1、考研数学二（行列式）模拟试卷 13 及答案解析(总分：84.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若 （分数：2.00）A.30mB.-15mC.6mD.-6m3.设 A 是 n 阶矩阵，则A * A=（分数：2.00）A.A n2 B.A n2-n C.A n2-n+1 D.A n2+n 4.设 A 是 n 阶矩阵，则(2A) * =（分数：2.00）A.2 n A * B.2 n1 A * C.2 n2-n A * D.2 n2 A * 5.设 A 是 m 阶矩阵，B 是
2、n 阶矩阵，且A=0a，B=b，若 C= （分数：2.00）A.-3abB.3 m abC.(-1) mn 3 m abD.(-1) (m+1)n 3 m ab6.x=-2 是 （分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.计算 n 阶行列式，对角线上烦人元素都为 0，其他元素都为 1.n= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_9.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_10.计算 6 阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_11
3、.若 （分数：2.00）填空项 1:_12.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 ， 1 ， 2 ， 3 都是 4 维列向量，且A=， 1 ， 2 ， 3 =4，B=， 1 ， 2 ， 3 =21，则A+B= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知 D n = （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：27，分数：54.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求 f(x)= （分数：2.00）_18.A= （分数：2.00）_19.设 A 与 b 分别是 m，n 阶矩阵，证
4、明 （分数：2.00）_20.设 4 阶矩阵 A=(， 1 ， 2 ， 3 )，B=(， 1 ， 2 ， 3 )，A=2，B=3，求A+B（分数：2.00）_21.设 4 阶矩阵 A=(， 1 ， 2 ， 3 )，B=(， 1 ， 2 ， 3 )，A=a，B=b，求A+B（分数：2.00）_22.设 D= （分数：2.00）_23.计算行列式 （分数：2.00）_24.计算行列式 （分数：2.00）_25.已知(2，1，1，1)，(2，1，a，a)，(3，2，1，a)，(4，3，2，1)线性相关，并且 a1，求 a（分数：2.00）_26.计算 4 阶行列式 （分数：2.00）_27.计算行列
5、式 （分数：2.00）_28.计算行列式 （分数：2.00）_29.设 A= （分数：2.00）_30.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）_31.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）_32.证明 n 阶行列式 （分数：2.00）_33.证明 （分数：2.00）_34.证明 （分数：2.00）_35.证明 （分数：2.00）_36.证明 （分数：2.00）_37.计算 （分数：2.00）_38.计算 （分数：2.00）_39.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）_40.若行列式的某个元素 a ij 加 1，则行列式的值增加 A ij （分数：2.00）_41.若行列式的第 j 列的每个元
6、素都加 1，则行列式的值增加 （分数：2.00）_42.若行列式的每个元素都加 1，则行列式值的增量为所有代数余子式之和（分数：2.00）_考研数学二（行列式）模拟试卷 13 答案解析(总分：84.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若 （分数：2.00）A.30mB.-15mC.6mD.-6m 解析：解析：3.设 A 是 n 阶矩阵，则A * A=（分数：2.00）A.A n2 B.A n2-n C.A n2-n+1 D.A n2+n 解析：解析：因为A * 是一个数
7、，由kA=k n A及A * =A n-1 有 A * A=A * n A=(A n-1 ) n A=A n2-n+1 故应选(C)4.设 A 是 n 阶矩阵，则(2A) * =（分数：2.00）A.2 n A * B.2 n1 A * C.2 n2-n A * D.2 n2 A * 解析：解析：(2A) * =2A n-1 =(2 n A) n-1 =2 n(n-1) A=2 n(n-1) A * 或利用(kA) * =k n-1 A * ，那么 (2A) * =2 n-1 A * =(2 n-1 ) n A * =2 n2-n A * 故应选(C)5.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶
