1、考研数学二（线性代数）-试卷 24 及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.n 维向量组 1 ， 2 ， s (3sn)线性无关的充要条件是 ( )（分数：2.00）A.存在一组全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量都线性无关C. 1 ， 2 ， s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出D.存在一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 1 +k
2、 2 2 +k s s 03.设有两个 n 维向量组(I) 1 ， 2 ， s ，() 1 ， 2 ， s ，若存在两组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s , 1 ， 2 ， s ，使(k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 1 ) 1 +(k s 一 s ) s =0，则 ( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， s + s ， 1 - 1 ， s 一 s 线性相关B. 1 ， s 及 1 ，, s 均线性无关C. 1 ， s 及 1 ， s 均线性相关D. 1 + 1 ， s + s ， 1 - 1 ， s 一 s 线性无关4.
3、已知向量组() 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则与()等价的向量组是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1B. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 一 4 ， 4 - 1C. 1 + 2 ， 2 一 3 ， 3 + 4 ， 4 - 1D. 1 + 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 - 15.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 1B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 1 + 3C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3
4、 ，3 3 + 1D. 1 + 2 + 3 ，2 1 3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 5 36.若向量组 ， 线性无关， 线性相关，则 ( )（分数：2.00）A. 必可由 ， 线性表出B. 必可由 ， 线性表出C. 必可由 ， 线性表出D. 必不可由 ， 线性表出7.设向量组() 1 ， 2 ， s 线性无关，() 1 ， 2 ， t 线性无关，且 i (i=1，2，s)不能由() 1 ， 2 ， t 线性表出， i (i=1，2，t)不能由() 1 ， 2 ， s 线性表出，则向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s ( )（分数：2.00）A.必线性相关B.必线性无关C
5、.可能线性相关，也可能线性无关D.以上都不对8.已知 n 维向量的向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，则向量组 1 “， 2 “， s “可能线性相关的是 ( )（分数：2.00）A. i “(i=1，2，s)是 i (i=1，2，s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量B. i “(i=1，2，s)是 i (i=1，2，s)中第一个分量改变成其相反数的向量C. i “(i=1，2，s)是 i (i=1，2，s)中第一个分量改为 O 的向量D. i “(i=1，2，s)是 i (i=1，2，s)中第 n 个分量后再增添一个分量的向量9.设 （分数：2.00）A.存在 a ij (i，j=
6、1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性无关B.不存在 a ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性相关C.存在 b ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性无关D.不存在 b ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性相关10.A 是 mn 矩阵，r(A)=rminm，n)，则 A 中必 ( )（分数：2.00）A.没有等于零的 r-1 阶子式，至少有一个 r 阶子式不为零B.有不等于零的 r 阶子式，所有 r+1 阶子式全为零C.有等于零的 r 阶子式，没有不等于零的 r+1 阶子式D.任何 r 阶子式不等于零，任何 r+1 阶子式全为
7、零11.向量组(I) 1 ， 2 ， s ，其秩为 r 1 ，向量组() 1 ， 2 ， s 其秩为 r 2 ，且 i ，i=1，2，s 均可由向量组() 1 ， 2 ， s 线性表出，则必有 ( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， 2 + 2 ， s + s 的秩为 r 1 +r 2B. 1 一 1 ， 2 一 2 ， s 一 s 的秩为 r 1 一 r 2C. 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 +r 2D. 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.设 n 维向量 1 ， 2 ， 3 满足 2
