1、考研数学（数学二）模拟试卷 443 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(u)为 u 的连续函数，并设 f(0)=a0，又设平面区域 t =(x，y)|x|+|y|t，t0，(t)= （分数：2.00）A.aB.2aC.aD.03.微分方程 y2y+y=e x 的特解形式为 ( )（分数：2.00）A.y * =Ae x (A0)B.y * =(A+Bx)e x (B0)C.y * =(A+Bx+Cx 2 )e x (C0)D.y * =(A+B
2、x+Cx 2 +Dx 3 )e x (D0)4.设 f(x)在 x=a 处可导，则|f(x)|在 x=a 处不可导的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.f(a)=0， f(a)=0B.f(a)=0， f(a) 0C.f(a) 0，f(a)=0D.f(a) 0，f(a) 05.(，+)内零点的个数为 ( ) （分数：2.00）A.0B.1C.2D.无穷多6.考虑一元函数 f(x)的下列 4 条性质：f(x)在a，b上连续；f(x)在a，b上可积；f(x)在a，b上可导；f(x)在a，b上存在原函数以 P=Q 表示由性质 P 可推出性质 Q，则有 ( )（分数：2.00）A.=B.=C.=
3、D.=7.设当 x0 时，f(x)连续且严格单调递增，F(x)= 0 x (2tx)f(t)dt，则 F(x)在 x0 时 ( )（分数：2.00）A.没有驻点B.有唯一驻点且为极大值点C.有唯一驻点且为极小值点D.有唯一驻点但不是极值点8.设 A，B 均是 4 阶方阵，且 r(A)=3，A * ，B * 是矩阵 A，B 的伴随矩阵，则矩阵方程 A * X=B * 一定有解的充要条件是 ( )（分数：2.00）A.r(B)1B.r(B)2C.r(B)3D.r(B)49.设 则存在初等矩阵 （分数：2.00）A.P 1 P 2 AB.P 2 P 1 AC.AP 1 P 2 D.AP 2 P 1
4、二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 a k = 0 1 x 2 (1x) k dx，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设常数 a0由方程组 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_12.设 f(u)在 u=1 的某邻域内有定义且 f(1)=0， （分数：2.00）填空项 1:_13. 1 （分数：2.00）填空项 1:_14.微分方程 yy+(y) 2 =yy满足初始条件 y| x=0 =1，y| x=0 = （分数：2.00）填空项 1:_15.设 n 维(n3)向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，若向量组 l 1 1 ，m 3 2 2 ， 1 3 3 线性相
5、关，则 m，l 应满足条件 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.设 ，常数 a0，b0，ab求二重积分 I= （分数：2.00）_18.已知 f(u)有二阶连续导数，且 在 x0 时满足 （分数：2.00）_19.设 f(x)在区间(0，+)上连续，且严格单调增加试求证： （分数：2.00）_20.设平面区域 D 用极坐标表示为 D=(r，)| cosr cos， sinr sin求二重积分 （分数：2.00）_21.设 0x1，证明： （分数：2.00）_22.设三角形三边的长分别为 a，b
6、，c，此三角形的面积为 S求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值，并求出这三个相应的距离（分数：2.00）_设 f(x)在闭区间a，b上连续，常数 k0并设 (x)= x b f(t)dtk a x f(t)dt， 证明：（分数：4.00）(1).存在 a，b使 ()=0；（分数：2.00）_(2).若增设条件 f(x)0，则(I)中的 是唯一的，并且必定有 (a，b)（分数：2.00）_23.设方程组 有通解 k 1 1 +k 2 2 = k 1 (1，2，1，1) T + k 2 (0，1，3，2) T 方程组 有通解 1 1 + 2 2 = 1 (2，1，6， 1) T + 2 (1，2
7、，4，a+8) T 已知方程组 （分数：2.00）_A 是 3 阶矩阵，有特征值 1 = 2 =2，对应两个线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 =2 的特征向量是 3 （分数：6.00）(1).问 1 + 2 是否是 A 的特征向量?说明理由；（分数：2.00）_(2). 2 + 3 是否是 A 的特征向量?说明理由；（分数：2.00）_(3).证明任意三维非零向量 都是 A 2 的特征向量，并求对应的特征值（分数：2.00）_考研数学（数学二）模拟试卷 443 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中
8、，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(u)为 u 的连续函数，并设 f(0)=a0，又设平面区域 t =(x，y)|x|+|y|t，t0，(t)= （分数：2.00）A.aB.2aC.aD.0 解析：解析：令 D t =(x，y)|x 2 +y 2 t 2 )，于是 由于 f (u)连续且 f(0)=a0，所以存在T0，当 0t 2 T 时， 此外，关于 3 块区域，显然有 此外显然有 (0)=0于是有 令 t0 + 取极限，右边 由夹逼定理有 3.微分方程 y2y+y=e x 的特解形式为 ( )（分数：2.00）A.y * =Ae x (A0)B.y * =(A
