1、考研数学二（向量）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设向量组： 1， 2， r 可由向量组： 1， 2， s 线性表示，则( )（A）当 rs 时，向量组必线性相关。（B）当 rs 时，向量组必线性相关。（C）当 rs 时，向量组必线性相关。（D）当 rs 时，向量组必线性相关。2 设 1=(1，2 ，3，1) T， 2=(3，4，7，一 1)T， 3=(2，6，a，6) T， 4=(0，1，3，a)T，那么 a=8 是 1， 2， 3， 4 线性相关的( )（A）充分必要条件。（B）充分而非必要条件。（C）必要而非充分条件。（D）既
2、不充分也非必要条件。3 向量组 1， 2， n 线性无关的充分条件是( )（A） 1， 2， n 均不为零向量。（B） 1， 2， n 中任意两个向量的分量不成比例。（C） 1， 2， n 中任意一个向量均不能由其余 n 一 1 个向量线性表示。（D） 1， 2， n 中有一部分向量线性无关。4 设 1， 2， ， s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是( )（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有 k11+k22+kss0，则 1， 2， ， s 线性无关。（B）若 1， 2， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数后。k1，k 2，k s，都有 k11+k22+k
3、ss=0。（C） 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s。（D） 1， 2， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。5 已知向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组( )（A） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关。（B） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性无关。（C） 1+2， 2+3， 3+4， 4 一 1 线性无关。（D） 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关。6 已知四维向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，且向量 1=1+3+4， 2=2 一4， 3=3+4， 4=2+3， 5=21+2+3
4、。则 r(1， 2， 3， 4， 5)=( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。7 已知 1， 2， 3， 4 是三维非零列向量，则下列结论 若 4 不能由 1， 2， 3线性表出，则 1， 2， 3 线性相关； 若 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性相关，则 1， 2， 4 也线性相关； 若 r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)，则 4 可以由 1， 2， 3 线性表出。 其中正确的个数是( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。8 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是( )（A）若
5、1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关。（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关。（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关。（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关。9 设 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)。记向量组、(I)1， 2， n，向量组() 1， 2， n，向量组 () 1， 2， n。已知向量组( )线性相关，则有 ( )（A）向量组() 、()均线性相关。（B）向量组(I)、()中至少有一个线性相关。（C）向量组()一
6、定线性相关。（D）向量组() 一定线性相关。10 假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r(A)n，那么在 A 的 n 个行向量中( )（A）必有 r 个行向量线性无关。（B）任意 r 个行向量线性无关。（C）任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组。（D）任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示。二、填空题11 设 1=(1， 2，1) T， 2=(2，3，a) T， 3=(1，a+2 ，一 2)T，若 1=(1，3，4) T 可以由 1， 2， 3 线性表示，但是 2=(0，1，2) T 不可以由 1， 2， 3 线性表示，则a=_。12 已知 r(1， 2， s)=r(1， 2， s