8、1 一 2 +3 3 =0，对于任意的 n 维向量 ，向量组 l 1 + 1 ，l 2 + 2 ，l 3 + 3 都线性相关，则参数 l 1 ，l 2 ，l 3 应满足关系 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知 r( 1 ， 2 ， s )=r，则 r( 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + s )= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.A= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是 5 阶方阵，且 A 2 =0，则 r(A*)= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 A mn ，B nn ，C nm ，其中 AB=A，BC=O，r(A)=n，则|CA-B|= 1（
9、分数：2.00）填空项 1:_17.已知向量组 与向量组 （分数：2.00）填空项 1:_18.已知 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r(A)=n 一 1，则线性方程组 AX=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设 n 阶(n3)矩阵 A 的主对角元均为 1，其余元素均为 a，且方程组 AX=0 只有一个非零解组成基础解系，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.已知 1 ， 2 ， s 线性无关， 可由 1 ， 2 ， s 线性表出，且表示
10、式的系数全不为零，证明： 1 ，a 2 ， s ， 中任意 s 个向量线性无关（分数：2.00）_22.已知向量组 1 ， 2 ， s-1 (s1)线性无关， i = i +t i+1 ，i=1，2，s证明：向量组 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_23.设 A 是 33 矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维列向量，且线性无关，已知 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 ，(1)证明：A 1 ，A 2 ，A 3 线性无关； (2)求|A|（分数：2.00）_24.已知 A 是 N 阶矩阵， 1 ， 2 ， s 是 n 维线性无关向量组，若 A
11、1 ，A 2 ，A s 线性相关，证明：A 不可逆（分数：2.00）_25.设 A 是 mn 矩阵，证明：存在非零的 ns 矩阵 B，使得 AB=O 的充要条件是 r(A)n（分数：2.00）_26.设 n 阶矩阵 A 的秩为 1，试证： (1)A 可以表示成 n1 矩阵和 1n 矩阵的乘积； (2)存在常数 ，使得 A k = k-1 A（分数：2.00）_27.设 A 是 nn 矩阵，对任何 n 维列向量 X 都有 AX=0，证明：A=O（分数：2.00）_28.向量组 1 ， 2 ， t 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表出，设表出关系为 （分数：2.00）_29.设 A 是 sn
12、矩阵，B 是 A 的前 m 行构成的 mn 矩阵，已知 A 的行向量组的秩为 r，证明： r(B)r+m一 s（分数：2.00）_30.设 A 是 mn 阶实矩阵，证明：(1)r(A T A)=r(A)；(2)A T AX=A T b 一定有解（分数：2.00）_31.设线性线性方程组 （分数：2.00）_32.已知四元二个方程的齐次线性方程组的通解为 X=k 1 1，0，2，3 T +k 2 0，1，一 1，1 T ，求原方程组（分数：2.00）_33.已知齐次线性方程组()的基础解系为 1 =1，0，1，1 T ， 2 =2，1，0，一 1 T ， 3 =0，2，1，一 1 T ，添加两个
13、方程 （分数：2.00）_34.已知线性方程组(I) （分数：2.00）_35.已知线性方程组 （分数：2.00）_36.已知 1 =一 3，2，0 T ， 2 =一 1，0，一 2 T 是线性方程组 （分数：2.00）_37.已知线性方程组 （分数：2.00）_38.已知 4 阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4 维列向量，其中 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 =2 2 一 3 ，如果 = 1 + 2 + 3 + 4 ，求线性方程组AX= 的通解（分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 24 答案解析(总分：76.00，做题时间：90
14、 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.n 维向量组 1 ， 2 ， s (3sn)线性无关的充要条件是 ( )（分数：2.00）A.存在一组全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量都线性无关C. 1 ， 2 ， s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 D.存在一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0解析：解析：可用反证法证明之：必要性：假设有一