9、+Bx)e x (B0)C.y * =(A+Bx+Cx 2 )e x (C0) D.y * =(A+Bx+Cx 2 +Dx 3 )e x (D0)解析：解析：因为方程右边 e x 指数上的 1 是特征方程的二重特征根，故特解形式为 y * =Ax 2 e x (A0)，即 C 中 C0 的形式故应选 C4.设 f(x)在 x=a 处可导，则|f(x)|在 x=a 处不可导的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.f(a)=0， f(a)=0B.f(a)=0， f(a) 0 C.f(a) 0，f(a)=0D.f(a) 0，f(a) 0解析：解析：若 f(a)0，则存在 x=a 的某邻域 U(
10、a)，在该邻域内 f(x)与 f(a)同号于是推知，当xU(a)时，若 f(a)0，则|f(x)| =f(x)；若 f(a) 从而知 5.(，+)内零点的个数为 ( ) （分数：2.00）A.0B.1C.2 D.无穷多解析：解析：f(x)为偶函数，f(0) ，所以在区间 内至少有 1 个零点，当 x0 时， 6.考虑一元函数 f(x)的下列 4 条性质：f(x)在a，b上连续；f(x)在a，b上可积；f(x)在a，b上可导；f(x)在a，b上存在原函数以 P=Q 表示由性质 P 可推出性质 Q，则有 ( )（分数：2.00）A.=B.= C.=D.=解析：解析：因可导必连续连续函数必存在原函数
11、，故 B 正确 A 是不正确的虽然由(连续)可推出(可积)，但由(可积)推不出(可导)例如 f(x)=|x|在1，1上可积，且 1 1 |x|dx=2 0 1 xdx=1，但|x|在 x=0 处不可导 C 是不正确的由(可积)推不出(存在原函数)，例如 在1，1上可积，且 1 1 f(x)dx= 1 0 (1)dx+ 0 1 1dx=x| 1 0 +x 0 1 =1+1=0 但 f(x)在1，1上不存在原函数因为如果存在原函数 F(x)，那么只能是 F(x)=|x|+C 的形式，而此函数在 x=0处不可导，在区间1，1上它没有做原函数的“资格” D 是不正确的因为由(存在原函数)推不出(函数连
12、续)例如： 它存在原函数 7.设当 x0 时，f(x)连续且严格单调递增，F(x)= 0 x (2tx)f(t)dt，则 F(x)在 x0 时 ( )（分数：2.00）A.没有驻点 B.有唯一驻点且为极大值点C.有唯一驻点且为极小值点D.有唯一驻点但不是极值点解析：解析：F(x)= 0 x (2tx)f(t)dt=2 0 x tf(t)dtx 0 x f(t)dt， F(x)=2xf(x)xf(x) 0 x f(t)dt= xf(x) 0 x f(t)dt = 0 x f(x)f(t)dt 由于 f(x)严格单调增加，可知当t(0，x)时，f(x)f(t)，故当 x0 时，F(x)= 0 x
13、f(x)f(t)dt0，也即 F(x)在 x0 时没有驻点故应选 A8.设 A，B 均是 4 阶方阵，且 r(A)=3，A * ，B * 是矩阵 A，B 的伴随矩阵，则矩阵方程 A * X=B * 一定有解的充要条件是 ( )（分数：2.00）A.r(B)1B.r(B)2 C.r(B)3D.r(B)4解析：解析：由题设条件知，r(A)=3，则 r(A * )=1 而当 r(B * )=1 时，有可能 r(A * B * )=2 如 9.设 则存在初等矩阵 （分数：2.00）A.P 1 P 2 A B.P 2 P 1 AC.AP 1 P 2 D.AP 2 P 1 解析：解析：B 是上三角阵，应作
14、初等行变换将 A 中下三角元素 a 21 =1，a 32 =2 消为 0， 故 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 a k = 0 1 x 2 (1x) k dx，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设常数 a0由方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析：方程两边对 x 求导，得 yz+xyz+xyz=0 及 x+yy=az将(x，y，z)=( a，a，a)代入得 y(a)+z(a)=1，y(a)z(a)=1解得 y(a)=1，z(a)=012.设 f(u)在 u
15、=1 的某邻域内有定义且 f(1)=0， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：积分区域如图所示，并用极坐标表示，得14.微分方程 yy+(y) 2 =yy满足初始条件 y| x=0 =1，y| x=0 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：此为缺 x 的可降阶二阶方程令 方程 yy+(y) 2 =yy化为 分解成 p=0 与 不满足初始条件解第二个方程，此为 p 关于 y 的一阶线性微分方程，变形为 再将 y| x=0 =1代入，得 C
16、2 =0故解得 15.设 n 维(n3)向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，若向量组 l 1 1 ，m 3 2 2 ， 1 3 3 线性相关，则 m，l 应满足条件 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：lm=6）解析：解析： 三、解答题(总题数：10，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.设 ，常数 a0，b0，ab求二重积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 其中 )解析：18.已知 f(u)有二阶连续导数，且 在 x0 时满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 整理得(1+u 2 )f+2uf
