从而有 X T A T AX=X T Ax= 2 X T X，因为A T A=E， 所以( 2 -1)X T X=0，而 X T X=X 2 0，所以 2 =1，于是=1)解析：20.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 A 2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量?说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX= 得 A 2 X=A(AX)=
15、A(X)=AX= 2 X 可知 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 A 2 X=X，其中 A= ，A 2 =O，A 2 的特征值为 =0，取 X= ， 显然 A 2 X=0X，但 AX= )解析：21.设 n 阶矩阵 A 满足(aE-A)(bE-A)=O 且 ab证明：A 可对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(aE-A)(bE-A)=O，得aEAbE-A=0，则aE-A=0 或者bE-A=0又由(aE-A)(bE=A)=0，得 r(aE-A)+r(bE-A)n 同时 r(aE-A)+r(bE-A)r(aE-A)-(bE-A)=r(a-b)E=n 所以 r(aE-A)+r
16、(bE-A)=n (1)若aE-A0，则 r(aE-A)=n，所以 r(bE-A)=0，故A=bE (2)若bE-A0，则 r(bE-A)=n，所以，r(aE=A)=0，故 A=aE (3)若aE-A=0 且bE-A=0，则 a，b 都是矩阵 A 的特征值 方程组(aE-A)X=0 的基础解系含有 n-r(aE-A)个线性无关的解向量，即特征值 a 对应的线性无关的特征向量个数为 n-r(aE-A)个； 方程组(bE-A)X=0 的基础解系含有 n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值 b 对应的线性无关的特征向量个数为 n-r(bE-A)个 因为 n-r(aE-A)+n-r(bE-A)
17、=n，所以矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化)解析：22.设 A 为三阶矩阵，A i =i i (i=1，2，3)， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 （分数：4.00）(1).求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，即 2+a+0=1+(-1)+2，于是 a=0)解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 p -1 AP=B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-A= =(+1)(-1)(-2)=0 得 A，B 的特征值为 1 =-1， 2 =1， 3 =2 当 =-1 时，由(-E-A)
18、X=0 即(E+A)X=0 得 1 =(0，-1，1) T ； 当 =1 时，由(E-A)X=0 得 2 =(0，1，1) T ； 当 =2 时，由(2E-A)X=0 得 3 =(1，0，0) T ，取 P 1 = ，则 P 1 -1 AP 1 = 当 =-1 时，由(-E-B)X=0 即(E+B)X=0 得 1 =(0，1，2) T ； 当 =1 时，由(E-B)X=0得 2 =(1，0，0) T ； 当 =2 时，由(2E-B)X=0 得 3 =(0，0，1) T ，取 P 2 = ，则 P 2 -1 BP 2 = 由 P 1 -1 AP 1 =P 2 -1 BP 2 得(P 1 P 2
19、-1 ) -1 A(P 1 P 2 -1 )=B， 取 P=P 1 P 2 -1 = )解析：设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵，f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：4.00）(1).记 X=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，把二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )写成矩阵形式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(X)=(x 1 ，x 2 ，x n ) 因为 r(A)=n，所以A0，于是 )解析：(2).二次型 g(X)=X T AX 是否与 f(x 1 ，x 2 ，x n )合同?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 可逆，所以 A 的 n 个特征值都不是零，而 A 与 A -1 合同，故二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )与 g(x)=X T AX 规范合同)解析：