7、，)=m，r( 1， 2， s，)=m+1，则 r(1， 2， s， ，)=_。13 向量组 1=(1，一 2，0，3) T， 2=(2，一 5，一 3，6) T， 3=(0，1，3，0)T， 4=(2，一 1，4，7) T 的一个极大线性无关组是_ 。14 与 1=(1， 2，3，一 1)T， 2=(0，1，1，2) T， 3=(2，1，3，0) T 都正交的单位向量是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设向量组 1=(a，0，10) T， 2=(一 2，1，5) T， 3=(一 1，1，4) T，=(1 ，b，c)T，试问：当 a，b，c 满足什么条件时，15 可由
8、 1， 2， 3 线性表出，且表示唯一；16 不可由 1， 2， 3 线性表出；17 可由 1， 2， 3 线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。18 设向量组() 1=(1，0，2) T， 2=(1，1，3) T， 3=(1，一 1，a+2) T 和向量组()1=(1，2，a+3) T， 2=(2，1，a+6) T， 3=(2，1，a+4) T。试问：当 a 为何值时，向量组()与() 等价?当 a 为何值时，向量组()与( )不等价?19 设向量组 a1，a 2， am 线性相关，且 a10，证明存在某个向量 aK(2km)，使ak 能由 a1，a 2，a k1 线性表示。19 已知 r
9、(a1，a 2，a 3)=2， r(a2，a 3，a 4)=3，证明：20 a1 能由 a2，a 3 线性表示；21 a4 不能由 a1，a 2，a 3 线性表示。22 设向量组 a1，a 2 线性无关，向量组 a1+b，a 2+b 线性相关，证明：向量 b 能由向量组 a1，a 2 线性表示。23 设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 Akx=0 有解向量 ，且Ak1 0。证明：向量组 ，A，A k1 是线性无关的。23 *是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解， 1， ， nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：24 *， 1， nr 线性无关；25 *， *+
10、1，+ * nr 线性无关。26 设非齐次线性方程组 Ax=b 的系数矩阵的秩为 r， 1， nr1 是它的 nr+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k 11+knr1 nr1 ，其中k1+knr 1=1。考研数学二（向量）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为向量组可由向量组线性表示，故 r()r( )s 。又因为当rs 时，必有 r()r，即向量组的秩小于其所含向量的个数，此时向量组必线性相关，所以应选 D。【知识模块】 向量2 【正确答案】 B【试题解析】 n 个 n 维向量线性相关性一般
11、用行列式 1， 2， n是否为零去判断。因为 1， 2， 3， 4=。当 a=8 时，行列式 1， 2， 3， 4=0，向量组 1， 2， 3， 4 线性相关，但 a=2 时仍有行列式 1， 2， 3， 4=0，所以 a=8 是向量组 1， 2， 3， 4 线性相关的充分而非必要条件。 【知识模块】 向量3 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A，B，D 均是向量组 1， 2， ， n 线性无关的必要条件，不是充分条件。由排除法可知选 C。 例如取 1=(1， 0)， 2=(0，1)， 3=(1，1)，则向量组 1， 2， 3 满足选项 A，B，D 中的条件，但 1+2 一 3=0，即向量组1
12、， 2， 3 线性相关。【知识模块】 向量4 【正确答案】 B【试题解析】 对于选项 A，因为齐次线性方程组 x11+x22+xss=0 只有零解，故 1， 2， s 线性无关，选项 A 正确。 对于选项 B，由 1， 2， s 线性相关知，齐次线性方程组 x11+x22+xss=0 存在非零解，但该方程组存在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项 B 是错误的。 选项C 是教材中的定理。 由“无关组减向量仍无关”(线性无关的向量组其任意部分组均线性无关)可知选项 D 也是正确的。综上可知，应选 B。【知识模块】 向量5 【正确答案】 C【试题解析】 排除法。 通过观察可知
13、 ( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 4)+(4 一 1)=0， (1+2)一( 2+3)+(3+4)一 (4+1)=0， ( 1+2)一( 2+3)+(3 一 4)+(4 一 1)=0， 即选项 A，B，D 中的向量组均线性相关，所以选 C。【知识模块】 向量6 【正确答案】 C【试题解析】 将表示关系合并成矩阵形式有( 1， 2， 3， 4， 5)=(1， 2， 3， 4) (1， 2， 3， 4)C。因四个四维向量1， 2， 3， 4 线性无关，故 1， 2， 3， 40 ，即 A=(1， 2， 3， 4)是可逆矩阵。A 左乘 C，即对 C 作若干次初等行变换，故有 r(C)=r