17、=0， 其中 ，f 中的自变量为 u，解上述方程，得 )解析：19.设 f(x)在区间(0，+)上连续，且严格单调增加试求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对第 1 个积分作变量代换，令 则 )解析：20.设平面区域 D 用极坐标表示为 D=(r，)| cosr cos， sinr sin求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 如图所示 D 为阴影部分，为清楚起见，4 个圆只画出有关的 4 个半圆 D关于直线 y=x 对称，被积函数也关于 y=x 对称交点 A，B，C 的直角坐标分别为 则 )解析：21.设 0x1，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
18、：等价于证明当 0x1 时， 经计算，F(1)=0，又 )解析：22.设三角形三边的长分别为 a，b，c，此三角形的面积为 S求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值，并求出这三个相应的距离（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 P 为三角形内的任意一点，该点到边长分别为 a，b，c 的边的距离分别为x，y，z，由三角形的面积公式有 求 f=xyz 在约束条件 ax+by+cz2S=0 下的最大值，令 W=xyz+(ax+by+cz2S)， 由拉格朗日乘数法，令 解得唯一驻点为 显然，当 P 位于三角形的边界上时，f=0，为最小值； 当 P 位于三角形内部时，f 存在最大值，由于驻点唯一，
19、 故当 )解析：设 f(x)在闭区间a，b上连续，常数 k0并设 (x)= x b f(t)dtk a x f(t)dt， 证明：（分数：4.00）(1).存在 a，b使 ()=0；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设易知 (a)= a b f(t)dt，(b)=k a b f(t)dt， (a)(b)=k a b f(t)dt 2 0 如果 a b =0，则 (a)(b)=0取 =a 或 =b，使 ()=0如果 a b f(t)dt0，则 (a)(b)解析：(2).若增设条件 f(x)0，则(I)中的 是唯一的，并且必定有 (a，b)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若增
20、设条件 f (x)0，则 (x)=f(x)k f(x)=(k+1)f(x)0 由于 f(x)连续且 f(x)0，所以 f(x)0 或者 f(x)0，所以 (x)在a，b上严格单调，则 (x)至多有一个零点，又由上一题知 (a)(b)0，则上一题中的 是唯一的且 (a，b)解析：23.设方程组 有通解 k 1 1 +k 2 2 = k 1 (1，2，1，1) T + k 2 (0，1，3，2) T 方程组 有通解 1 1 + 2 2 = 1 (2，1，6， 1) T + 2 (1，2，4，a+8) T 已知方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组(*)有非零解，即方程组(*)，方
21、程组(*)有非零公共解，设为 ，则 属于方程组(*)的通解，也属于方程组(*)的通解，即 =k 1 1 + k 2 2 = 1 1 + 2 2 ，其中 k 1 ，k 2 不全为零，且 1 ， 2 不全为零 得 k 1 1 + k 2 2 1 1 2 2 ， (*) (*)式有非零解=r( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )1 ， 2 ， 1 ， 2 )作初等行变换， 故当 a=8 时，方程组(*)有非零解 当 a=8 时，方程组(*)的系数矩阵经初等行变换化为 方程组(*)的非零公共解为 )解析：A 是 3 阶矩阵，有特征值 1 = 2 =2，对应两个线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 =2
22、 的特征向量是 3 （分数：6.00）(1).问 1 + 2 是否是 A 的特征向量?说明理由；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 + 2 仍是 A 的对应于 1 = 2 =2 的特征向量 因已知 A 1 =2 1 ，A 2 =2 2 ，故 A( 1 + 2 )= A 1 +A 2 =2 1 +2 2 =2( 1 + 2 )解析：(2). 2 + 3 是否是 A 的特征向量?说明理由；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 2 + 3 不是 A 的特征向量假设是，设其对应的特征值为 ，则有 A( 2 + 3 )=( 2 + 3 )， 得 2 2 2 3 2 3 =(2) 2 (
23、2+) 3 =0， 因2 和 2+ 不同时为零，故 2 ， 3 线性相关，这和不同特征值对应的特征向量线性无关矛盾，故 2 ， 3 不是 A 的特征向量)解析：(3).证明任意三维非零向量 都是 A 2 的特征向量，并求对应的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A 有特征值 1 = 2 =2， 3 =2，故 A 2 有特征值 1 = 2 = 2 =4对应的特征向量仍是 1 ， 2 ， 3 ，且 1 ， 2 ， 3 线性无关故存在可逆矩阵P=( 1 ， 2 ， 3 )，使得 P 1 A 2 P=4E，A 2 =P(4E)P 1 =4E， 从而对任意的 0，有 A 2 =4E=4，故知任意三维非零向量 都是 A 2 的对应于 =4 的特征向量)解析：
