1、考研数学（数学三）模拟试卷 458 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列无穷小中阶数最高的是( )（分数：2.00）A.e x e tanxB.C.ln(1+x)sinxD.3.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在 x 0 处可导，则一定存在 0，在xx 0 内 f(x)可导B.若 f(x)在 x 0 处连续，则一定存在 0，在xx 0 内 f(x)连续C.若 D.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，f(x)在 x 0
2、处连续，且 存在，则 f(x)在 x 0 处可导，且 4.设 f(x)二阶连续可导，g(x)连续，且 （分数：2.00）A.f(0)为 f(x)的极大值B.f(0)为 f(x)的极小值C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点5.设 f(x)=x 3 3x+k 只有一个零点，则 k 的范围是( )（分数：2.00）A.k1B.k1C.k2D.k26.设 （分数：2.00）A.P 1 P 2 1 AB.AP 1 P 2 1C.P 1 AP 2 1D.P 2 1 AP 17.设 A 为 3 阶矩阵，B=( 1 ， 2 ， 3
3、)， 1 为 AX=0 的解， 2 不是 AX=0 的解，又 r(AB)0，在xx 0 内 f(x)可导B.若 f(x)在 x 0 处连续，则一定存在 0，在xx 0 内 f(x)连续C.若 D.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，f(x)在 x 0 处连续，且 存在，则 f(x)在 x 0 处可导，且 解析：解析： 得 f(x)在 x=0 处可导(也连续) 对任意的 a0，因为 不存在，所以 f(x)在x=a 处不连续，当然也不可导，即 x=0 是 f(x)唯一的连续点和可导点，A，B 不对； 所以 f(x)在x=0 处不连续，当然也不可导，C 不对； 因为 f(x)在 x 0 处连续
4、且在 x 0 的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有 4.设 f(x)二阶连续可导，g(x)连续，且 （分数：2.00）A.f(0)为 f(x)的极大值B.f(0)为 f(x)的极小值C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点 D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点解析：解析：显然 得 g(0)=0，g(0)=25.设 f(x)=x 3 3x+k 只有一个零点，则 k 的范围是( )（分数：2.00）A.k1B.k1C.k2 D.k2解析：解析：f(x)为三次函数，至少有一个零点，因为函数不单调，故要使函数只有一个零点，必须极小值大于零或极大值小于零F(x)=
5、3(x 2 1)=0，得驻点 x=1，且由图形可知，x=1 为极大值点，x=1 为极小值点故 f(1)=2+k k2，f(1)=2+k0 6.设 （分数：2.00）A.P 1 P 2 1 AB.AP 1 P 2 1C.P 1 AP 2 1 D.P 2 1 AP 1解析：解析：7.设 A 为 3 阶矩阵，B=( 1 ， 2 ， 3 )， 1 为 AX=0 的解， 2 不是 AX=0 的解，又 r(AB) minr(A)，r(B)，则 r(AB)=( )（分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：因为 2 不是 AX=0 的解，所以 ABO，从而 r(AB)1； 显然 1 ， 2 不成
6、比例，则r(B)2， 由 r(AB) 8.对于任意两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)D(Y)C.X 和 Y 独立D.X 和 Y 不相关 解析：解析：因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Cov(X，Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0，于是 XY =0，即 X，Y 不相关，应选 D9.设(X 1 ，X 2 ，X n )(n2)为标准正态总体 X 的简单随机样本，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f(x)=e
7、 x sin2x，则 f (4) (0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：24）解析：解析：11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：当 t=0 时，x=113.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设 A 为三阶实对称矩阵， 为方程组 AX=0 的解， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：显然 为 A 的特征向量，其对应的特征值分别为 1 =0， 2 =2，因为
8、A 为实对称矩阵，所以考 1 T 2 =k 2 2k+1=0，解得 k=1，于是 又因为E+A=0，所以 3 =1 为 A的特征值， 15.设 X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别为来自相互独立的标准正态总体 X 与 Y 的简单随机样本， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(m+n2)）解析：解析：三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内三阶可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 f(0)=0，
9、f(0)=2 作多项式 P(x)=Ax 3 +Bx 2 +Cx+D，使得 P(0)=0，P(0)=2，P(1)=1，P(2)=6， 则 (x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，且 (0)=(1)=(2)=0 因此 (x)在0，1和1，2上都满足罗尔定理的条件，则存在 1 (0，1)， 2 (1，2)，使得 ( 1 )=( 2 )=0 又 (0)=0，由罗尔定理，存在 3 (0， 1 )， 2 ( 1 ， 2 )，使得 “( 1 )=“( 2 )=0，再由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：18.设 u=f(x 2 +y 2 ，xz)，z=z(x，y)由 e x +e y =e z 确
10、定，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 e x +e y =e z 得 )解析：19.设 f(x)连续，且 f(1)=0，f(1)=2，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 R=+，原级数的收敛域为(，+) )解析：21.求微分方程 y“+y2y=xe x +sin 2 x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 + 一 2=0， 特征值为 1 =2， 2 =1，y“+y2y=0 的通解为 y=C 1 e -2x +C 2 e x 设 y“+y
11、2y=xe x ， (*) y“+y2y=sin 2 x (*) )解析：22.设 B 为三阶非零矩阵， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 B 为三阶非零矩阵得 r(B)1，从而 BX=0 的基础解系最多有两个线性无关的解向量，于是 解得 a=3b 由 AX= 3 有解得 r(A)=r(A)， 由 解得 b=5，从而 a=15 由 1 ， 2 为 BX=0 的两个线性无关解得 3r(B)2，从而 r(B)1， 再由 r(B)1 得 r(B)=1， 1 ， 2 为 BX=0 的一个基础解系，故 BX=0 的通解为 )解析：23.设二次型 f(x z ，x 2 ，x 3 )=x 1 2
12、 +x 2 2 +x 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 1 x 3 +2bx 2 x 3 的秩为 1，且(0，1，1)T 为二次型的矩阵 A 的特征向量 (I)求常数 a，b； ()求正交变换 X=QY，使二次型 X T AX 化为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设随机变量 X 的分布律为 PX=k)=p(1p) k-1 (k=1，2，)，Y 在 1k 之间等可能取值，求PY=3)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A k =X=k(k=1，2，)，B=Y=3，P(BA 1 )=P(BA 2 )=0， P(BA k )= (k3)， 由全概率公式得 )解析：25.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i =X i （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 X 1 ，X 2 ，X n 独立且都服从正态分布，所以 Y 1 +Y n 服从正态分布， )解析：