14、(AC)=r(1， 2， 3， 4， 5)，而 故知 r(1， 2， 3， 4， 5)=r(C)=3，因此应选 C。【知识模块】 向量7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1， 2， 3， 4 是三维非零列向量，所以 1， 2， 3， 4 必线性相关。 若 1， 2， 3 线性无关，则 4 必能由 1， 2， 3 线性表示，可知结论正确。 令 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T， 3=(0，2，0) T， 4=(0，0，1) T，则1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性相关，但 1， 2， 4 线性无关，可知结论错误。 由于( 1， 1+2， 2+3)( 1， 2，
15、2+3)( 1， 2， 3)， (4， 1+4， 2+4， 3+4)( 4， 1， 2， 3)( 1， 2， 3， 4)， 所以r(1， 1+2， 2+3)=r(1， 2， 3)，r( 4， 1+4， 2+4， 3+4)=r(1， 2， 3， 4)， 则当 r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)时，可得 r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 4)，因此 4 可以由 1， 2， 3 线性表示。可知结论正确。所以选 C。【知识模块】 向量8 【正确答案】 A【试题解析】 记 B=(1， 2， s)，则(A 1，A 2，A s)=AB。 若向量组1， 2， s 线
16、性相关，则 r(B)s，从而 r(AB)r(B)s ，向量组A1，A 2，A 3，也线性相关，故应选 A。【知识模块】 向量9 【正确答案】 B【试题解析】 向量组()线性相关，也即 r(AB) n，可知矩阵 A，B 中至少有一个不是满秩的。因为若 A，B 均满秩，则矩阵 AB 也满秩，此时向量组()线性无关，这与题设矛盾。所以向量组()、() 中至少有一个是线性相关的。故选 B。【知识模块】 向量10 【正确答案】 A【试题解析】 由矩阵秩的定义可知，A 的 n 个行向量组成的向量组的秩也为 r，再由向量组秩的定义，这 n 个向量中必然存在 r 个线性无关的向量，所以应选 A。【知识模块】
17、向量二、填空题11 【正确答案】 一 1【试题解析】 根据题意， 1(1，3，4) T 可以由 1， 2， 3 线性表示，则方程组x11+x22+x33=1 有解， 2=(0，1，2) T 不可以由 1， 2， 3 线性表示，则方程组x11+x22+x33=2 无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起作矩阵的初等变换，即，因此可知，当 a=一 1 时，方程组 x11+x22+x33= 有解，方程组x11+x22+x33=2 无解，故 a=1。【知识模块】 向量12 【正确答案】 m+l【试题解析】 已知 r(1， 2， s)=r(1， 2， s，)=m，表明向量 可以由向量组 1，
18、 2， s 线性表示，但是 r(1， 2， s，)=m+1，则表明向量 不能由向量组 1， 2， s 线性表示，因此通过对向量组1， 2， s， 作初等列变换，可得 ( 1， 2， s， ，)=(1， 2， s，0，)， 因此可得 r(1， 2， s，)=m+1。【知识模块】 向量13 【正确答案】 1， 2， 4【试题解析】 用已知向量组组成一个矩阵，对矩阵作初等行变换，则有(1， 2， 3， 4)=因为矩阵中有三个非零行，所以向量组的秩为 3，又因为非零行的第一个不等于零的数分别在1，2，4 列，所以 1， 2， 4 是向量组 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组。【知识模块】 向量
19、14 【正确答案】 (1，I，一 1，0) T【试题解析】 设 =(x1，x 2，x 3，x 4)T 与 1， 2， 3 均正交，则对以上齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换，有 得到基础解系是(一1，一 1，1，0) T，将这个向量单位化得 (1，1，一 1，0) T，即为所求向量。【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 向量15 【正确答案】 考虑线性方程组 k11+k22+k33=， (1)记其系数矩阵A=(1， 2， 3)。对该线性方程组的增广矩阵作初等行变换，即(A ，)=。当 a一 10 时，r(A)=r(A，)=3，此时方程组(1) 有唯
20、一解， 可由 1， 2， 3 唯一地线性表出。【知识模块】 向量16 【正确答案】 当 a=一 10，且 C3b1 时，(A ，) ，可知 r(A)r(A，)，此时方程组(1)无解， 不可由 1， 2， 3 线性表出。【知识模块】 向量17 【正确答案】 当 a=一 10，且 c=3b 一 1 时，(A，) ，可知 r(A)=r(A，)=2 ，此时方程组(1) 有无穷多解，其全部解为k1= ，k 2=l，k 3=bl，其中 l 为任意常数。 可由 1， 2， 3 线性表出，但表示不唯一，其一般表达式为 = 1+l2+(b 一 l)3，其中 l 为任意常数。【知识模块】 向量18 【正确答案】
21、对矩阵( 1， 2， 3 1， 2， 3)作初等行变换，有当 a一 1 时，行列式 1， 2， 3=a+10，由克拉默法则可知线性方程组x11+x22+x33=i(i=1，2，3)均有唯一解，此时向量组()可由向量组()线性表示。同理，由行列式 1， 2， 3=60，可知向量组()也可由向量组()线性表示。向量组() 与 ()等价。当 a=一 1 时，有因为 r(1， 2， 3)r(1， 2， 3， 1)，所以线性方程组 x11+x22+x33=1 无解，即 1 不能由1， 2， 3 线性表示。向量组(I)与()不等价。综上所述，当 a一 1 时，向量组()与() 等价；当 a=一 1 时，向
