1、 辽宁省大连市 2013年中考数学试卷 一、选择题（本题 8 小题，每小题 3 分，共 24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1（ 3 分）（ 2013大连） 2 的相反数是（ ） A 2 B C D 2 解答： 解： 2 的相反数是 2故选 D 2（ 3 分）（ 2013大连）如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的，这个几何体的俯视图是（ ） A B C D 解答： 解：从上面看易得三个横向排列的正方形 故选 A 3（ 3 分）（ 2013大连）计算（ x2） 3 的结果是（ ） A x B 3x2 C x5 D x6 解答： 解：（ x2） 3=x6， 故选： D
2、4（ 3 分）（ 2013大连）一个不透明的袋子中有 3 个红球和 2 个黄球，这些球除颜色外完全相同从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为（ ） A B C D 解答： 解；袋子中球的总数为： 2+3=5， 取到黄球的概率为： 故选： B 5（ 3 分）（ 2013大连）如图，点 O 在直线 AB 上，射线 OC 平分 DOB若 COB=35，则 AOD 等于（ ） A 35 B 70 C 110 D 145 解答： 解： 射线 OC 平分 DOB BOD=2 BOC， COB=35， DOB=70， AOD=180 70=110， 故选： C 6（ 3 分）（ 2013大连）若关于 x
3、的方程 x2 4x+m=0 没有实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） A m 4 B m 4 C m 4 D m 4 解答： 解： =（ 4） 2 4m=16 4m 0， m 4 故选 D 7（ 3 分）（ 2013大连）在一次 “爱心互助 ”捐款活动中，某班第一小组 8 名同学捐款的金额（单位：元）如下表所示： 金额 /元 5 6 7 10 人数 2 3 2 1 这 8 名同学捐款的平均金额为（ ） A 3.5 元 B 6 元 C 6.5 元 D 7 元 解答： 解：根据题意得： （ 52+63+72+101） 8=6.59（元）； 故选 C 8（ 3 分）（ 2013大连） P 是 AO
4、B内一点，分别作点 P 关于直线 OA、 OB的对称点 P1、 P2，连接 OP1、OP2，则下列结论正确的是（ ） A OP1 OP2 B OP1=OP2 C OP1 OP2 且 OP1=OP2 D OP1OP2 解答： 解：如图， 点 P 关于直线 OA、 OB的对称点 P1、 P2， OP1=OP2=OP， AOP= AOP1， BOP= BOP2， P1OP2= AOP+ AOP1+ BOP+ BOP2， =2（ AOP+ BOP）， =2 AOB， AOB度数任意， OP1 OP2 不一定成立 故选 B 二、填空题（本题 8 小题，每小题 3 分，共 24分） 9（ 3 分）（ 20
5、13大连）因式分解： x2+x= x（ x+1） 解答： 解： x2+x=x（ x+1） 10（ 3 分）（ 2013大连）在平面直角坐标系中，点（ 2， 4）在第 四 象限 解答： 解：点（ 2， 4）在第四象限 故答案为：四 11（ 3 分）（ 2013大连）把 16000 000 用科学记数法表示为 1.6107 解答： 解：将 16 000 000 用科学记数法表示为： 1.6107 故答案为： 1.6107 12（ 3 分）（ 2013大连）某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示： 移植总数（ n） 400 750 1500 3500 7000 9000 14
6、000 成活数（ m） 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 根据表中数据，估计这种幼树移植成活率的概率为 0.9 （精确到 0.1） 解答： 解： =（ 0.923+0.883+0.890+0.915+0.905+0.897+0.902） 70.9， 这种幼树移植成活率的概率约为 0.9 故本题答案为： 0.9 13（ 3 分）（ 2013大连）化简： x+1 = 解答： 解：原式 = = = 故答案为： 14（ 3 分）（ 2013大连）用一个圆心角为 90半径为
7、32cm 的扇形作为一个圆锥的侧面（接缝处不重叠），则这个圆锥的底面圆的半径为 8 cm 解答： 解： =16， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长， 圆锥的底面周长是 16cm， 设圆锥的底面半径是 r， 则得到 2r=16， 解得： r=8（ cm） 故答案为： 8 15（ 3 分）（ 2013大连）如图，为了测量河的宽度 AB，测量人员在高 21m 的建筑物 CD 的顶端 D 处测得河岸 B处的俯角为 45，测得河对岸 A处的俯角为 30（ A、 B、 C 在同一条直线上），则河的宽度 AB 约为 15.3 m（精确到 0.1m）（参考数据： 1.41， ， 1.73） 解答： 解：