15、向量，如 s 可由 1 ， 2 ， s-1 线性表出，则 1 ， 2 ， s 线性相关，这和已知矛盾，故任一向量均不能由其余向量线性表出，充分性：假设 1 ， 2 ， s 线性相关,至少存在一个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故 1 ， 2 ， s 线性无关(A)对任何向量组都有 0 1 +0 2 +0 s =0 的结论(B)必要但不充分，如 1 =0，1，0 T ， 2 =1，0，0 T ， 3 =1，0，0 T 任两个线性无关，但 1 ， 2 ， 3 线性相关(D)必要但不充分如上例 1 + 2 + 3 0，但 1 ， 2 ， 3 线性相关3.设有两个 n 维向量组(I) 1 ，
16、2 ， s ，() 1 ， 2 ， s ，若存在两组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s , 1 ， 2 ， s ，使(k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 1 ) 1 +(k s 一 s ) s =0，则 ( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， s + s ， 1 - 1 ， s 一 s 线性相关 B. 1 ， s 及 1 ，, s 均线性无关C. 1 ， s 及 1 ， s 均线性相关D. 1 + 1 ， s + s ， 1 - 1 ， s 一 s 线性无关解析：解析：存在不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k s ， 1 ，
17、 2 ， s ，使得 (k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 一 1 ) 1 +(k 2 - 2 ) 2 +(k s 一 s ) s =0， 整理得 k 1 ( 1 + 1 )+k 2 ( 2 + 2 )+k s ( s + s )+ 1 ( 1 一 1 )+ 2 ( 2 一 2 )+ s ( s 一 s )=0从而得 1 + 1 ， s + s ， 1 一 1 ， s 一 s 线性相关4.已知向量组() 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则与()等价的向量组是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4
18、， 4 + 1B. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 一 4 ， 4 - 1C. 1 + 2 ， 2 一 3 ， 3 + 4 ， 4 - 1D. 1 + 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 - 1 解析：解析：因(A) 1 + 2 一( 2 + 3 )+( 3 + 4 )一( 4 + 1 )=0； (B)( 1 - 2 )+( 2 - 3 )+( 3 - 4 )+( 4 - 1 )=0； (C)( 1 + 2 )一( 2 一 3 )一( 3 + 4 )+( 4 - 1 )=0， 故均线性相关，而 1 + 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 = 1 ， 2 ， 3 ，
19、4 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 C 其中 5.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 1B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 1 + 3C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1 D. 1 + 2 + 3 ，2 1 3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 5 3解析：解析：因(A) 1 + 2 一( 2 + 3 )+ 3 一 1 =0，(B) 1 + 2 + 2 + 3 一( 1 +2 2 + 3 )=0， (D)一 19( 1 + 2 + 3 )+2(2 1 3 2
20、 +22 3 )+5(3 1 +5 2 一 5 3 )=0，敌(A)，(B)，(D)的向量组均线性相关，由排除法知(C)向量组线性无关对(C)，若存在数 k 1 ，k 2 ，k 3 使得 k 1 ( 1 +2 2 )+k 2 (2 2 +3 3 )+k 3 (3 3 + 1 )=0， 整理得：(k 1 +k 3 ) 1 +(2k 1 +2k 2 ) 2 +(3k 2 +3k 3 ) 3 =0 因 1 ， 2 ， 3 线性无关，得 又 6.若向量组 ， 线性无关， 线性相关，则 ( )（分数：2.00）A. 必可由 ， 线性表出B. 必可由 ， 线性表出C. 必可由 ， 线性表出 D. 必不可由
21、 ， 线性表出解析：解析：因 ， 线性无关，故 ， 线性无关，而 ， 线性相关，故 必可由， 线性表出(且表出法唯一)7.设向量组() 1 ， 2 ， s 线性无关，() 1 ， 2 ， t 线性无关，且 i (i=1，2，s)不能由() 1 ， 2 ， t 线性表出， i (i=1，2，t)不能由() 1 ， 2 ， s 线性表出，则向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s ( )（分数：2.00）A.必线性相关B.必线性无关C.可能线性相关，也可能线性无关 D.以上都不对解析：解析：只要对两种情况举出例子即可 (1)取 线性无关，且显然不能相互线性表出，但四个三维向量必定线性相关
