1、考研数学（数学三）模拟试卷 453 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.x0 时，下列无穷小量阶数最高的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.已知 f(x)的导函数图像如图 1 所示，则 f(x)在(0，+)上( ) （分数：2.00）A.有 3 个驻点，3 个极值点，3 个拐点。B.有 2 个驻点，2 个极值点，2 个拐点。C.有 3 个驻点，2 个极值点，3 个拐点。D.有 3 个驻点，2 个极值点，1 个拐点。4.设幂级数 a n (x
2、1) n 在 x=1 处条件收敛，则 （分数：2.00）A.绝对收敛。B.条件收敛。C.发散。D.收敛性无法判断。5.函数 f(x)= （分数：2.00）A.不连续但偏导数存在。B.偏导数不存在但连续。C.可微但偏导数不连续。D.偏导数连续。6.设 A 为 4 阶矩阵，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 Ax=0 的基础解系为(1，2，3，0) T ，则下列说法中错误的是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关。B. 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出。C. 1 ， 2 ， 4 线性无关。D. 1 可由 2 ， 3 ， 4 线性表出。7.已知 =(1，3，2) T
3、 ，=(0，1，2) T ，设矩阵 A= T E，则矩阵 A 最大特征值的特征向量是( )（分数：2.00）A.。B.。C.+。D.。8.已知 X 的分布函数为 F(x)，概率密度为 f(x)，a 为常数，则下列各函数中不一定能作为随机变量概率密度的是( )（分数：2.00）A.f(x+a)。B.f(x)。C.af(ax)。D.2f(x)F(x)。9.已知随机变量 X，Y 均服从正态分布 N(， 2 )，且 Pmax(X，Y)=a(0a1)，则 Pmin(X，Y)=( )（分数：2.00）A.B.C.a。D.1a。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设函数 f(x)二阶连续可导，且
4、 f(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，则 0 1 xf“(2x)dx= 1。（分数：2.00）填空项 1:_11.差分方程 y x+1 2y x =3 x 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.设某商品的需求函数是 Q= （分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程(x 2 1)dy+(2xycosx)dx=0 满足初始条件 y(0)=1 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且EA=E2A=E3A=0，则B 1 +2E= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.随机变量 X 的概率密度 f(x)= （分数：2.0
5、0）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设曲线 L 过点(1，1)，L 上任意一点 P(x，y)处的切线交 x 轴于点 T，O 为坐标原点，若PT=OT。试求曲线 L 的方程。（分数：2.00）_18.求函数 f(x，y)=xy （分数：2.00）_19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)上可导，且 f(0)=f(1)=0，若 f(x)在0，1上的最大值为 M0。设n1,，证明： ()存在 c(0，1)，使得 f(c)= ；()存在互不相同的 ，(0，1)，使得（分数：2.00）_20.设
6、 I a = ，其中 D a 为曲线 y= (a0)与 y= （分数：2.00）_21.设有幂级数 （分数：2.00）_22.已知两个向量组 1 =(1，2，3) T ， 2 =(1，0，1) T 与 1 =(1，2，t) T ， 2 =(4，1，5) T 。 ()t 为何值时， 1 ， 2 与 1 ， 2 等价； ()当两个向量组等价时，写出两个向量组之间的线性表示式。（分数：2.00）_23.设 A 为 3 阶实对称矩阵， 1 =(1，1，1) T ， 2 =(2，1，0) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，且矩阵 A6E 不可逆。 ()求齐次线性方程组(A6E)x=0 的通解：
7、 ()求正交变换 x=Qy 将二次型 X T Ax 化为标准形； ()求(A3E) 100 。（分数：2.00）_24.设随机变量(X，Y)的概率密度函数为 f(x，y)= （分数：2.00）_25.设总体 X 的密度函数为 f(x；)= ，x1，X 2 ，X n )为来自总体 X 的一个简单随机样本。 ()利用原点矩求 的矩估计量 ； ()求 的极大似然估计量 ，并问 （分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 453 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00
8、）_解析：2.x0 时，下列无穷小量阶数最高的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：选项(A)， 选项(B)，3x 3 4x 4 +5x 5 =3x 3 +o(x 3 )，可知 3x 3 4x 4 +5x 5 3x 3 。 选项(D)，假设 和 x n 同阶，计算极限 3.已知 f(x)的导函数图像如图 1 所示，则 f(x)在(0，+)上( ) （分数：2.00）A.有 3 个驻点，3 个极值点，3 个拐点。B.有 2 个驻点，2 个极值点，2 个拐点。C.有 3 个驻点，2 个极值点，3 个拐点。 D.有 3 个驻点，2 个极值点，1 个拐点。解析：解析：驻点为导数等于