22、量组()与( )不等价。【知识模块】 向量19 【正确答案】 因为向量组 a1，a 2，a m 线性相关，由定义知，存在不全为零的数 1， 2， m，使 1a1+2a2+ mam=0。因 1， 2， m 不全为零，所以必存在 k，使得 k0，且 k1 = m=0。当 k=1 时，代入上式有 1a1=0。又因为a10，所以 1=0，与假设矛盾，故 k1。当 k0 且 k2 时，有 ak=ak1 ， k1，因此向量 ak 能由 a1，a 2，a k1 线性表示。【知识模块】 向量【知识模块】 向量20 【正确答案】 r(a 1，a 2，a 3)=23 a1，a 2，a 3 线性相关；假设 a1 不
23、能由 a2，a 3线性表示，则 a2，a 3 线性相关。而由 r(a2，a 3，a 4)=3 a2，a 3，a 4 线性无关a2，a 3 线性无关，与假设矛盾。综上所述， a1 必能由 a2，a 3 线性表示。【知识模块】 向量21 【正确答案】 由上问的结论，a 1 可由 a2，a 3 线性表示，则若 a4 能由 a1，a 2，a 3线性表示 a4 能由 a2， a3 线性表示，即 r(a2，a 3，a 4)3 与 r(a2，a 3，a 4)=3 矛盾，故 a4 不能由 a1，a 2，a 3 线性表示。【知识模块】 向量22 【正确答案】 因为 a1， a2 线性无关，a 1+b，a 2+b
24、 线性相关，所以 b0，且存在不全为零的常数 k1，k 2，使 k1(a1+b)+k2(a2+b)=0，则有(k 1+k2)b=一 k1a1k2a2。又因为 a1，a 2 线性无关，若 k1a1+k2a2=0，则 k1=k2=0，这与 k1，k 2 不全为零矛盾，于是有 k1a1+k2a20，(k 1+k2)b0。综上 k1+k20，因此由(k 1+k2)b=一 ka1 一 k2a2 得 b=a2， k1，k 2R，k 1+k20。【知识模块】 向量23 【正确答案】 设有常数 0， 1， k1 使得 0+1A+ k1 Ak1 =0， 则有 Ak1 (0+1A+ k1 Ak1 )=0， 从而得
25、到 0Ak1 =0。由题设 Ak1 0，所以 0=0。 类似地可以证明 1=2= k1 =0，因此向量组 ，A，A k1 是线性无关的。【知识模块】 向量【知识模块】 向量24 【正确答案】 假设 *， 1， nr 线性相关，则存在不全为零的数c0，c 1，c nr 使得 c 0*+c11+cnr nr =0， (1) 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0=A(c0*+c11+cnr nr )=c0A*+c1A1+cnAnr =c0b， 其中 b0，则 c0=0，于是(1)式变为 c11+cnr nr =0， 1， nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1， nr 线性无关，因此 c1=
26、c2=cnr =0，与假设矛盾。 所以*， 1， nr 线性无关。【知识模块】 向量25 【正确答案】 假设 *， *+1， *+nr 线性相关，则存在不全为零的数c0，c 1，c nr 使 c 0*+c1(*+1)+cnr (*+nr )=0， 且(c 0+c1+cnr )*+c11+cnr nr =0。 (2) 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0=A(c0+c1+cnr )*+c11+cnr nr =(c0+c1+cnr )A*+c1A1+cnr Anr =(c0+c1+cnr )b， 因为 b0，故 c0+c1+cnr =0，代入(2)式，有 c 11+cnr nr =0， 1， nr 是
27、对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1， nr 线性无关，因此c1=c2=cnr =0，则 c0=0。与假设矛盾。 综上，向量组 *， *+1， *+nr 线性无关。【知识模块】 向量26 【正确答案】 设 x 为 Ax=b 的任一解，由题设知 1， 2， nr1 线性无关且均为 Ax=b 的解。 取 1=2 一 1， 2=3 一 1， ， nr =nr 1 一 1，根据线性方程组解的结构，它们均为对应齐次方程 Ax=0 的解。 下面用反证法证： 设1， 2， nr 线性相关，则存在不全为零的数 l1，l 2，l nr ，使得 l11+l22+lnr nr =0， 即 l1(2 一 1)+
28、l2(3 一 1)+lnr (nr1 一 1)=0， 也即一(l 1+l2+lnr )1+l12+l23+lnr nr1 =0。 由 1， 2， nr1 线性无关知 一(l 1+l2+lnr )=l1=l2=lnr =0， 这与 l1，l 2，l nr 不全为零矛盾，故假设不成立。因此 1， 2， nr 线性无关，是 Ax=0 的基础解系。 由于 x， 1 均为Ax=b 的解，所以 x 一 1 为 Ax=0 的解，因此 x 一 1 可由 1， 2， nr 线性表示，设 x 一 1=k21+k32+knr1 nr =k2(2 一 1)+k3(3 一 1)+knr1 (nr1一 1)， 则 x=1(1 一 k2 一 k3 一一 knr1 )+k22+k33+knr1 nr1 ， 令 k1=1一 k2 一 k3 一一 knr1 ，则 k1+k2+k3+knr1 =1，从而 x=k 11+k22+knr1恒成立。【知识模块】 向量
