1、考研数学（数学三）模拟试卷 467 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设x n 与y n 均无界，z n 有界，则 ( )（分数：2.00）A.x n +y n 必无界B.x n y n 必无界C.x n +z n 必无界D.x n z n 必无界3.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导4.设 y(x)是初值问题 （分数：2.00）A.一 1 一 b+2aB.一 1+b 一 2aC.一 1 一
2、b 一 2aD.一 1+b+2a5.由方程 2y 3 一 2y 2 +2xy+yx 2 =0 确定的函数 y=y(x) ( )（分数：2.00）A.没有驻点B.有驻点但不是极值点C.有驻点且为极小值点D.有驻点且为极大值点6.设 A 是 3 阶非零矩阵，满足 A 2 =A，且 AE，则必有 ( )（分数：2.00）A.r(A)=1B.r(AE)=2C.r(A)一 1r(AE)一 2=0D.r(A)一 1r(AE)一 1=07.设 A 是 3 阶实对称矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个特征值，且满足 a 1 2 3 b，若 A 一 E 是正定阵，则参数 应满足 ( )（分数：2.00）A
3、.bB.bC.aD.a8.设 XN(，)，F(x)为其分布函数，0，则对于任意实数 a，有( )（分数：2.00）A.F(一 a)+F(a)1B.F(一 a)+F(a)=1C.F(a)+F(a)1D.F( 一 a)+F(+a)=9.甲乙两人约定 8 点到 12 点之间在某地会面，设两人 8 点后 X 与 Y(小时)到达会面地点，两人到达时间相互独立且均服从0，4上的均匀分布，则先到者的平均等待时间为 ( )（分数：2.00）A.B.C.1D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_11.某企业生产某产品，在单位时间上分摊到该产品的固定成本
4、为 c 0 元又设在单位时间内生产 x 件产品的边际成本为 ax+b(元件)，a0，b0，且均为常数则单位时间内生产 x 件产品的成本函数 c(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 a n = 0 1 x(1x) n1 dx，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 x0，则微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A，B 均是 n 阶矩阵，满足 AB=A+B，则 r(AB 一 BA+AE)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.独立重复试验中事件 A 发生的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应
5、写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f(u)具有连续的一阶导数，且当 x0，y0 时，z= 满足 （分数：2.00）_18.设 a 为正常数，f(x)=xe a 一 ae x x+a 证明：当 xa 时，f(x)0（分数：2.00）_19.设 D=(x，y)x2，y2，求二重积分 I= （分数：2.00）_20.设函数 f(x)=arctan(1 一 （分数：2.00）_21.设 I 1 = （分数：2.00）_22.()求方程组(*)的基础解系和通解。()问参数 a，b，c 满足什么条件时，方程组(*)和(*)是同解方程组? （分数：2.00）_23.已知 A 是
6、 n 阶实对称矩阵，满足 A 2 一 3A+2E=O，且 B=A 2 一 2A+3E ()求 B -1 ； ()证明：B正定（分数：2.00）_24.二维随机变量(X，Y)在(1，1)，(1，一 1)，(0，0)三点组成的三角形区域 D 上服从二维均匀分布，令U= （分数：2.00）_25.设某种电子器件的寿命(以小时计) T 服从参数为 的指数分布，其中 0 未知从这批器件中任取 n 只在时刻 t=0 时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间 T 0 结束，此时有 k(0kn)只器件失效 ()求一只器件在时间 T 0 未失效的概率； ()求 的最大似然估计（分数：2.00）_考研数学（数学三）