9、 0 的点，即导函数图像与横坐标的交点，共 3 个；极值点为该点两端导数符号不一致的点，图中有 2 个；拐点即为导函数的极值点，根据图像可知有 3 个点。故选择(C)。4.设幂级数 a n (x1) n 在 x=1 处条件收敛，则 （分数：2.00）A.绝对收敛。B.条件收敛。C.发散。 D.收敛性无法判断。解析：解析：因为级数 a n (x1) n 在 x=1 处条件收敛，则其收敛半径为 R=2，所以 na n (x+1) n 的收敛区间为(3，1)，而 x=15 不在收敛区间内，所以 5.函数 f(x)= （分数：2.00）A.不连续但偏导数存在。B.偏导数不存在但连续。C.可微但偏导数不
10、连续。 D.偏导数连续。解析：解析：连续性： 所以函数 f(x，y)在(0，0)点连续。 偏导数： 所以函数 f(x，y)在(0，0)处对 x 的偏导数存在。同理可验证函数 f(x，y)在(0，0)处对 y 的偏导数存在。所以函数 f(x，y)在(0，0)处的偏导数存在。 全微分： 所以函数 f(x，y)在(0，0)处可微。 偏导数连续性： 6.设 A 为 4 阶矩阵，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 Ax=0 的基础解系为(1，2，3，0) T ，则下列说法中错误的是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关。B. 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出。 C. 1
11、 ， 2 ， 4 线性无关。D. 1 可由 2 ， 3 ， 4 线性表出。解析：解析：Ax=0 的基础解系为(1，2，3，0) T ，可知 r(A)=3 且 1 +2 2 3 3 =0，则 1 ， 2 ， 3 线性相关，所以(A)正确。 因为 r(A)=3 且 1 ， 2 ， 3 线性相关，若 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=r( 1 ， 2 ， 3 )3， 所以该选项错误，答案为(B)。 由于 3 = 7.已知 =(1，3，2) T ，=(0，1，2) T ，设矩阵 A= T E，则矩阵 A 最大特征值的特征向量是( )（分数：2.00）A.
12、。 B.。C.+。D.。解析：解析：由题设可知 r( T )=1，所以 T 的特征值为 0，0， T ，即 0，0，1，所以 A 的特征值为1，1，0。 A 属于 0 的特征向量等于 T 属于 1 的特征向量，因为 T =( T )=，所以答案为(A)。8.已知 X 的分布函数为 F(x)，概率密度为 f(x)，a 为常数，则下列各函数中不一定能作为随机变量概率密度的是( )（分数：2.00）A.f(x+a)。B.f(x)。C.af(ax)。 D.2f(x)F(x)。解析：解析：由题设可知 f(x)为概率密度函数，故 f(x)0， + f(x)dx=1。F(x)为分布函数，故F(x)0，从而
13、f(x+a)，f(x)，2f(x)F(x)大于等于 0，并且容易验证它们的积分等于 1，而 af(ax)在a0 时小于 0，故不一定为概率密度函数。9.已知随机变量 X，Y 均服从正态分布 N(， 2 )，且 Pmax(X，Y)=a(0a1)，则 Pmin(X，Y)=( )（分数：2.00）A.B.C.a。 D.1a。解析：解析：由题设可知 Pmax(X，Y)=1Pmax(X，Y)=1PX，Y， 而 Pmin(X，Y)=PX 或 Y =PX+PYPX，Y =1PX，Y。 从而 Pmin(X，Y)=Pmax(X，Y)=a。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设函数 f(x)二阶连续可
14、导，且 f(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，则 0 1 xf“(2x)dx= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：11.差分方程 y x+1 2y x =3 x 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y(x)=C2 x +3 x 。其中 C 为任意常数）解析：解析：由已知方程知对应的齐次差分方程的特征值 =2，通解为 y(x)=C2 x 。因为 =23，所以令特解 y * =A.3 x ，代入原方程得 A=1，故原方程的通解为 y(x)=C2 x +3 x ，其中 C 为任意常数。12.设某商品的需求函数是 Q= （
15、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据弹性函数的定义，则需求 Q 关于价格 p 的弹性为 ，即13.微分方程(x 2 1)dy+(2xycosx)dx=0 满足初始条件 y(0)=1 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原方程可化为 。一阶线性微分方程 y+p(x)y=q(x)的通解为 y=e p(x)dx q(x)e p(x)dx +C。因此 由 y(0)=1，得 C=1，故满足初始条件的特解 y= 14.设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且EA=E2A=E3A=0，则B 1 +2E= 1。（分数：
16、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：60）解析：解析：根据已知EA= E2A=E3A=0 可得矩阵 A 的三个特征值为 ，1，又已知 A 相似于 B，所以 B 的特征值也为 15.随机变量 X 的概率密度 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据服从正态分布的随机变量的概率密度表达式可知 XN(2，2)，故 N(0，1)，从而三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设曲线 L 过点(1，1)，L 上任意一点 P(x，y)处的切线交 x 轴于点 T，
