1、 2013 年中考数学试题（ 湖北咸宁 卷） （本试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟） 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 （ 2013 年湖北咸宁 3 分） 如果温泉河的水位升高 0.8m 时水位变化记作 +0.8m，那么水位下降 0.5m 时水位变化记作【 】 A 0m B 0.5m C 0.8m D 0.5m 【答案】 D。 2 （ 2013 年湖北咸宁 3 分） 2012 年，咸宁全面推进 “省级战略，咸宁实施 ”，经济持续增长，全市人均 GDP 再攀新高，达到约 24000 元将 24000 用
2、科学记数法表示为【 】 A 2.4104 B 2.4103 C 0.24105 D 2.4105 【答案】 A。 3 （ 2013 年湖北咸宁 3 分） 下列学习用具中，不是轴对称图形的是【 】 A B C D 【答案】 C。 4 （ 2013 年湖北咸宁 3 分） 下列运算正确的是【 】 A a6a 2=a3 B 3a2b a2b=2 C（ 2a3） 2=4a6 D（ a+b） 2=a2+b2 【答案】 C。 5 （ 2013 年湖北咸宁 3 分） 如图，过正五边形 ABCDE 的顶点 A作直线 l BE，则 1 的度数为【 】 A 30 B 36 C 38 D 45 【答案】 B。 6 （
3、 2013 年湖北咸宁 3 分） 关于 x 的一元二次方程 2a 1 x 2 x 3 0 有实数根，则整数a 的最大值是【 】 A 2 B 1 C 0 D 1 【答案】 C。 7（ 2013 年湖北咸宁 3 分） 如图，正方形 ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分 EOFB， GHMN都是正方形的花圃已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为【 】 A 1732B C 1736D 1738【答案】 C。 8 （ 2013 年湖北咸宁 3 分） 如图，在平面直角坐标系中，以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，再分别以点 M、 N 为圆心
4、，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点 P若点 P 的坐标为（ 2a， b+1），则 a 与 b 的数量关系为【 】 A a=b B 2a+b= 1 C 2a b=1 D 2a+b=1 【答案】 B。 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 9 （ 2013 年湖北咸宁 3 分） 3 的倒数为 【答案】 1310 （ 2013 年湖北咸宁 3 分） 化简 2xxx 1 1 x的结果为 【答案】 。 11（ 2013 年湖北咸宁 3 分） 如图是正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体的表面上，与汉字 “香 ”相对的面上的汉字是 【答案】
5、泉。 12 （ 2013 年湖北咸宁 3 分） 已知 x2y1是二元一次方程组 mx ny 7nx my 1的解，则 m+3n 的立方根为 【答案】 2。 13 （ 2013 年湖北咸宁 3 分） 在数轴上，点 A（表示整数 a）在原点的左侧，点 B（表示整数 b）在原点的右侧若 |a b|=2013，且 AO=2BO，则 a+b 的值为 【答案】 671。 14 （ 2013 年湖北咸宁 3 分） 跳远运动员李刚对训练效果进行测试， 6 次跳远的成绩如下：7.6， 7.8， 7.7， 7.8， 8.0， 7.9（单位： m）这六次成绩的平均数为 7.8，方差为 160如果李刚再跳两次，成绩分
6、别为 7.7， 7.9则李刚 这 8 次跳远成绩的方差 （填 “变大 ”、 “不变 ”或 “变小 ”） 【答案】 变小。 15 （ 2013 年湖北咸宁 3 分） 如图，在 Rt AOB中， OA=OB= 32， O 的半径为 1，点 P是 AB 边上的动点，过点 P 作 O 的一条切线 PQ（点 Q 为切点），则切线 PQ 的最小值为 【答案】 22。 16 （ 2013 年湖北咸宁 3 分） “龟兔首次赛跑 ”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场图中的函数图象刻画了 “龟兔再次赛跑 ”的故事（ x 表示乌龟从起点出发所行的时间， y1 表示乌龟所行的路程， y2 表
7、示兔子所行的路程）有下列说法： “龟兔再次赛跑 ”的路程为 1000 米； 兔子和乌龟同时从起点出发； 乌龟在途中休息了 10 分钟； 兔子在途中 750 米处追上乌龟 其中正确的说法是 （把你认为正确说法的序号都填上） 【答案】 。 三、解答题（共 8 小题，满分 72 分） 17 （ 2013 年湖北咸宁 10 分） （ 1） （ 2013 年湖北咸宁 5 分） 计算： 111 2 | 2 3 |2 【答案】 解：原式 = 2 3 2 3 2 3 。 （ 2） （ 2013 年湖北咸宁 5 分） 解不等式组： x 6 3 x 41 2 x x 13 【答案】 解：解不等式 x+63x+4，
8、得； x1， 解不等式 1 2x x 13 ，得： x 4， 原不等式组的解集为： 1x 4。 18 （ 2013 年湖北咸宁 7 分） 在咸宁创建 ”国家卫生城市 “的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁植 “景观树 ”的力度，平均每天比原计划多植 5 棵，现在植 60 棵所需的时间与原计划植 45 棵所需的时间相同，问现在平均每天植多少棵树？ 【答案】 解：设现在平均每天植树 x 棵，则原计划平均每天植树（ x 5）棵依题意得： 60 45x x 5 ， 解得： x=20， 经检验， x=20 是方程的解，且符合题意。 答：现在平均每天植树 20 棵。 19 （ 2013 年湖北咸宁