7、模拟试卷 467 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设x n 与y n 均无界，z n 有界，则 ( )（分数：2.00）A.x n +y n 必无界B.x n y n 必无界C.x n +z n 必无界 D.x n z n 必无界解析：解析：用反证法证明x n +z n 必无界设x n +z n 有界，且由题设z n 有界，则存在 M0与 M 1 0，对一切 n，x n +z n M 与z n M 1 ，有 x n =x n +z n +一 z
8、 n x n +z n +z n M+M 1 ， 从而x n 有界，与题设矛盾故应选(C)3.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导 D.可导解析：解析：具体计算出 F(x)如下： 当 x0 时，F(x)= -1 x f(t)dt= -1 x e t dt=e x e -1 ； 当 x0 时，F(x)= -1 x f(t)dt= -1 0 e t dt+ 0 x tz dt=1 一 e -1 + 再讨论(A)，(B)，(C)，(D)哪个选项正确 由 F(x)=1 一 e -1 ，F(0)=1 一 e -1 ，所以(A)，(B)都不正确 4.设 y(
9、x)是初值问题 （分数：2.00）A.一 1 一 b+2aB.一 1+b 一 2aC.一 1 一 b 一 2a D.一 1+b+2a解析：解析：y“+2y+y=e -x 的通解为 y=(C 1 +C 2 x+Ax 2 )e -x ， 其中 C 1 ，C 2 为任意常数，A 为某常数，而线性方程的通解为一切解由此 y=(C 2 一 C 1 )+(2AC 2 )x 一 Ax 2 e -x ， 可见，无论 C 1 ，C 2 ，A 是什么常数， 0 + xy(x)dx 均收敛于是由分部积分法和原给的式子 y=e -x 一 y“一2y，可得 0 + xy(x)dx= 0 + xdy(x)=xy(x) 0
10、 + 一 0 + y(x)dx =00 一 0 + e -x 一 y“(x)一 2y(x)dx =e -x +y(x)+2y(x) 0 + =(0+0+0)一1+y(0)+2y(0) =一 1 一 b 一 2a5.由方程 2y 3 一 2y 2 +2xy+yx 2 =0 确定的函数 y=y(x) ( )（分数：2.00）A.没有驻点B.有驻点但不是极值点C.有驻点且为极小值点 D.有驻点且为极大值点解析：解析：将所给方程两边对 x 求导数，y 看成由此式确定的 x 的函数，则有 6y 2 y一4yy+2y+2xy+y一 2x=0， (6y 2 一 4y+2x+1)y+2(yx)=0 先考虑驻点
11、，令 y=0，得 y=x再与原方程联立： 得 2x 3 一 2x 2 +2x 2 +xx 2 =0，即 x(2x 2 一 x+1)=0 由于 2x 2 一 x+1=0 无实根，故得唯一实根 x=0，相应地有 y=0在此点有 y=0故不选 A 再看此点是否为极值点，求二阶导数由 6.设 A 是 3 阶非零矩阵，满足 A 2 =A，且 AE，则必有 ( )（分数：2.00）A.r(A)=1B.r(AE)=2C.r(A)一 1r(AE)一 2=0D.r(A)一 1r(AE)一 1=0 解析：解析：A 是 3 阶非零矩阵，则 A0，r(A)1 AE，AE0，r(AE)1， 因 A 2 =A，即A(AE
12、)=O，得 r(A)+r(A 一 E)3，且 1r(A)2，1r(AE)2 故矩阵 A 和 AE 的秩 r(A)和r(AE)或者都是 1，或者一个是 1，另一个是 2即两个中至少有一个的秩为 1故(A)，(B)，(C)均是错误的，应选 D7.设 A 是 3 阶实对称矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个特征值，且满足 a 1 2 3 b，若 A 一 E 是正定阵，则参数 应满足 ( )（分数：2.00）A.bB.b C.aD.a解析：解析：A 是实对称阵，则 A 一 E 也是实对称阵A 一 E 的特征值为 1 一 ， 2 一 ， 3 一 ，且满足 a 一 1 一 2 一 3 一 b 一 当
13、 b 一 0 即 8.设 XN(，)，F(x)为其分布函数，0，则对于任意实数 a，有( )（分数：2.00）A.F(一 a)+F(a)1B.F(一 a)+F(a)=1C.F(a)+F(a)1 D.F( 一 a)+F(+a)=解析：解析：正态分布关于 x= 对称且 0，所以由概率密度图像知 F(一 a)+F(a)1，F( 一 a)+F(+a)=1， 所以选(C)9.甲乙两人约定 8 点到 12 点之间在某地会面，设两人 8 点后 X 与 Y(小时)到达会面地点，两人到达时间相互独立且均服从0，4上的均匀分布，则先到者的平均等待时间为 ( )（分数：2.00）A.B.C.1D. 解析：解析：由题