8、矩阵，且A=0a，B=b，若 C= （分数：2.00）A.-3abB.3 m abC.(-1) mn 3 m abD.(-1) (m+1)n 3 m ab 解析：解析：用性质有 C= 6.x=-2 是 （分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件解析：解析：对于范德蒙行列式 D=二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.计算 n 阶行列式，对角线上烦人元素都为 0，其他元素都为 1.n= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(-1) n-1 (n-1)）解析：8.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:
9、_ （正确答案：正确答案：a+(n-1)b(a-b) n-1）解析：9.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a+n(n+1)2a n-1）解析：10.计算 6 阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(a 1 d 1 -b 1 c 1 )(a 2 d 2 -b 2 c 2 )(a 3 d 3 -b 3 c 3 )）解析：11.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：按代数余子式定义 A 12 =(-1) 1+2 =-(5x-4)=-1 z=1 故 A 21 =(-1) 2+1 12.若 A=
10、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：利用公式“r(AB)r(B)及 A0，则 r(A)1”，易见本题中 r(A)=1，所以A=0或作矩阵乘法 A= (4，5，6)=13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-4）解析：解析：用kA=k n A及A -1 = ，可知-2A -1 =(-2) 3 A -1 =-8. 14.设 ， 1 ， 2 ， 3 都是 4 维列向量，且A=， 1 ， 2 ， 3 =4，B=， 1 ， 2 ， 3 =21，则A+B= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：600）解析：解析：因
11、A+B=(+，3 1 ，4 2 ，2 3 )，故 A+B=+，3 1 ，4 2 ，2 3 =24， 1 ， 2 ， 3 +24， 1 ， 2 ， 3 =24A+24B=60015.已知 D n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： =a n D n-1 +(-1) 2n-1 .(-1) 三、解答题(总题数：27，分数：54.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在完全展开式的 24 项中除了对角线元素乘积这一项外，其他 23 项 x 的次数都不超
12、过 2，因此(x-3)(x-8)(x+1)x 中 x 3 的系数-10 就是所求)解析：18.A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 4 个根为 x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 因为xE-A是 x 的 4 次多项式，并且 x 4 的系数为 1，所以 xE-A=(x-x 1 )(x-x 2 )(x-x 3 )(x-x 4 ) 考察 x 3 的系数从右侧看为-(x 1 +x 2 +x 3 +x 4 )；再从左侧看，因为xE-A对角线外的元素都是不含 x 的常数，所以在其展开式的 24项中，只有对角线元素的乘积(x-a 11 )(x-a 22 )(x-a 33 )(x-a 44 )
13、这一项包含 x 3 的，并且系数为-(a 11 +a 22 +a 33 +a 44 ).于是 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =a 11 +a 22 +a 33 +a 44 .)解析：19.设 A 与 b 分别是 m，n 阶矩阵，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把此行列式的左右两部分交换，办法如下：先把右部分的第 1 列依次和左部分的各列邻换(共进行了 n 次)，再把右部分的第 2 列依次和左部分的各列邻换，最后把右部分的第 m 列依次和左部分的各列邻换一共进行了 mn 次邻换于是 =(-1) mn AB )解析：20.设 4 阶矩阵 A=(， 1 ， 2 ， 3 )，B
14、=(， 1 ， 2 ， 3 )，A=2，B=3，求A+B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A+B=(+，2 1 ，2 2 ，2 3 )，(注意这里是矩阵的加法，因此对应列向量都相加) A+B=+，2 1 ，2 2 ，2 3 =8+， 1 ， 2 ， 3 (用性质，二，三，四列都提出 2) =8(， 1 ， 2 ， 3 +， 1 ， 2 ， 3 ) =8(2+3)=40)解析：21.设 4 阶矩阵 A=(， 1 ， 2 ， 3 )，B=(， 1 ， 2 ， 3 )，A=a，B=b，求A+B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A+B=(+， 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1