17、O 为坐标原点，若PT=OT。试求曲线 L 的方程。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线方程为 y=y(x)，则 y(1)=1，过点 P(x，y)处的切线方程为 Yy=y(Xx)，则切线与 x 轴的交点为 T(x ，0)。根据PT=OT，有 上式两边同时平方，整理可得y(x 2 y 2 )=2xy，该一阶微分方程为齐次方程，令 u= ，可得 ，两边取积分得 解得 u+ ，将初始条件 y(1)=1 代入，可得 C= )解析：18.求函数 f(x，y)=xy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 D 如图 1 所示。 (1)边界 L 1 ：y=0(0x2)，此时 f(x，0)
18、= ，函数在此边界的最大值为 f(0，0)=0，最小值为 f(2，0)= 。 边界 L 2 ：x=0(0y4)，则 f(0，y)=y，函数在此边界的最大值为 f(0，0)=0，最小值为 f(0，4)=4。 边界 L 3 ：y=4x 2 (x0)，则 (2)区域 D 内部，f(x，y)=xy y，则 )解析：19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)上可导，且 f(0)=f(1)=0，若 f(x)在0，1上的最大值为 M0。设n1,，证明： ()存在 c(0，1)，使得 f(c)= ；()存在互不相同的 ，(0，1)，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据已知条件，存在 a(
19、0，1，使得 f(a)=M。令 F(x)=f(x) ， 显然 F(x)在0，1上连续，又因为 f(0)=0，n1，故 由零点定理可知，至少存在一点 c(0，a)，使得 F(c)=f(c) =0，即 f(c)= 。 ()在0，c，c，1上分别使用拉格朗日中值定理。已知f(x)在0，1上连续，在(0，1)上可导，则存在 (0，c)和 (c，1)，使得 f(c)f(0)=cf() (1) f(1)f(c)=(1c)f() (2) 由(1).f()+(2).f()，结合 f(0)=f(1)=0 可得， f()f()f(c)=f()f()， 再由结论 f(c)= 可知， )解析：20.设 I a = ，
20、其中 D a 为曲线 y= (a0)与 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()积分区域如图 2 所示。 利用奇偶性可得 其中，D a 为 D a 在y 轴右侧的部分。 )解析：21.设有幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() =2，故收敛半径为 r= ，则收敛区间为 。 )解析：22.已知两个向量组 1 =(1，2，3) T ， 2 =(1，0，1) T 与 1 =(1，2，t) T ， 2 =(4，1，5) T 。 ()t 为何值时， 1 ， 2 与 1 ， 2 等价； ()当两个向量组等价时，写出两个向量组之间的线性表示式。（分数：2.00）_正确答案：(正确
21、答案：()对向量组 1 ， 2 和 1 ， 2 所构成的矩阵( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )进行初等行变换化为阶梯型矩阵， 因为 1 ， 2 与 1 ， 2 等价，所以 r( 1 ， 2 )=r( 1 ， 2 )，所以 t=1。 )对矩阵( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )进行初等行变换化为行最简形， 对矩阵( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )进行初等行变换化为行最简形， )解析：23.设 A 为 3 阶实对称矩阵， 1 =(1，1，1) T ， 2 =(2，1，0) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，且矩阵 A6E 不可逆。 ()求齐次线性方程组(A6E)x=0 的通解： ()求正交
22、变换 x=Qy 将二次型 X T Ax 化为标准形； ()求(A3E) 100 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为矩阵 A6E 不可逆，所以 =6 是矩阵 A 的一个特征值；另一方面，因为 1 ， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，所以 =0 是矩阵 A 的二重特征值，所以 A 的特征值为0，0，6。 齐次线性方程组(A6E)x=0 的通解是矩阵 A 的属于特征值 =6 的特征向量。因为 A 为 3 阶实对称矩阵，从而属于不同特征值的特征向量正交。 设 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 是矩阵 A 的属于特征值 =6 的一个特征向量，则 ( 1 ， 3 )
23、=0，( 2 ， 3 )=0， 解得 3 =(1，2，1) T ，所以齐次线性方程组(A6E)x=0 的通解为 k 3 ，k 为任意常数。 ()下面将向量组 1 ， 2 ， 3 正交化。令 下面将向量组 1 ， 2 ， 3 单位化。令 则二次型 x T Ax 在正交变换x=Qy 下的标准形为 6y 3 2 。 )解析：24.设随机变量(X，Y)的概率密度函数为 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据分布函数的定义 )解析：25.设总体 X 的密度函数为 f(x；)= ，x1，X 2 ，X n )为来自总体 X 的一个简单随机样本。 ()利用原点矩求 的矩估计量 ； ()求 的极大似然估计量 ，并问 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据已知条件 ()设样本 X 1 ，X n 的取值为 x 1 ，x n ，则对应的似然函数为 )解析：