9、8 分） 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=2x+b（ b 0）与坐标轴交于 A， B两点，与双曲线 kyx（ x 0）交于 D 点，过点 D 作 DC x 轴，垂足为 G，连接 OD已知 AOB ACD （ 1）如果 b= 2，求 k 的值； （ 2）试探究 k 与 b 的数量关系，并写出直线 OD 的解析式 【答案】 解：（ 1）当 b= 2 时，直线 y=2x 2 与坐标轴交点的坐标为 A（ 1， 0）， B（ 0，2）， AOB ACD， CD=DB=2， AO=AC=1。 点 D 的坐标为（ 2， 2）。 点 D 在双曲线 kyx（ x 0）的图象上， k=22=4。 （ 2）直线
10、 y=2x+b 与坐标轴交点的坐标为 A（ b2， 0）， B（ 0， b）， AOB ACD， CD=OB= b， AO=AC= b2， 点 D 的坐标为（ b， b）。 点 D 在双曲线 kyx（ x 0）的图象上， 2k b b b ，即 k 与 b 的数量关系为： 2kb 。 直线 OD 的解析式为： y=x。 20 （ 2013 年湖北咸宁 8 分） 如图， ABC 内接于 O， OC 和 AB相交于点 E，点 D 在 OC的延长线上，且 B= D= BAC=30 （ 1）试判断直线 AD 与 O 的位置关系，并说明理由； （ 2） AB=63，求 O 的半径 【答案】 解：（ 1）
11、直线 AD 与 O 相切。理由如下： 如图，连接 OA， B=30， AOC=2 B=60。 又 D=30， OAD=180 AOD D=90。 OA AD。 OA 为半径， AD 是 O 的切线。 （ 2） OA=OC， AOC=60， ACO 是等边三角形。 ACO=60， AC=OA。 AEC=180 EAC ACE=90。 OC AB， 又 OC 是 O 的半径， AE=AB= 1 6 3 3 32 。 在 Rt ACE 中， A E 3 3A C 6s i n A C E 32 ， O 的半径为 6。 21 （ 2013 年湖北咸宁 8 分） 在对全市初中生进行的体质健康测试中，青少
12、年体质研究中心随机抽取的 10 名学生的坐位体前屈的成绩（单位：厘米）如下： 11.2， 10.5， 11.4， 10.2， 11.4， 11.4， 11.2， 9.5， 12.0， 10.2 （ 1）通过计算，样本数据（ 10 名学生的成绩）的平均数是 10.9，中位数是 ，众数是 ； （ 2）一个学生的成绩是 11.3 厘米，你认为他的成绩如何？说明理由； （ 3）研究中心确定了一个标准成绩，等于或大于这个成绩的学生该项素质被评定为 “优秀 ”等级，如果全市有一半左右的学生能够达到 “优秀 ”等级，你认为标准成绩定为多少？说明理由 【答案】 解：（ 1） 11.2； 11.4。 （ 2）方
13、法 1：根据（ 1）中得到的样本数据的结论，可以估计，在这次坐位体前屈的成绩测试中，全市大约有一半学生的成绩大于 11.2 厘米，有一半学生的成绩小于11.2 厘米，这位学生的成绩是 11.3 厘米，大于中位数 11.2 厘米，可以推测他的成绩比一半以上学生的成绩好。 方法 2：根据（ 1）中得到的样本数据的结论，可以估计，在这次坐位体前屈的成绩测试中，全市学生的平均成绩是 10.9 厘米，这位学生的成绩是 11.3 厘米，大于平均成绩 10.9 厘米，可以推测他的成绩比全市学生的平均成绩好。 （ 3）如果全市有一半左右的学生评定为 “优秀 ”等级，标准成绩应定为 11.2 厘米（中位数）因为
14、从样本情况看，成绩在 11.2 厘米以上（含 11.2 厘米）的学生占总人数的一半左右可以估计，如果标准成绩定为 11.2 厘米，全市将有一半左右的学生能够评定为 “优秀 ”等级。 22 （ 2013 年湖北咸宁 9 分） 为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯已知这种节能灯的成本价为每件 10 元，出厂价为每件 12 元，每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系近似满足一次函数： y= 10x+500 （ 1）李明在开始创业的第一个
15、月将销售单价定为 20 元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？ （ 2）设李明获得的利润为 w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （ 3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25 元如果李明想要每月获得的利润不低于 300 元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 【答案】 解：（ 1）当 x=20 时， y= 10x+500= 1020+500=300， 300（ 12 10） =3002=600， 政府这个月为他承担的总差价为 600 元。 （ 2）依题意得， 22w x 1 0 1 0 x 5 0 0 1 0 x 6 0 0 x 5 0 0 0 1 0
