1、考研数学（数学二）模拟试卷 441 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f(x)= （分数：2.00）A.0B.1C.2D.33.设 f(x)满足： （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极小值点B.x=0 为 f(x)的极大值点C.x=0 不是 f(x)的极值点D.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点4.设 f(x)连续，且 f(0)=0，f(0)=3，D=(x，y)x 2 +y 2 t 2 ，t0，且 （分数：2.00）A.a=1，b=
2、3B.a=，b=3C.a=1，b=2D.a=，b=25.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可偏导C.可偏导但不可微D.可微分6.考虑二元函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的下面四条性质： 连续 可微 f x (x 0 ，y 0 )与f y (x 0 ，y 0 )存在 f x (x，y)与 f y (x，y)连续 若用“P=Q”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( )（分数：2.00）A.=B.=C.=D.=7.设 y=y(x)是微分方程 y“+(x1)y+x 2 y=e x 满足初始条件 y(0)=0，y(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.0B.
3、1C.2D.38.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 B 2 ，则 ABB.矩阵 A 的秩与 A 的非零特征值的个数相等C.若 A，B 的特征值相同，则 ABD.若 AB，且 A 可相似对角化，则 B 可相似对角化9.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.设 r(A)=r，则 A 有 r 个非零特征值，其余特征值皆为零B.设 A 为非零矩阵，则 A 一定有非零特征值C.设 A 为对称矩阵，A 2 =2A，r(A)=r，则 A 有 r 个特征值为 2，其余全为零D.设 A，B 为对称矩阵，且 A，B 等价，则 A，B
4、 特征值相同二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.极限 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)=e x sin2x，则 f (4) (0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_13.y=y(x)由 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.若 f(x)=2nx(1x) n ，记 M n = ，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f(x)在0，1上可导
5、，且 f(0)=0，0f(x)1，证明： 0 1 f(x)dx 2 0 1 f 3 (x)dx（分数：2.00）_18.设抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)及(1，2)，其中 a0，确定 a，b，c，使抛物线与 x 轴所围成的面积最小（分数：2.00）_19.设 f(u)二阶连续可导，z=f(e x siny)，且 （分数：2.00）_20.设 L： （分数：2.00）_21.已知微分方程 =(yx)z，作变换 u=x 2 +y 2 ，v= （分数：2.00）_22.计算二重积分 ，其中区域 D 是由直线 x=2，y=0，y=2 及曲线 x= （分数：2.00）_23.当陨石穿过
6、大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状若它在进入大气层开始燃烧的前 3s 内，减少了体积的 （分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_25.设 A 为三阶实对称矩阵，若存在三阶正交矩阵 Q= ，使得二次型 X T AX （分数：2.00）_考研数学（数学二）模拟试卷 441 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：
7、2.00）_解析：2.函数 f(x)= （分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析： 因为 f(00)f(0+0)，所以 x=0 为跳跃间断点； 因为 f(20)=0，f(2+0)=，所以 x=2 为第二类间断点；3.设 f(x)满足： （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极小值点 B.x=0 为 f(x)的极大值点C.x=0 不是 f(x)的极值点D.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点解析：解析：由 =0 得 f(0)=0，f(0)=0 当 x0 时，由 xf“(x)x 2 f 2 (x)=1e 2x 得f“(x)=xf 2 (x)+ 再由 f(x)二阶连续可导得 4.
