【考研类试卷】考研数学二(线性代数)-试卷22及答案解析.doc

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1、考研数学二(线性代数)-试卷 22 及答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A,B 皆为 n 阶矩阵,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=OB.ABO 的充分必要条件是 AO 且 BOC.AB=O 且 r(A)=n,则 B=OD.若 ABO,则A0 或B03.设 (分数:2.00)A.B=P 1 AP 2B.B=P 2 AP 1C.B=P 2 -1 AP 1D.B=P 1 -1 AP 2 -14.设

2、向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,则向量组( )(分数:2.00)A. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 + 1 线性无关B. 1 - 2 , 2 - 3 , 3 - 4 , 4 - 1 线性无关C. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 - 1 线性无关D. 1 + 2 , 2 +a3, 3 - 4 , 4 - 1 线性无关5.设 A 为 n 阶矩阵,且A=0,则 A( )(分数:2.00)A.必有一列元素全为零B.必有两行元素对应成比例C.必有一列是其余列向量的线性组合D.任一列都是其余列向量的线性组合6.设向量组 1 , 2 , 3 为方程组

3、AX=0 的一个基础解系,下列向量组中也是方程组 AX=0 的基础解系的是( )(分数:2.00)A. 1 ,+ 2 , 2 + 4 , 3 - 1B. 1 + 2 , 2 + 3 , 1 +2 2 + 3C. 1 +2 2 ,2 2 +3 3 ,3 3 + 1D. 1 + 2 + 3 ,2 1 -3 2 +22 3 ,3 1 +5 2 -5 37.设 A 为 n 阶实对称矩阵,下列结论不正确的是( )(分数:2.00)A.矩阵 A 与单位矩阵 E 合同B.矩阵 A 的特征值都是实数C.存在可逆矩阵 P,使 PAP -1 为对角阵D.存在正交阵 Q,使 Q T AQ 为对角阵8.设 (分数:2

4、.00)A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似D.不合同也不相似二、填空题(总题数:5,分数:10.00)9.设 A=( 1 , 2 , 3 )为三阶矩阵,且A=3,则 1 +2 2 , 2 -3 3 , 3 +2 1 = 1(分数:2.00)填空项 1:_10.设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2),则(A * ) * -1 = 1(用 A * 表示)(分数:2.00)填空项 1:_11.设 A 为四阶矩阵,A * =8,则 (分数:2.00)填空项 1:_12.设 n 维列向量 =(a,0,0,a) T ,其中 aT ,B=E+ (分数:2.00)填空项 1:_13.设 1 , s 是非齐

5、次线性方程组 AX=b 的一组解,则 k 1 1 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:12,分数:28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.设 A= (分数:2.00)_16.设 A 是 mn 阶矩阵,若 A T A=O,证明:A=O(分数:2.00)_17.设 A 为 nm 矩阵,B 为 mn 矩阵(mn),且 AB=E证明:B 的列向量组线性无关(分数:2.00)_18.设 A=( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ),其中 1 , 3 , 5 线性无关,且 2 =3 1 - 3 -

6、5 , 4 =2 1 + 3 +6 5 ,求方程组 AX=0 的通解(分数:2.00)_(分数:4.00)(1).若 a i a i (ij),求 A T X=b 的解;(分数:2.00)_(2).若 a 1 =a 3 =a0,a 2 =a 4 =-a,求 A T X=b 的通解(分数:2.00)_19.设 A T A=E,证明:A 的实特征值的绝对值为 1(分数:2.00)_20.设 A 是 n 阶矩阵, 是 A 的特征值,其对应的特征向量为 X,证明: 2 是 A 2 的特征值,X 为特征向量若 A 2 有特征值 ,其对应的特征向量为 X,X 是否一定为 A 的特征向量?说明理由(分数:2