15、 )， A+B=+， 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 =+，2 1 + 2 + 3 ， 2 + 3 ， 3 + 1 (把第 4 列加到第 2 列上) =+，2 1 ， 2 + 3 ， 3 + 1 (第 2 列减去第 3 列) =2+， 1 ， 2 + 3 =2+， 1 ， 2 ， 3 =2(， 1 ， 2 ， 3 +， 1 ， 2 ， 3 ) =2(， 1 ， 2 ， 3 +， 1 ， 2 ， 3 )=2a+2b A+B=2a+2b)解析：22.设 D= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所求的是此行列式第 3 列元素的代数余子式 A 13 ，A 23 ，A 33 ，A 4
16、3 依次乘-1，-1，2，1 后的和A 13 ，A 23 ，A 33 ，A 43 和行列式的第 3 列元素是无关的，因此如果把第 3 列元素改为-1，-1，2，1，则 A 13 ，A 23 ， A 33 ，A 43 不改变.于是修改后的行列式的值=它对第 3 列的展开式=-A 13 -A 23 +A 33 +A 43 -A 13 -A 23 +2A 33 +A 43 )解析：23.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先提出第 5 行的公因子 a i 再把上面 4 行依次加上它的-2a 倍，a 倍，-a 倍和
17、-2倍： )解析：25.已知(2，1，1，1)，(2，1，a，a)，(3，2，1，a)，(4，3，2，1)线性相关，并且 a1，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这 4 个向量线性相关 以它们为行(或列)向量构成的 4 阶行列式为 0 )解析：26.计算 4 阶行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先把 2 至 4 列都加到第 1 列上，再 2 至 4 行都减去第 1 行，就可化为上三角行列式： D= )解析：27.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先把 2 至 5 列都加到第 1 列上，再自下而上 2 至 4 行各减去上行： )解析：28.计算行
18、列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此题用定义，或用对行(列)的展开都不难计算下面介绍的方法容易推广 用行、列的交换容易把此行列式化为分块的形式，第 4 列依次与 3，2 列交换，第 4 行依次和 3，2 行交换：)解析：29.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对第 1 列展开： A=A 11 +aA 41 =M 11 -aM 41 =1-a 4 )解析：30.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a n +(-1) n+1 b n .)解析：31.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先建立递推公式：记此行列式为
19、D n 当 n3 时，对第 1 列(或行)展开，得 D n =A 11 +A 21 =D n-1 -M 21 ，M 21 的第 1 行为(1，0，0)，它对第 1 行展开得 M 21 =D n-2 于是得递推公式 D n =D n-1 -D n-2 ， 于是用它可以从 D 1 ，D 2 的值求得 D n 事实上当 n4 时， D n =D n-1 -D n-2 =D n-2 -D n-3 -D n-2 =D n-3 再由 D 1 =1，D 2 =0，D 3 =D 2 -D 1 =-1 推得 D n = )解析：32.证明 n 阶行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记此行列式为 D
20、 n ，对第 1 行展开，得到一个递推公式 D n =(1-a)D n-1 +aD n-2 方法一：下面用数学归纳法证明本题结论 (1)验证 n=1，2 时对： D 1 =1-a，D n = )解析：33.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题以证明题的形式出现，容易诱导想到用数学归纳法记此行列式为 D n ，对第 1 行展开得递推公式 D n =2aD n-1 -a 2 D n-2 D n =2aD n-1 -a 2 D n-2 .改写为 D n -aD n-1 =a(D n-1 -aD n-2 )，记 H n =D n -aD n-1 (n2)，则 n3 时 H n =aH