8、设 f(x)连续，且 f(0)=0，f(0)=3，D=(x，y)x 2 +y 2 t 2 ，t0，且 （分数：2.00）A.a=1，b=3B.a=，b=3 C.a=1，b=2D.a=，b=2解析：解析：5.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可偏导C.可偏导但不可微 D.可微分解析：解析：当(x，y)(0，0)时，0f(x，y)= x， 由迫敛定理得 =0=f(0，0)，从而 f(x，y)在(0，0)处连续，(A)不对；6.考虑二元函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的下面四条性质： 连续 可微 f x (x 0 ，y 0 )与f y (x 0 ，y 0 )存
9、在 f x (x，y)与 f y (x，y)连续 若用“P=Q”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( )（分数：2.00）A.=B.= C.=D.=解析：解析：若 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处可微，若 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处可微，则 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处连续，选(B)7.设 y=y(x)是微分方程 y“+(x1)y+x 2 y=e x 满足初始条件 y(0)=0，y(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：因为 y(0)=0，y(0)=1，所以由 y“+(x1)y+x 2 y=e
10、x 得 y“(0)=2， 8.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 B 2 ，则 ABB.矩阵 A 的秩与 A 的非零特征值的个数相等C.若 A，B 的特征值相同，则 ABD.若 AB，且 A 可相似对角化，则 B 可相似对角化 解析：解析：由 AB 得 A，B 的特征值相同，设为 1 ， 2 ， n ，且存在可逆矩阵 P 1 ，使得 P 1 1 AP 1 =B，即 A=P 1 BP 1 1 ； 因为 A 可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P 2 ，使得 P 2 1 AP 2 = 9.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）
11、A.设 r(A)=r，则 A 有 r 个非零特征值，其余特征值皆为零B.设 A 为非零矩阵，则 A 一定有非零特征值C.设 A 为对称矩阵，A 2 =2A，r(A)=r，则 A 有 r 个特征值为 2，其余全为零 D.设 A，B 为对称矩阵，且 A，B 等价，则 A，B 特征值相同解析：解析：取 A= ，显然 A 的特征值为 0，0，1，但 r(A)=2，(A)不对； 设 A= 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 f(x)=e x sin2x，则 f (4) (0)= 1（分数：2.00）填空项
12、 1:_ （正确答案：正确答案：-24）解析：解析：12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.y=y(x)由 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(e 2 e 1 )）解析：解析：14.若 f(x)=2nx(1x) n ，记 M n = ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 f(x)=2n(1x) n 2n 2 x(1x) n1 =0，得 x= ，由 f(0)=f(1)=0， 15.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A
13、BA T =E+2BA T ，得 ABA T =(A T ) 1 A T +2BA T ，因为 A T 可逆，所以 AB=(A T ) 1 +2B 或 B=(A2E) 1 (A T ) 1 =A T (A2E) 1 ，解得 B= 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f(x)在0，1上可导，且 f(0)=0，0f(x)1，证明： 0 1 f(x)dx 2 0 1 f 3 (x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)= 0 x f(t)dt 2 0 x f 3 (t)dt，(0)=0，
14、 (x)=2f(x) 0 x f(t)dtf 3 (x)=f(x)2 0 x f(t)dtf 2 (x) 再令 h(x)=2 0 x f(t)dtf 2 (x)，h(0)=0，h(x)=2f(x)1f(x) 由 f(0)=0，0f(x)1 得 f(x)0(0x1)， 则 h(x)=2f(x)1f(x)0(0x1)， )解析：18.设抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)及(1，2)，其中 a0，确定 a，b，c，使抛物线与 x 轴所围成的面积最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)及(1，2)得 c=0，a+b=2 或 b=2a
15、，c=0 因为 a0，所以 b0，由 ax 2 +bx=0 得 x 1 =0，x 2 = 0 )解析：19.设 f(u)二阶连续可导，z=f(e x siny)，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 )解析：20.设 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先求切线与坐标轴围成的面积 设 M(x，y)L，过点 M 的 L 的切线方程 +yY=1 令 Y=0，得 x= ，切线与 X 轴的交点为 P( ，0)； 令 X=0，得 Y= ，切线与 y 轴交点为 Q(0， )， 切线与椭圆围成的图形面积为 S(x，y)= 其次求最优解 设F(x，y，)=xy+( +y 2 1)，
16、 )解析：21.已知微分方程 =(yx)z，作变换 u=x 2 +y 2 ，v= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：w=lnz(x+y)两边关于 x 求偏导得 w=lnz(x+y)两边关于 y 求偏导得 )解析：22.计算二重积分 ，其中区域 D 是由直线 x=2，y=0，y=2 及曲线 x= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线 x= 与 y 轴围成的平面区域为 D 0 ， )解析：23.当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过
17、程中始终保持球状若它在进入大气层开始燃烧的前 3s 内，减少了体积的 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设陨石体积为 V，表面积为 S，半径为 r，它们都是时间 t 的函数， )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 X=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 )，矩阵方程化为 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )，即 当 a=1，b=2，c=2 时，矩阵方程有解， )解析：25.设 A 为三阶实对称矩阵，若存在三阶正交矩阵 Q= ，使得二次型 X T AX （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =b， 因为不同特征值对应的特征向量正交，所以 a=1 A=2b，由A * =A 2 得 b=2 )解析：