14、意知，(X，Y)服从区域 D=(x，y)0x4，0y4上的均匀分布，X 与 Y 相互独立，则 f(x，y)= ，其中(x，y)D先到者的等待时间为XY，故先到者的平均等待时间为二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由表达式可见，除 x=0，x=1 外，f(x)均连续 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以一=b 因为 f(x)在 x=1 处连续，所以 a+b=1 从而推知 f(x)为连续函数的充要条件是 a=11.某企业生产某产品，在单位时间上分摊到该产品的固定成本为 c 0 元又设在单位时间内生
15、产 x 件产品的边际成本为 ax+b(元件)，a0，b0，且均为常数则单位时间内生产 x 件产品的成本函数 c(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：在单位时间内生产 x 件产品的成本函数为 c(x)，边际成本就是 c(x)，已知 c(x)=ax+b 从而 c(x)= ax 2 +bx+c由题设条件 c(0)=c 0 (即不生产也应支出的固定成本)，于是知 c=c 0 从而 c(x)= 12.设 a n = 0 1 x(1x) n1 dx，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：121n 2）解析：解析：13.设 x0，则微分方程
16、 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x(x+C)，其中 C 为任意常数）解析：解析：y=14.设 A，B 均是 n 阶矩阵，满足 AB=A+B，则 r(AB 一 BA+AE)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n）解析：解析：由题设条件 AB=A+B，得 ABA 一 B+E=E，即 (AE)(B 一 E)=E， 从而知 AE 和 BE 是互逆矩阵且有(B 一 E)(AE)=BA 一 AB+E=E，即 BA=A+E， 则 AB=BA，且 r(AE)=r(BE)=n，故 r(ABBA+AE)=r(A 一 E)=n15.独立重复试验中事件 A 发生的
17、概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：法一 X 的所有可能取值为 0，1，2，其概率分布为 法二 若记 Y 为“A 第一次发生时的试验次数”，则 y 服从参数为 的几何分布，又随机变量 X=Y 一 1，则 EX=E(Y1)=EY 一 1 一三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f(u)具有连续的一阶导数，且当 x0，y0 时，z= 满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 设 u= ，于是上式变为常微分方程 则 z= )解析：18.设 a 为正常数，f
18、(x)=xe a 一 ae x x+a 证明：当 xa 时，f(x)0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(a)=0，f(x)=e a 一 ae x 一 1，f“(x)=一 ae x 0以下证明 f(a)0 令(a)=f(a)=e a 一 ae a 一 1，有 (a) a=0 =0，(a)=ae a 0(a0) 所以 (a)0(a0)，即 f(a)0(a0) 将 f(x)在 x=a 处按二阶泰勒公式展开： f(x)=f(a)+f(a)(xa)+ )解析：19.设 D=(x，y)x2，y2，求二重积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 D 关于 x 轴对称，关于 y
19、轴也对称，被积函数 f(x，y)=x 2 +y 2 一 1既是 x 的偶函数， 也是 y 的偶函数取平面区域 D 1 =(x，y)0x2，0y2， 由偶函数及相应的对称性的公式，有 I= x 2 +y 2 1d 再将 D 1 分成两块(如图)： G 1 =(x，y)(x，y)Dl 且 x 2 +y 2 1， G 2 =(x，y)(x，y)D1 且 x 2 +y 2 1， 于是 )解析：20.设函数 f(x)=arctan(1 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将函数 f(x)=arctan(1 )展开成 x 一 1 的幂级数，为使式子简单起见，令u=x 一 1， 于是 x=u+1，
