1、考研数学（数学一）模拟试卷 490 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.的渐近线条数为( ) （分数：2.00）A.1B.2C.3D.43.当 x0 时，f(lnx)= 则 -2 2 xf(x)dx 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.当 x0 时，无穷小的阶数最高的是( )（分数：2.00）A.B.tanx-xC.(1+tanx) ln(1+2x) 一 1D.5.设为由直线 绕 x 轴旋转产生的曲面，则上点 P(-1，1，一 2)处的法线
2、方程为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A 为三阶矩阵，特征值为 1 = 2 =1， 3 =2，其对应的线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P 1 =( 1 一 3 ， 2 + 3 ， 3 )，则 P 1 -1 A*P 1 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 A，B 为 n 阶方阵，令 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若矩阵 A，B 等价，则向量组 1 ， 2 ， n 与向量组 1 ， 2 ， n 等价B.若 A，B 的特征值相同，则 A，B 等价C.若 AX=0 与 BX
3、=0 同解，则 A，B 等价D.若 A，B 等价，则 AX=0 与 BX=0 同解8.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数( )（分数：2.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点C.至少有两个间断点D.是连续函数9.设 X 1 ，X 2 ， 3 ，X 4 ，X 5 是来自总体 N(1，4)的简单随机样本， （分数：2.00）A.2B.C.D.1二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.若当 x0 时，(1+2x) x 一 cosxax 2 ，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_11. （分数：2.00）填空项 1:_12.设 z=z(
4、x，y)由 F(az-by，bx-cz，cy-ax)=0 确定，其中函数 F 连续可偏导且 aF-cF 2 0，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设函数 y=y(x)在(0，+)上满足 （分数：2.00）填空项 1:_14.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f(x)连续， （分数：2.00）_18.求二重积分 （分数：2.00）_19.求 x=cost(0t)将方程(1 一 x 2 )y“一 xy+y=0
5、化为 y 关于 t 的微分方程，并求满足 y| x=0 =1，y| x=0 =2 的解（分数：2.00）_20.计算曲面积分 2(1-xy)dydz+(x+1)ydzdx-4yz 2 dxdy，其中是弧段 (1x3)绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面，上任一点的法向量与 x 轴正向夹角大于 （分数：2.00）_21.设 f(x)在0，1上连续可导，f(1)=0， 0 1 f(x)dx=2，证明：存在 0，1，使得 f()=4（分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +ax 2 2 +3x 3 2 一 2x 1 x 2 +6
6、x 1 x 3 6x 2 x 3 的矩阵合同于 （分数：2.00）_24.设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X，Y 相互独立，求 Z=X+Y 的密度函数 f Z (z)（分数：2.00）_25.设总体 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 490 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.的渐近线条数为( ) （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：3.当 x0 时，f(lnx)= 则 -
7、2 2 xf(x)dx 为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 则 -2 2 xf(x)dx= -2 2 xdf(x)=xf(x)| -2 2 - -2 2 f(x)dx= 4.当 x0 时，无穷小的阶数最高的是( )（分数：2.00）A. B.tanx-xC.(1+tanx) ln(1+2x) 一 1D.解析：解析： 由(1+tanx) ln(1+2x) 一 1=e ln(1+2x)ln(1+tanx)-1 ln(1+2x)ln(1+tanx)2x 2 得 (1+tanx) ln(1+2x) 为 2 阶无穷小； 5.设为由直线 绕 x 轴旋转产生的曲面，则上点 P(-1，
8、1，一 2)处的法线方程为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：设 M(x，y，z)为曲面上的任意一点，过 M 点且垂直于 x 轴的圆交直线于点 M 0 (x，y 0 ，z 0 )，圆心为 T(x，0，0)，由|MT|=|M 0 T|得 y 2 +z 2 =y 0 2 +z 0 2 因为 所以 y 0 =一x，z 0 =2x，故曲面的方程为 5x 2 一 y 2 一 z 2 =0曲面上点 P(一 1，1，一 2)处的法向量为 n=10x，一 2y，一 2z p =一 10，一 2，4， 6.设 A 为三阶矩阵，特征值为 1 = 2 =1， 3 =2，其对应的线性无关的特征向量
9、为 1 ， 2 ， 3 ，令 P 1 =( 1 一 3 ， 2 + 3 ， 3 )，则 P 1 -1 A*P 1 =( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：A*的特征值为 2，2，1，其对应的线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ， 7.设 A，B 为 n 阶方阵，令 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若矩阵 A，B 等价，则向量组 1 ， 2 ， n 与向量组 1 ， 2 ， n 等价B.若 A，B 的特征值相同，则 A，B 等价C.若 AX=0 与 BX=0 同解，则 A，B 等价 D.若 A，
10、B 等价，则 AX=0 与 BX=0 同解解析：解析：由 A，B 等价得 r(A)=r(g)，从而向量组 1 ， 2 ， n 与向量组 1 ， 2 ， n 的秩相等，但两向量组秩相等不一定可相互线性表示，即不一定等价，不选(A)； 若 A，B 特征值相同，r(A)与 r(B)不一定相等，从而 A，B 不一定等价，如： 8.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数( )（分数：2.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点 C.至少有两个间断点D.是连续函数解析：解析：F Y (y)=PYy=PminX，2y=1 一 PrainX，2y =1PXy，2y=1