22、； (2)取8.已知 n 维向量的向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，则向量组 1 “， 2 “， s “可能线性相关的是 ( )（分数：2.00）A. i “(i=1，2，s)是 i (i=1，2，s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量B. i “(i=1，2，s)是 i (i=1，2，s)中第一个分量改变成其相反数的向量C. i “(i=1，2，s)是 i (i=1，2，s)中第一个分量改为 O 的向量 D. i “(i=1，2，s)是 i (i=1，2，s)中第 n 个分量后再增添一个分量的向量解析：解析：将一个分量均变为 0，相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为线性相关(A
23、)，(B)属初等(行)变换不改变矩阵的秩，并未改变列向量组的线性无关性，(D)增加向量分量也不改变线性无关性9.设 （分数：2.00）A.存在 a ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性无关B.不存在 a ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性相关C.存在 b ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性无关 D.不存在 b ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性相关解析：解析：由 10.A 是 mn 矩阵，r(A)=rminm，n)，则 A 中必 ( )（分数：2.00）A.没有等于零的 r-1 阶子式，至少有一个 r
24、 阶子式不为零B.有不等于零的 r 阶子式，所有 r+1 阶子式全为零 C.有等于零的 r 阶子式，没有不等于零的 r+1 阶子式D.任何 r 阶子式不等于零，任何 r+1 阶子式全为零解析：解析：由矩阵的秩的定义知，r(A)=r，r 是 A 中最大的不等于零的子行列式的阶数，故 A 中有不等于零的(至少一个)r 阶子式，而 r 阶以上子式都等于零，这只需所有 r+1 阶子式全为零即可，故选(B)，而(A)，(C)，(D)均不成立，请读者自行说明理由11.向量组(I) 1 ， 2 ， s ，其秩为 r 1 ，向量组() 1 ， 2 ， s 其秩为 r 2 ，且 i ，i=1，2，s 均可由向量
25、组() 1 ， 2 ， s 线性表出，则必有 ( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， 2 + 2 ， s + s 的秩为 r 1 +r 2B. 1 一 1 ， 2 一 2 ， s 一 s 的秩为 r 1 一 r 2C. 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 +r 2D. 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 解析：解析：设 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组为 1 ， 2 ， r1 ，则 i (i=1，2，s)均可由 1 ， 2 ， r1 ，线性表出，又 i (i=1，2，s)可由()表出，即可由 1 ， 2 ， r1 线性表出，即 1 ，
26、2 ， r1 也是向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组，故 r( 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s )=r 1 ，其余选项可用反例否定二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.设 n 维向量 1 ， 2 ， 3 满足 2 1 一 2 +3 3 =0，对于任意的 n 维向量 ，向量组 l 1 + 1 ，l 2 + 2 ，l 3 + 3 都线性相关，则参数 l 1 ，l 2 ，l 3 应满足关系 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2l 1 一 l 2 +3l 3 =0）解析：解析：因 l 1 + 1 ，l 2 + 2 ，l 3
27、 + 3 线性相关,存在不全为零的 k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得 k 1 (l 1 + 1 )+k 2 (l 2 + 2 )+k 3 (l 3 + 3 )=0， 即 (k 1 l 1 +k 2 l 2 +k 3 l 3 )+k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0 因 是任意向量， 1 ， 2 ， 3 满足 2 1 一 2 +3 3 =0，故令 2l 1 一 l 2 +33 3 =0 时上式成立，故 l 1 ，l 2 ，l 3 应满足 2l 1 l 2 +3l 3 =013.已知 r( 1 ， 2 ， s )=r，则 r( 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + s )= 1（分数：
28、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：r）解析：解析：因向量组 1 ， 2 ， s 和向量组 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + s 是等价向量组，等价向量组等秩，故 r( 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + s )=r14.A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：15.设 A 是 5 阶方阵，且 A 2 =0，则 r(A*)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因 A 2 =AA=O，r(A)+r(A)5，r(A)2，从而 A*=0，r(A*)=016.设 A mn ，B nn ，C nm ，其中