20、 展开成 u 的幂级数(0)=arctan(一 1)=一 ， )解析：21.设 I 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 在第 2 个积分中，作积分变量代换，令 x= 时，t=0于是 当0x )解析：22.()求方程组(*)的基础解系和通解。()问参数 a，b，c 满足什么条件时，方程组(*)和(*)是同解方程组? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()方程组(*)的系数矩阵 已是阶梯形求得基础解系 1 =(一 1，2，一1，1，0) T ， 2 =(一 1，一 2，1，0，1) T ，方程组通解为 k 1 1 +k 2 2 =k 1 ，其中 k 1 ，k 2 为任意常数
21、 () 法一 方程组(*)和(*)是同解方程组，将 1 = 代入方程组(*)的第1，2 个方程，由 显然， 1 也满足方程组(*)的第 3 个方程 将 2 = 代入方程组(*)的第 3 个方程，由 3(一 1)+(一 2)+1+c=0，得 c=4 显然， 2 也满足方程组(*)的第 1，2 个方程 故知，当 a=一 1，b=一 2，c=4 时，由解的性质知方程组(*)的解全部是方程组(*)的解 反之，当 a=一1，b=一 2，c=4 时，方程组(*)的系数矩阵 方程组(*)的未知量个数 n=5，方程组(*)的基础解系由两个线性无关解组成，已验算方程组(*)的解全部是方程组(*)的解故方程组(*
22、)的解也全部是方程组(*)的解，方程组(*)和(*)是同解方程组 法二 方程组(*)和方程组(*)是同解方程组，方程组(*)和方程组(*)的系数行向量是等价向量组，可以相互表示，记方程组(*)的 3 个行向量为 1 ， 2 ， 3 ，方程组(*)的 3 个行向量为 1 ， 2 ， 3 ，将( 1 T ， 2 T ， 3 T ， 1 T ， 2 T ， 3 T )作初等行变换，化成阶梯形，得 当 a=一 1，b=一 2，c=4 时， 1 ， 2 ， 3 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示 反之，当 a=一 1，b=一 2，c=4 时，因 )解析：23.已知 A 是 n 阶实对称矩阵，满足 A 2
23、 一 3A+2E=O，且 B=A 2 一 2A+3E ()求 B -1 ； ()证明：B正定（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题设 A 2 一 3A+2E=O， 得 A 2 =3A 一 2E 代入 B，得 B=A 2 一 2A+3E=3A一 2E 一 2A+3E=A+E 又 A 2 一 3A+2E=(A+E)(A 一 4E)+6E=O， 即 (A+E)一 (A 一 4E)=E， 得B=A+E 可逆，且 B 2 =一 )解析：24.二维随机变量(X，Y)在(1，1)，(1，一 1)，(0，0)三点组成的三角形区域 D 上服从二维均匀分布，令U= （分数：2.00）_正确答案：(正确
24、答案：()由题意，知(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= 则(U，V)的联合分布列，PU=0，V=0)=PX05，Y0= ， PU=0，V=1)=PX05，Y0= ， PU=1，V=0=PX05，Y0= ， PU=1，V=1=PX05，y0= ， 由联合分布列可得，U，V 独立 ()先计算 Cov(U，Y)=E(UY)一 EUEY，其中 EY= - + - + yf(x，y)dxdy= 0 1 dx -x x ydy=0， E(UY)= - + - + uyf(x，y)dxdy= )解析：25.设某种电子器件的寿命(以小时计) T 服从参数为 的指数分布，其中 0 未知从这批器件中任取
25、n 只在时刻 t=0 时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间 T 0 结束，此时有 k(0kn)只器件失效 ()求一只器件在时间 T 0 未失效的概率； ()求 的最大似然估计（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()记 T 的分布函数为 F(t)，则 一只器件在 t=0 时投入试验，则在时间 T 0 以前失效的概率为 PTT 0 =F(T 0 )=1 一 ， 故在时间 T 0 未失效的概率为 PTT 0 =1 一F(T 0 )= ()考虑事件 A=试验直至时间 T 0 为止，有 k 只器件失效，n 一 k 只未失效的概率 由于各只器件的试验是相互独立的，因此事件 A 的概率为 L()=C n k (1 一 ) nk ， 这就是所求的似然函数取对数得 解得 的最大似然估计为 )解析：
