1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 +时，下列无穷小中，阶数最高的是( )2 设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是( )3 双纽线(x 2+y2)2=x2-y2 所围成的区域面积可表示为( )二、填空题4 设 =_5 f(sinx)=cos2x+3x+2，则 f(x)=_6 设 (x)= (x2-t)f(t)dt，其中 f 连续，则 “(x)=_7 =_8 =_9 设 z=f(x，y)是由 e2yz+x+y2+z= 确定的函数，则 =_1
2、0 设 y=y(x)可导， y(0)=2，令 y=y(x+x)-y(x)，且y= x+a，其中 a 是当x0 时的无穷小量，则 y(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求12 设13 设曲线 y=xn 在点(1，1)处的切线交 x 轴于点( n，0)，求14 设 y=x2lnx，求 y(n)15 设 f(x)= 求 f(x)并讨论 f(x)在 x=0 处的连续性16 设 f(x)= ，讨论 f(x)的单调性，凹凸性，拐点，水平渐近线17 求18 设 f(x2-1)= ，且 f(x)=lnx，求(x)dx19 20 计算21 设平面图形 D 由 x2+y22x 与 y
3、x 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积22 讨论 f(x， y)= 在点(0 ，0) 处的连续性、可偏导性及可微性23 求函数 u= 的梯度方向的方向导数24 计算 01dyy1x2 dx25 设 x0 时， f(x)可导，且满足：f(x)=1+ 1xf(t)dt，求 f(x)26 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v t=0=v0已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问 t 为多少时此质点的速度为 v03? 并求到此时刻该质点所经过的路程考研数学二（高等数学）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答
4、案】 C【试题解析】 当 x0 +时， ln(1+x2)-x2 +cosx-2=1+ +o(x4)+1- +o(x4)-2 由，得当 x0 时， ln(1+t2)dt-1-x2=1+x2+ +o(x4)-1-x2 ，则 ln(1+t2)dt 为最高阶无穷小，选(C)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x)= ，而 f(x)在 x=0 处不可导，(A)不对；即存在只能保证 f(x)在 x=0 处右可导，故(B)不对；因为，所以 h0 时 h-tanh- h3，于是存在不能保证 f(x)在 x=0 处可导，故(D) 不对；选(C)【知识模块】 高等数学部分3 【正确
5、答案】 A【试题解析】 双纽线(x 2+y2)2=x2-y2 的极坐标形式为 r2=cos2，再根据对称性，有A= ，选(A)【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 -4x+【试题解析】 由 f(sinx)=cos2x+3x+2，得 f(sinx)=1-2sin2x+3x+2，f(x)=1-2x2+3arcsinx+2，f(x)=-4x+【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 2 f(t)dt+4x2f(x2)【试题解析】 (x)=x 2 f(t)dt- tf(t)dt，(x)=2x f(t)dt+2x3f(x2)-2
6、x3f(x2)=2x f(t)dt， “(x)=2 f(t)dt+4x2f(x2)【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 因为对-a，a上连续的函数 f(x)有 -aaf(x)dx=0af(x)+f(-x)dx，所以【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【试题解析】 将 x= y= 代入 e2yz+x+y2+z= 中得 z=0，e 2yz+x+y2+z= 两边求微分得 2e2yz(zdy+ydz)+dx+2ydy+dz=0，将 x= y= ，z=0 代入得【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 2【试题解析
7、】 由y= =0，解得 y=，再由 y(0)=2，得 C=2，所以 y=2【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 因为 x0 时， 所以 A=【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 y=x n 在点(1，1) 处的切线方程为 y-1=n(x-1)，令 y=0 得 n=【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 y (n)=Cn0x2(lnx)(n)+Cn12x(lnx) (n-1)D+Cn22(lnx) n-2【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 当 x0 时，f(x)= 当
8、x=0 时，所以 f(x)在x=0 处连续【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 因为 f(x)= 0，所以 f(x)在(-，+)上单调增加因为 f“(x)=，当 x0；当 x0 时，f“(x)为曲线 y=f(x)的两条水平渐近线【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 由 f(x2-1)= 再由f(x)= 所以(x)dx= =x+2lnx-1+C 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 取xx+dx 0，1，则 dv=2(2-x)( -x)
9、dx，【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 因为 0，所以=0=f(0，0)，即函数 f(x，y)在点(0，0)处连续因为，所以 fx(0，0)=0，根据对称性得 fy(0，0)=0，即函数f(x，y)在(0，0)处可偏导 x-fx(0，0)x-f y(0，0)y=f(x，y)-f x(0，0)x-f y(0，0)y=因为 不存在，所以函数 f(x，y)在(0， 0)不可微【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 的梯度为 l=x，z，y ，梯度的方向余弦为故所求的方向导数为【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 改变积分次序得【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 由 f(x)=1+ 1xf(t)dt 得 xf(x)=x+1xf(t)dt 两边对 x 求导得 f(x)+xf(x)=1+f(x)，解得 f(x)= ， f(x)=lnx+C，因为 f(1)=1，所以 C=1，故 f(x)=lnx+1【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 设 t 时刻质点运动的速度为 v(t)，阻力 F=ma=解此微分方程得 v(t)=v0et由 v0e-t=v03 得 t=ln3，从开始到 t=ln3 的时间内质点所经过的路程为【知识模块】 高等数学部分