16、x 3 0 4 0 0 0 S， a= 10 0， 当 x=30 时， w 有最大值 4000。 当销售单价定为 30 元时，每月可获得最大利润 4000 （ 3）由题意得： 10x2+600x 5000=3000， 解得： x1=20， x2=40。 a= 10 0，抛物线开口向下， 结合图象可知：当 20x40 时， w3000。 又 x25， 当 20x25 时， w3000。 设政府每个月为他承担的总差价为 p 元， p 1 2 1 0 1 0 x 5 0 0 2 0 x 1 0 0 0 。 k= 20 0， p 随 x 的增大而减小。 当 x=25 时， p 有最小值 500。 销售
17、单价定为 25 元时，政府每个月为他承担的总差价最少为 500 元。 23 （ 2013 年湖北咸宁 10 分） 阅读理解： 如图 1，在四边形 ABCD 的边 AB上任取一点 E（点 E 不与点 A、点 B重合），分别连接 ED，EC，可以把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD的边 AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把 E叫做四边形 ABCD的边 AB 上的强相似点解决问题： （ 1）如图 1， A= B= DEC=55，试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点，并说明理由； （ 2）如图 2，在矩形
18、ABCD 中， AB=5， BC=2，且 A， B， C， D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为 1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图 2 中画出矩形ABCD 的边 AB 上的一个强相似点 E； 拓展探究： （ 3）如图 3，将矩形 ABCD 沿 CM 折叠，使点 D 落在 AB 边上的点 E 处若点 E 恰好是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点，试探究 AB 和 BC 的数量关系 【答案】 解：（ 1）点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点。理由如下： A=55， ADE+ DEA=125。 DEC=55， BEC+ DEA=125。 ADE=
19、BEC。 A= B， ADE BEC。 点 E 是四边形 ABCD 的 AB 边上的相似点。 （ 2）作图如下： （ 3） 点 E 是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点， AEM BCE ECM。 BCE= ECM= AEM。 由折叠可知： ECM DCM， ECM= DCM， CE=CD。 BCE= BCD=30。 BE=CE=AB。 在 Rt BCE 中， BEt a n B C E t a n 3 0BC ， BE 3BC 3， AB 2 3BC 3。 24 （ 2013 年湖北咸宁 12 分） 如图，已知直线 1y x 13与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将 A
20、OB绕点 O 顺时针旋转 90后得到 COD （ 1）点 C 的坐标是 ，线段 AD 的长等于 ； （ 2）点 M 在 CD 上，且 CM=OM，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 G， M，求抛物线的解析式； （ 3）如果点 E 在 y 轴上，且位于点 C 的下方，点 F 在直线 AC 上，那么在（ 2）中的抛物线上是否存在点 P，使得以 C， E， F， P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长 l；若不存在，请说明理由 【答案】 解：（ 1）（ 0， 3）； 4。 （ 2） CM=OM， OCM= COM。 OCM+ ODM= COM+ MOD=90， ODM= MOD。 O
21、M=MD=CM。 点 M 是 CD 的中点， 点 M 的坐标为（，）。 抛物线 y=x2+bx+c 经过点 C， M， c31 1 3bc4 2 2 ，解得： 7b2c3 。 抛物线 y=x2+bx+c 的解析式为：2 7y x x 32 。 （ 3）抛物线上存在点 P，使得以 C， E， F， P 为顶点的四边形是菱形。 情形 1：如图 1，当点 F 在点 C 的左边时，四边形 CFEP 为菱形， FCE=PCE。 由题意可知， OA=OC， ACO= PCE=45。 FCP=90。 菱形 CFEP 为正方形。 过点 P 作 PH CE，垂足为 H， 则 Rt CHP 为等腰直角三角形。 C
22、P= 2 CH= 2 PH。 设点 P 为（ x， 2 7x x 32），则 OH= 2 7x x 32， PH=x， PH=CH=OC OH， 2 73 x x 3 x2 ，解得： x1=， x2=0（舍去）。 CP= 2 CH= 5 5 2222。 菱形 CFEP 的周长 l 为： 52 4 10 22 。 情形 2：如图 2，当点 F 在点 C 的右边时，四边形 CFPE为菱形， CF=PF， CE FP。 直线 AC 过点 A（ 3， 0），点 C（ 0， 3）， 直线 AC 的解析式为： y=x+3。 过点 C 作 CM PF，垂足为 M， 则 Rt CMF 为等腰直角三角形， CM=FM。 延长 PF 交 x 轴于点 N，则 PN x 轴， PF=FN PN。 设点 P 为（ x，2 7x x 32），则点 F 为（ x， x+3）， 2279F C 2 x F P x 3 x x 3 x x22 ，。 2 92 x x x2 ，解得： 1 9x22， x2=0（舍去）。 99F C 2 x 2 2 2 222 。 菱形 CFEP 的周长 l 为： 9 2 2 4 1 8 2 82 ）。 综上所述，这样的菱形存在，它的周长为 10 2 或 18 2 8 。