21、n-1 ，即H n 是公比为 a 的等比数列而 H 2 =D 2 -aD 1 =3a2-2a 2 =a 2 ，得到 H n =a n ， 于是得到一个新的递推公式 D n =aD n-1 +a n ， 两边除以 a n ，得 D n a n =D n-1 a n-1 +1于是D n a n 是公差为 1 的等差数列D 1 a=2，则 D n a n =n+1，D n =(n+1)a n )解析：34.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对第 1 行展开得递推公式 D n =(a+b)D n-1 -abD n-2 .然后用数学归纳法的程序证明结论 下面用数列技巧计算 把 D n =(
22、a+b)D n-1 -abD n-2 改写为 D n -bD n-1 =a(D n-1 -bD n-2 )，则D n -bD n-1 是公比为 a 的等比数列D 2 -bD 1 =a 2 ，得 D n -bD n-1 =a n ，于是得到一个更加简单的递推公式： D n =bD n-1 +a n ， (1) 当 a=b 时，则 D n =aD n-1 +a n ，得 D n =(n+1)a n 当ab 时，和(1)对称地有 D n =aD n-1 +b n ， (2) a(1)-b(2)，得(a-b)D n =a n+1 -b n+1 ， D n = )解析：35.证明 （分数：2.00）_正
23、确答案：(正确答案：本题和下题在有的教材里称为“爪形行列式”，它们都可以用数学归纳法证明如本题对第 n 列展开就可得到递推公式 D n =c n D n-1 +(-1) n-1 b 1 b 2 b n-1 a n 然后容易进行归纳证明 下面要说明的是对这类行列式的一个事实：只要对第 1 行展开就可以求值! 把要证明的值的表达式和对第 1 行的展开式对照： (-1) i-1 b 1 b i-1 a i c i c i+1 c n = (-1) i+1 a i M 1i = (-1) i-1 a i M 1i ， 就可看出结论也就是对每个 i，有 M 1i =b 1 b i-1 c i+1 c n
24、 而这个等式只要写出 M 1i 就可得到： M 1i = ，其中 G i = ，H i = )解析：36.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对第 1 行展开 a 0 的代数余子式 A 11 =M 11 = c i . i1 时 a i 的代数余子式 A 1i+1 =(-1) i M 1i+1 M 1i+1 = ，其中 G i = ，H i = 于是 M 1i+1 =G i H i i =(-1) i+1 b i c 1 c i-1 c i+1 c n =a 0 c i + (-1) i a i M 1i+1 =a 0 c i - )解析：37.计算 （分数：2.00）_正确答案：
25、(正确答案：各行减上行， )解析：38.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如果每个 x i 都不是 0，各列提出公因子 x i ： =x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 )解析：39.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对第一列展开： D= a i A i1 = (-1) i+1 a i M i1 M i1 = 其中 G i 是一个对角线元素都是-1 的 i-1 阶下三角矩阵，H i 是一个对角线元素都是 x 的 n-i 阶上三角矩阵，于是 M i1 =G i H i =(-1) i-1 x n-i 代入得 D= )解析：40.若行列式的某个元素 a
26、 ij 加 1，则行列式的值增加 A ij （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：修改后的行列式第 j 列为(a 1j ，a ij ，a nj +1，a) T =(a 1j ，a ij ，a nj ) T +(0，1，0) T ，对它分解(性质)，分为两个行列式之和，一个就是原行列式，另一个的值为 A ij )解析：41.若行列式的第 j 列的每个元素都加 1，则行列式的值增加 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：修改后的行列式第 j 列为(a 1j +1，a ij +1，a nj +1) T =(a 1j ，a ij ，a nj ) T +(1，1，1) T ，对它分解(性质)，分
27、为两个行列式之和，一个就是原行列式，另一个的第 j 列元素都是 1，增加量就是它的值，等于 )解析：42.若行列式的每个元素都加 1，则行列式值的增量为所有代数余子式之和（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设原来行列式的列向量依次为 1 ， 2 ， s ，记 =(1，1，1) T 则改变后的行列式为 1 +， 2 +， s +对它分解(用性质，先分解第 1 列，分为 2 个行列式，它们都对第 2 列分解，成 4 个行列式，)分为 2 n 个行列式之和，这些行列式的第 j 列或为 ，或为 j ，考虑到当有两列为 时值为 0，除去它们， 1 +， 2 +， s +是 n+1 个行列式之和，它们是：恰有 1 列为 ，而其它各列都不是(这样的有 n 个)，还有一个是 1 ， 2 ， s 即原来行列式于是 1 +， 2 +， s +- 1 ， 2 ， s = 1 ， j +， n = )解析：