11、 一PXyP2y， 当 y2 时，F Y (y)=1； 当 y2 时，F Y (y)=1 一 PXY=PXy= 则 F Y (y)= 9.设 X 1 ，X 2 ， 3 ，X 4 ，X 5 是来自总体 N(1，4)的简单随机样本， （分数：2.00）A.2B.C. D.1解析：解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.若当 x0 时，(1+2x) x 一 cosxax 2 ，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为当 x0 时，(1+2x) x 一 1=e xln(1+2x) 一 1xln(1+2x)2x 2 ，所以(1+2x) x -
12、cosx=(1+2x) x 一 1+1 一 cosx2x 2 + 11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(1 一 ln2)）解析：解析：12.设 z=z(x，y)由 F(az-by，bx-cz，cy-ax)=0 确定，其中函数 F 连续可偏导且 aF-cF 2 0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：b）解析：解析：F(ax 一 by，bx 一 cz，cyax)=0 两边对 x 求偏导得13.设函数 y=y(x)在(0，+)上满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x(1 一 cosx)）解析：解析：由可微的定义，函数
13、y=y(x)在(0，+)内可微，且 xsinx，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得14.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：|B|= =2，B -1 =B*A+A 两边左乘 B 得 E=2A+BA，即(B+2E)A=E，则 A=(B+2E) -1 = 15.设随机变量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 由 PX=1=PX=1，Y=0+PX=1，Y=1，得 PX=1，Y=0= 再 PY=0=PX=0，Y=0+PX=1，Y=0= 得 PX=0，Y=0= 则(X，Y)的联合分布律为三、解答题(总题数：10，分数：2
14、0.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f(x)连续， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图，在区域 D 内作圆 x 2 +y 2 =x，将区域 D 分为 D 1 ，D 2 ，则 第一卦限的角平分线将 D 1 分为 D 11 及 D 12 , )解析：19.求 x=cost(0t)将方程(1 一 x 2 )y“一 xy+y=0 化为 y 关于 t 的微分方程，并求满足 y| x=0 =1，y| x=0 =2 的解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 该
15、方程的通解为 y=C 1 cost+C 2 sint， 将初始条件 y| x=0 =1，y| x=0 =一 2 代入得 C 1 =2，C 2 =1，故特解为 y=2x+ )解析：20.计算曲面积分 2(1-xy)dydz+(x+1)ydzdx-4yz 2 dxdy，其中是弧段 (1x3)绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面，上任一点的法向量与 x 轴正向夹角大于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲面：x=y 2 +z 2 +1(1x3)，补充曲面 0 ：x=3(y 2 +z 2 2)， 由高斯公式得 )解析：21.设 f(x)在0，1上连续可导，f(1)=0， 0 1 f(x)dx=2，
16、证明：存在 0，1，使得 f()=4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由分部积分，得 0 1 xf(x)dx=xf(x)| 0 1 一 0 1 f(x)dx=- 0 1 f(x)dx=2，于是 0 1 f(x)dx=-2 由拉格朗日中值定理，得 f(x)=f(x)一 f(1)=f()(x 一 1)，其中(x，1)，f(x)=f()(x 一 1)两边对 x 从 0 到 1 积分，得 0 1 f(x)dx= 0 1 f()(x 一 1)dx=一2因为 f(x)在0，1上连续，所以 f(x)在0，1上取到最小值 m 和最大值 M，由 M(x 一 1)f()(x 一 1)m(x 一 1)两边对
17、 x 从 0 到 1 积分， )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 得 a=2，b=一 3 ()令 X=(X 1 ，X 2 )，B=(b 1 ，b 2 )， )解析：23.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +ax 2 2 +3x 3 2 一 2x 1 x 2 +6x 1 x 3 6x 2 x 3 的矩阵合同于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)令 则 f(x 1 ,x 2 ，x 3 )=X T AX 因为 A 与 合同，所以 r(A)=23，故|A|=0 ()由|EA|= =( 一 4)( 一 9)=0，得 1 =0， 2 =4，
18、 3 =9 由(0EA)X=0 得 由(4EA)X=0 得 )解析：24.设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X，Y 相互独立，求 Z=X+Y 的密度函数 f Z (z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X，Y 的边缘密度分别为 因为 X，Y 独立，所以(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)=f X (x)f Y (y)= F Z (z)=PZz=PX+Yz= 当 z0 时，F Z (z)=0； 当0z1 时，F Z (z)= 0 z dx 0 z-x e -y dy= 0 z (1 一 e x-z )dx =ze -z (e z -1)=z+e -z 一 1； 当 z1 时，F Z (z)= 0 1 dx 0 z-x e y dy= 0 1 (1 一 e x-z )dx =1e -z (e 一 1)=1+e -z 一 e 1-z ， )解析：25.设总体 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)E(X)= 0 1 x(+1)x dx= 得参数的矩估计量为 ()记样本观察值为 x 1 ，x 2 ，x n ，似然函数为 )解析：