7、.00)_21.设 n 阶矩阵 A 满足(aE-A)(bE-A)=O 且 ab证明:A 可对角化(分数:2.00)_22.设 A 为三阶矩阵,A i =i i (i=1,2,3), (分数:2.00)_设 (分数:4.00)(1).求 a;(分数:2.00)_(2).求可逆矩阵 P,使得 p -1 AP=B(分数:2.00)_设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵,f(x 1 ,x 2 ,x n )= (分数:4.00)(1).记 X=(x 1 ,x 2 ,x n ) T ,把二次型 f(x 1 ,x 2 ,x n )写成矩阵形式;(分数:2.00)_(2).二次型 g(X)=X T AX 是否与

8、f(x 1 ,x 2 ,x n )合同?(分数:2.00)_考研数学二(线性代数)-试卷 22 答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A,B 皆为 n 阶矩阵,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=OB.ABO 的充分必要条件是 AO 且 BOC.AB=O 且 r(A)=n,则 B=O D.若 ABO,则A0 或B0解析:解析:取 ,显然 AB=O,故(A)、(B)都不对,取3.设 (分数:2.

9、00)A.B=P 1 AP 2B.B=P 2 AP 1C.B=P 2 -1 AP 1D.B=P 1 -1 AP 2 -1 解析:4.设向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,则向量组( )(分数:2.00)A. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 + 1 线性无关B. 1 - 2 , 2 - 3 , 3 - 4 , 4 - 1 线性无关C. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 - 1 线性无关 D. 1 + 2 , 2 +a3, 3 - 4 , 4 - 1 线性无关解析:解析:因为-( 1 + 2 )+( 2 +a3)-( 3 + 4 )+( 4 + 1

10、)=0, 所以 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 + 1 线性相关; 因为( 1 - 2 )+( 2 - 3 )+( 3 - 4 )+( 4 - 1 )=0, 所以 1 - 2 , 2 - 3 , 3 - 4 , 4 - 1 线性相关; 因为( 1 + 2 )-( 2 + 3 )+( 3 - 4 )+( 4 - 1 )=0, 所以 1 + 2 , 2 + 3 , 3 - 4 , 4 - 1 线性相关,容易通过证明向量组线性无关的定义法得 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 - 1 线性无关,选(C)5.设 A 为 n 阶矩阵,且A=0,则 A( )(分数:2.

11、00)A.必有一列元素全为零B.必有两行元素对应成比例C.必有一列是其余列向量的线性组合 D.任一列都是其余列向量的线性组合解析:解析:因为A=0,所以 r(A)n),且 AB=E证明:B 的列向量组线性无关(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:首先 r(B)minm,n=n,由 AB=E 得 r(AB)=n,而 r(AB)f(B),所以 r(B)n,从而 r(B)=n,于是 B 的列向量组线性无关)解析:18.设 A=( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ),其中 1 , 3 , 5 线性无关,且 2 =3 1 - 3 - 5 , 4 =2 1 + 3 +6 5 ,求方程组 AX=0

12、的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 1 , 3 , 5 线性无关,又 2 , 4 可由 1 , 3 , 5 线性表示,所以 r(A)=3,齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量 由 2 =3 1 - 3 - 5 , 4 =2 1 + 3 +6 5 得方程组 AX=0 的两个解为 1 =(3,-1,-1,0,-1) T , 2 =(2,0,1,-1,6) T 故 AX=0 的通解为 k 1 (3,-1,-1,0,-1) T +k 2 (2,0,1,-1,6) T (k 1 ,k 2 为任意常数)解析:(分数:4.00)(1).若 a i a i (ij),

13、求 A T X=b 的解;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:D=AT=(a 4 -a 1 )(a 4 -a 2 )(a 4 -a 3 )(a 3 -a 1 )(a 3 -a 2 )(a 2 -a 1 ),若 a i a j (ij),则 D0,方程组有唯一解,又 D 1 =D 2 =D 3 =0,D 4 =D,所以方程组的唯一解为 X=(0,0,0,1) T ;)解析:(2).若 a 1 =a 3 =a0,a 2 =a 4 =-a,求 A T X=b 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 a 1 =a 3 =a0,a 2 =a 4 =-a 时, )解析:19.设 A T

