1、特征向量与特征值及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)1.设 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则 A-1有一个特征值等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.零为方阵 A 的特征值是 A 不可逆的( )(A) 充分条件 (B) 充要条件 (C) 必要条件 (D) 无关条件（分数：4.00）A.B.C.D.3.已知向量 是矩阵 的逆矩阵 A1 的特征向量，则是的值为( )(A) 2 或-1 (B) -2 或 1 （分数：4.00）A.B.C.D.4.求下列矩阵的特征值（分数：4.00）_5.设方阵 （分数：4.00）_6.已知 3 阶阵 A 的特征值为 1，-1，2，设矩
2、阵 B=A3-5A2，试求：(1)B 的特征值；(2)|B|及|A-5E|（分数：4.00）_7.已知 （分数：4.00）_8.设 3 阶对称阵 A 的特征值为 1，2，3，对应的特征向量依次为： 1=(1，1，1) T， 2(1，2，4)T， 3=(1，3，9) T，给定向量 =(1，1，3) T(1)将 =(1，1，3) T用 1， 2， 3表示；(2)求出 Am（分数：4.00）_9.若三阶矩阵 A 的特征值是-1，1，2，则 A*+2E 的特征值是( )(A) 2，3，5 (B) -2，0，1 (C) 4，0，1 (D) 3，2，0（分数：4.00）A.B.C.D.10. （分数：4.
3、00）A.B.C.D.11.向量 X=(3，0，1) T是 （分数：4.00）A.B.C.D.12.=(1，1-1) T是矩阵 A 的特征向量，则 A=( )（分数：4.00）A.B.C.D.13.=(1，-1，a) T是 （分数：4.00）A.B.C.D.14.X=(1，-1，2) T是 （分数：4.00）A.B.C.D.15.A 为 3 阶矩阵，且 E-A，A-2E，3A+E 均不可逆，则|A+2E|=( )（分数：4.00）A.B.C.D.16.3 阶矩阵 A 的特征值是 1，2，-1 则(1)矩阵 A 可逆；(2)|2A+E|=-15；(3)A *的特征值是 1，-1，-2；(4)(A
4、-3E)x=0 只有 0 解正确命题的个数为( )(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1（分数：4.00）A.B.C.D.17.设 （分数：4.00）A.B.C.D.18.设矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.特征向量与特征值答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)1.设 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则 A-1有一个特征值等于( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：，选(C)2.零为方阵 A 的特征值是 A 不可逆的( )(A) 充分条件 (B) 充要条件 (C) 必要条件 (D) 无关条件（分数：4.00）A.B. C.D.解析：根据 1 2 3 n=|
5、A|，选(B)3.已知向量 是矩阵 的逆矩阵 A1 的特征向量，则是的值为( )(A) 2 或-1 (B) -2 或 1 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：因为 A-1存在，即 为 A-1的特征值， 为对应特征向量，所以 也为 A 的特征向量， 为对应特征值，A=，则由4.求下列矩阵的特征值（分数：4.00）_正确答案：( ，故特征值为 1=2， 2=3(2) 故 A 的特征值为 1=0， 2=-1， 3=9所以=(-2) 2(+7)=0 特征根 =2(二重)，=-7)解析：5.设方阵 （分数：4.00）_正确答案：(A 与 A 的特征多项式相同，即)解析：6.已知 3 阶阵 A 的特
6、征值为 1，-1，2，设矩阵 B=A3-5A2，试求：(1)B 的特征值；(2)|B|及|A-5E|（分数：4.00）_正确答案：(1)设 A 的特征值为 ，对应特征向量为 x，即 Ax=x，则 3-5 2为 A3-5A2的一个特征值，所以 B 的特征值为-4，-6，-12(2)|B|=(-4)(-6)(-12)=-288，A-5E 对应的特征值为-4，-6，-3，所以|A-5E|=(-4)(-6)(-3)=-72)解析：7.已知 （分数：4.00）_正确答案：(根据 )解析：8.设 3 阶对称阵 A 的特征值为 1，2，3，对应的特征向量依次为： 1=(1，1，1) T， 2(1，2，4)T
7、， 3=(1，3，9) T，给定向量 =(1，1，3) T(1)将 =(1，1，3) T用 1， 2， 3表示；(2)求出 Am（分数：4.00）_正确答案：(1)解方程( 1， 2， 3)x=，即解 ，所以 =2 1-2 2+ 3)解析：9.若三阶矩阵 A 的特征值是-1，1，2，则 A*+2E 的特征值是( )(A) 2，3，5 (B) -2，0，1 (C) 4，0，1 (D) 3，2，0（分数：4.00）A.B.C. D.解析：10. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：，选(C)11.向量 X=(3，0，1) T是 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：A=，0，称 是矩阵
8、A 的特征值12.=(1，1-1) T是矩阵 A 的特征向量，则 A=( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：，选(B)13.=(1，-1，a) T是 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：选(D)14.X=(1，-1，2) T是 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：选(C)15.A 为 3 阶矩阵，且 E-A，A-2E，3A+E 均不可逆，则|A+2E|=( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析： |E-A|=0 是 A 的特征值|A-2E|=|-(2E-A)|=(-1) 3|2E-A|=0， A 的特征值为1，2， ，所以 A+2E 的特征值为 3，4，16.3 阶矩阵 A 的特征值是 1，2，-1 则(1)矩阵 A 可逆；(2)|2A+E|=-15；(3)A *的特征值是 1，-1，-2；(4)(A-3E)x=0 只有 0 解正确命题的个数为( )(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1（分数：4.00）A.B. C.D.解析：因为17.设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：令 为 A 的特征向量，则 A=，18.设矩阵 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：A 相似于 B(AB)，所以(A-2E)(B-2E)，(A-E)(B-E)，那么每组的秩也相等