29、 AB=A，BC=O，r(A)=n，则|CA-B|= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(-1) n）解析：解析：因 AB=A，A(BE)=O，r(A)=n故 B-E=O，B=E，且由 BC=O，得 C=0，故|CAB|=|E|=(一1) n 17.已知向量组 与向量组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 知 r( 1 ， 2 ， 3 )=2，由题设：r( 1 ， 2 ， 3 )=2 因 18.已知 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r(A)=n 一 1，则线性方程组 AX=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_
30、（正确答案：正确答案：k1，1，1 T ，其中 k 为任意常数）解析：解析：由 r(A)=n 一 1 知 AX=0 的基础解系有 n 一(n 一 1)=1 个非零向量组成 A 的各行元素之和均为零，即 a i1 +a i2 +a in =0，i=1，2，n 也就是 a i1 .1+a i2 .1+a in .1=0，i=1，2，n，即 =1，1，1 T 是 AX=0 的非零解，于是方程组 AX=0 的通解为k1，1，1 T ，其中 k 为任意常数19.设 n 阶(n3)矩阵 A 的主对角元均为 1，其余元素均为 a，且方程组 AX=0 只有一个非零解组成基础解系，则 a= 1（分数：2.00）
31、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A= AX=0 只有一个非零解组成基础解系，故 r(A)=n 一 1三、解答题(总题数：19，分数：38.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.已知 1 ， 2 ， s 线性无关， 可由 1 ， 2 ， s 线性表出，且表示式的系数全不为零，证明： 1 ，a 2 ， s ， 中任意 s 个向量线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用反证法设 1 ， 2 ， s ， 中任意 s 个向量组 1 ， 2 ， i-1 ， i+1 ， s ， 线性相关，则存在不全为零的 k 1 ，k 2
32、 ，k i-1 ，k i+1 ，k s ，k 使得 k 1 1 +k i-1 i-1 +k i+1 i+1 +k s s +k=0 另一方面，由题设 =l 1 1 +l 2 2 +l i i +l s s ，其中 l i 0，i=1，2，s代入上式，得 (k 1 +kl 1 ) 1 +(k 2 +kl 2 ) 2 +(k i-1 +kl i-1 ) i-1 +kl i i +(k i+1 +kl i+1 ) i+1 +(k s +kl s ) s =0? 因已知 1 ， 2 ， s 线性无关，从而由 kl i =0，l i 0，故k=0，从而由式得 k 1 ，k 2 ，k i-1 ，k i+1
33、 ，,k s 均为 0，矛盾 故 1 ， 2 ， s ， 中任意 s 个向量线性无关)解析：22.已知向量组 1 ， 2 ， s-1 (s1)线性无关， i = i +t i+1 ，i=1，2，s证明：向量组 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有数 k 1 ，k 2 ，k s ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0 成立，即 k 1 ( 1 +t 2 )+k 2 ( 2 +t 3 )+k s ( s +t s+1 ) =k 1 1 +(k 1 t+k 2 ) 2 +(k 2 t+k 3 ) 3 +(k s-1 t+k s ) s +k s t
34、 s+1 =0. 因 1 ， 2 ， s+1 线性无关，故 )解析：23.设 A 是 33 矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维列向量，且线性无关，已知 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 ，(1)证明：A 1 ，A 2 ，A 3 线性无关； (2)求|A|（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 1 ，A 2 ，A 3 = 2 + 3 ， 1 + 3 ， 1 + 2 = 1 ， 2 ， 3 1 ， 2 , 3 C，其中|C|= =20，C 是可逆阵 故 A 1 ，A 2 ，A 3 和 1 ， 2 ， 3 是等价向量组，故 A 1 ，A 2 ，A
35、 3 线性无关 (2)A 1 ，A 2 ，A 3 =A 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2 ， 3 两边取行列式，得 )解析：24.已知 A 是 N 阶矩阵， 1 ， 2 ， s 是 n 维线性无关向量组，若 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关，证明：A 不可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关，故存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使得 k 1 A 1 +k 2 A 2 +k s A s =0， 即 A(k 1 1 +k 2 2 +k s s )=A=0其中 =k 1 1 +k 2 2 +k s s 成立，因已知 1 ， 2 ， s 线性无关，对任意不全为零的 k 1 ，k 2 ，k s ，有 =k 1 1 +k 2 2 +k s s 0， 而 A=0 说明线性方程组 AX=0 有非零解，从而|A|=0，A 是不可逆矩阵)解析：25.设 A 是 mn 矩阵，证明：存在非零的 ns 矩阵 B，使得 AB=O 的充要条件是 r(A)n（分数：2.00）_