14、A=E,证明:A 的实特征值的绝对值为 1(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 Ax=X,则 X T A T =X T ,从而有 X T A T AX=X T Ax= 2 X T X,因为A T A=E, 所以( 2 -1)X T X=0,而 X T X=X 2 0,所以 2 =1,于是=1)解析:20.设 A 是 n 阶矩阵, 是 A 的特征值,其对应的特征向量为 X,证明: 2 是 A 2 的特征值,X 为特征向量若 A 2 有特征值 ,其对应的特征向量为 X,X 是否一定为 A 的特征向量?说明理由(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 AX= 得 A 2 X=A(AX)=

15、A(X)=AX= 2 X 可知 2 是 A 2 的特征值,X 为特征向量若 A 2 X=X,其中 A= ,A 2 =O,A 2 的特征值为 =0,取 X= , 显然 A 2 X=0X,但 AX= )解析:21.设 n 阶矩阵 A 满足(aE-A)(bE-A)=O 且 ab证明:A 可对角化(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由(aE-A)(bE-A)=O,得aEAbE-A=0,则aE-A=0 或者bE-A=0又由(aE-A)(bE=A)=0,得 r(aE-A)+r(bE-A)n 同时 r(aE-A)+r(bE-A)r(aE-A)-(bE-A)=r(a-b)E=n 所以 r(aE-A)+r

16、(bE-A)=n (1)若aE-A0,则 r(aE-A)=n,所以 r(bE-A)=0,故A=bE (2)若bE-A0,则 r(bE-A)=n,所以,r(aE=A)=0,故 A=aE (3)若aE-A=0 且bE-A=0,则 a,b 都是矩阵 A 的特征值 方程组(aE-A)X=0 的基础解系含有 n-r(aE-A)个线性无关的解向量,即特征值 a 对应的线性无关的特征向量个数为 n-r(aE-A)个; 方程组(bE-A)X=0 的基础解系含有 n-r(bE-A)个线性无关的解向量,即特征值 b 对应的线性无关的特征向量个数为 n-r(bE-A)个 因为 n-r(aE-A)+n-r(bE-A)

17、=n,所以矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量,所以 A 一定可以对角化)解析:22.设 A 为三阶矩阵,A i =i i (i=1,2,3), (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:设 (分数:4.00)(1).求 a;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 AB,所以 tr(A)=tr(B),即 2+a+0=1+(-1)+2,于是 a=0)解析:(2).求可逆矩阵 P,使得 p -1 AP=B(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由E-A= =(+1)(-1)(-2)=0 得 A,B 的特征值为 1 =-1, 2 =1, 3 =2 当 =-1 时,由(-E-A)

18、X=0 即(E+A)X=0 得 1 =(0,-1,1) T ; 当 =1 时,由(E-A)X=0 得 2 =(0,1,1) T ; 当 =2 时,由(2E-A)X=0 得 3 =(1,0,0) T ,取 P 1 = ,则 P 1 -1 AP 1 = 当 =-1 时,由(-E-B)X=0 即(E+B)X=0 得 1 =(0,1,2) T ; 当 =1 时,由(E-B)X=0得 2 =(1,0,0) T ; 当 =2 时,由(2E-B)X=0 得 3 =(0,0,1) T ,取 P 2 = ,则 P 2 -1 BP 2 = 由 P 1 -1 AP 1 =P 2 -1 BP 2 得(P 1 P 2

19、-1 ) -1 A(P 1 P 2 -1 )=B, 取 P=P 1 P 2 -1 = )解析:设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵,f(x 1 ,x 2 ,x n )= (分数:4.00)(1).记 X=(x 1 ,x 2 ,x n ) T ,把二次型 f(x 1 ,x 2 ,x n )写成矩阵形式;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f(X)=(x 1 ,x 2 ,x n ) 因为 r(A)=n,所以A0,于是 )解析:(2).二次型 g(X)=X T AX 是否与 f(x 1 ,x 2 ,x n )合同?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A 可逆,所以 A 的 n 个特征值都不是零,而 A 与 A -1 合同,故二次型 f(x 1 ,x 2 ,x n )与 g(x)=X T AX 规范合同)解析:

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