8、在 Rt ACD 中， CD=21m， DAC=30， 则 AC= CD36.3m； 在 Rt BCD 中， DBC=45， 则 BC=CD=21m， 故 AB=AC BC=15.3m 故答案为： 15.3 16（ 3 分）（ 2013大连）如图，抛物线 y=x2+bx+与 y 轴相交于点 A，与过点 A平行于 x 轴的直线相交于点B（点 B在第一象限）抛物线的顶点 C 在直线 OB上，对称轴与 x 轴相交于点 D平移抛物线，使其经过点 A、 D，则平移后的抛物线的解 析式为 y=x2 x+ 解答： 解： 令 x=0，则 y=， 点 A（ 0，）， 根据题意，点 A、 B关于对称轴对称， 顶点
9、 C 的纵坐标为 =， 即 =， 解得 b1=3， b2= 3， 由图可知， 0， b 0， b= 3， 对称轴为直线 x= =， 点 D 的坐标为（， 0）， 设平移后的抛物线的解析式为 y=x2+mx+n， 则 ， 解得 ， 所以， y=x2 x+ 故答案为： y=x2 x+ 三、解答题（本题共 4 小题，其中 17、 18、 19题各 9分， 20题 12 分，共 39分） 17（ 9 分）（ 2013大连）计算：（） 1+（ 1+ ）（ 1 ） 解答： 解：原式 =5+1 3 2 =3 2 18（ 9 分）（ 2013大连）解不等式组： 解答： 解：解不等式 得： x 2 解不等式 得
10、： x 4 在数轴上分别表示 的解集为： 不等式的解集为： x 4 19（ 9 分）（ 2013大连）如图， ABCD 中，点 E、 F 分别在 AD、 BC 上，且 AE=CF求证： BE=DF 解答： 证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC， AD=BC， AE=CF， DE=BF， DE BF， 四边形 DEBF 是平行四边形， BE=DF 20（ 12 分）（ 2013大连）以下是根据 2012 年大连市环境状况公报中有关海水浴场环境质量和市区空气质量级别的数据制作的统计图表的一部分（ 2012 年共 366 天） 大连市 2012 年海水浴场环境质量监测结果统计表，监测
11、时段： 2012 年 7 月至 9 月 浴场名称 优（ %） 良（ %） 差（ %） 浴场 1 25 75 0 浴场 2 30 70 0 浴场 3 30 70 0 浴场 4 40 60 0 浴场 5 50 50 0 浴场 6 30 70 0 浴场 7 10 90 0 浴场 8 10 50 40 根据以上信息，解答下列问题： （ 1） 2012 年 7 月至 9 月被监测的 8 个海水浴场环境质量最好的是 浴场 5 （填浴场名称），海水浴场环境质量为优的数据的众数为 30 %，海水浴场环境质量为良的数据的中位数为 70 %； （ 2） 2012 年大连市区空气质量达到优的天数为 129 天，占全
12、年（ 366）天的百分比约为 35.2% （精确到 0.1%）； （ 3）求 2012 年大连市区空气质量为良的天数（按四舍五入，精确到个位） 解答： 解：（ 1） 2012 年 7 月至 9 月被监测的 8 个海水浴场环境质量最好的是浴场 5， 海水浴场环境质量为优的数据 30 出现了 3 次，出现的次数最多， 则海水浴场环境质量为优的数据的众数为 30； 把海水浴场环境质量为良的数据从小到大排列为： 50， 50， 60， 70， 70， 70， 75， 90， 海水浴场环境质量为良的数据的中位数为（ 70+70） 2=70； 故答案为：浴场 5， 30， 70； （ 2）从条形图中可以看
13、出 2012 年大连市区空气质量达到优的天数为 129 天， 所占的百分比是 100%=35.2%； 故答案为： 129， 35.2%； （ 3）污染的天数是： 3663.8%14（天）， 良的天数是 366 129 14=223（天）， 答： 2012 年大连市区空气质量为良的天数是 223 天 四、解答题（本题共 3 小题，其中 21、 22 题各 9分， 23题 10 分，共 28分） 21（ 9 分）（ 2013大连）某超市购进 A、 B两种糖果， A种糖果用了 480 元， B种糖果用了 1260 元， A、 B两种糖果的重量比是 1： 3， A种糖果每千克的进价比 B种糖果每千克的
14、进价多 2 元 A、 B两种糖果各购进多少千克？ 解答： 解：设 A种糖果购进 x 千克，则 B种糖果购进 3x 千 克，根据题意得： =2， 解得： x=30， 经检验 x=30 是原方程的解， 则 B购进的糖果是： 303=90（千克）， 答： A种糖果购进 30 千克， B种糖果购进 90 千克 22（ 9 分）（ 2013大连）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y=的图象相交于点 A（ m， 1）、 B（ 1， n），与 x 轴相交于点 C（ 2， 0），且 AC= OC （ 1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （ 2）直接写出不等式
15、ax+b的解集 解答： 解：（ 1）过 A作 AD x 轴，可得 AD=1， C（ 2， 0），即 OC=2， OA= OC= ， 在 Rt ACD 中，根据勾股定理得： CD=1， OD=OC+CD=2+1=3， A（ 3， 1）， 将 A与 C 坐标代入一次函数解析式得： ， 解得： a=1， b= 2， 一次函数解析式为 y=x 2； 将 A（ 3， 1）代入反比例解析式得： k=3， 则反比例解析式为 y=； （ 2）将 B（ 1， n）代入反比例解析式得： n= 3，即 B（ 1， 3）， 根据图形得：不等式 ax+b的解集为 1x 0 或 x3 23（ 10 分）（ 2013大连）
16、如图， AB 是 O 的直径， CD 与 O 相切于点 C， DA AB， DO 及 DO 的延长线与 O 分别相交于点 E、 F， EB 与 CF 相交于点 G （ 1）求证： DA=DC； （ 2） O 的半径为 3， DC=4，求 CG 的长 解答： （ 1）证明：连接 OC， DC 是 O 切线， OC DC， OA DA， DAO= DCO=90， 在 Rt DAO 和 Rt DCO 中 Rt DAO Rt DCO（ HL）， DA=DC （ 2）解：连接 BF、 CE、 AC， 由切线长定理得： DC=DA=4， DO AC， DO 平分 AC， 在 Rt DAO 中， AO=3，
17、 AD=4，由勾股定理得： DO=5， 由三角形面积公式得： DAAO=DOAM， 则 AM= ， 同理 CM=AM= ， AC= AB 是直径， ACB=90， 由勾股定理得： BC= = GCB= GEF， GFE= GBC，（圆周角定理） BGC EGF， = = =， 在 Rt OMC 中， CM= ， OC=3，由勾股定理得： OM=， 在 Rt EMC 中， CM= ， ME=OE OM=3 =，由勾股定理得： CE= ， 在 Rt CEF 中， EF=6， CE= ，由勾股定理 得： CF= CF=CG+GF， =， CG=CF= = 五、解答题（本题共 3 小题，其中 24 题
18、 11 分， 25、 26 题各 12分，共 35分） 24（ 11 分）（ 2013大连）如图，一次函数 y= x+4 的图象与 x 轴、 y 轴分别相交于点 A、 B P 是射线 BO上的一个动点（点 P 不与点 B重合），过点 P 作 PC AB，垂足为 C，在射线 CA 上截取 CD=CP，连接 PD设BP=t （ 1） t 为何值时，点 D 恰好与点 A重合？ （ 2）设 PCD 与 AOB重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出 t 的取值范围 解答： 解：（ 1）在一次函数解析式 y= x+4 中，令 x=0，得 y=4；令 y=0，得 x=3， A（ 3，
19、 0）， B（ 0， 4） 在 Rt AOB中， OA=3， OB=4，由勾股定理得： AB=5 在 Rt BCP 中， CP=PBsin ABO=t， BC=PBcos ABO=t， CD=CP=t 若点 D 恰好与点 A重合，则 BC+CD=AB，即 t+t=5， 解得： t= ， 当 t= 时，点 D 恰好与点 A重合 （ 2）当点 P 与点 O 重合时， t=4； 当点 C 与点 A重合时，由 BC=BA，即 t=5，得 t= 点 P 在射线 BO 上运动的过程中： 当 0 t 时，如题图所示： 此时 S=S PCD=CPCD=tt= t2； 当 t4 时，如答图 1 所示，设 PC
20、与 x 轴交于点 E BD=BC+CD=t+t=t， 过点 D 作 DN y 轴于点 N，则 ND=BDsin ABO=t= t， BN=BDcos ABO=t= t PN=BN BP= t t= t， ON=BN OB= t 4 ND x 轴， ，即 ，得： OE=28 7t AE=OA OE=3（ 28 7t） =7t 25 故 S=S PCD S ADE=CPCD AEON= t2（ 7t 25）（ t 4） = t2+28t 50； 当 4 t 时，如答图 2 所示，设 PC 与 x 轴交于点 E AC=AB BC=5 t， tan OAB= =， CE=ACtan OAB=（ 5 t
21、） = t 故 S=S ACE=ACCE=（ 5 t） （ t） = t2 t+ ； 当 t 时，无重合部分，故 S=0 综上所述， S 与 t 的函数关系式为： S= 25（ 12 分）（ 2013大连）将 ABC 绕点 B逆时针旋转 得到 DBE， DE 的延长线与 AC 相交于点 F，连接 DA、 BF （ 1）如图 1，若 ABC=60， BF=AF 求证： DA BC； 猜想线段 DF、 AF 的数量关系，并证明你的猜想； （ 2）如图 2，若 ABC ， BF=mAF（ m 为常数），求 的值（用含 m、 的式子表示） 解答： （ 1）证明： 由旋转性质可知， DBE= ABC=6
22、0， BD=AB ABD 为等边三角形， DAB=60， DAB= ABC， DA BC 猜想： DF=2AF 证明：如答图 1 所示，在 DF 上截取 DG=AF，连接 BG 由旋转性质可知， DB=AB， BDG= BAF 在 DBG 与 ABF 中， DBG ABF（ SAS）， BG=BF， DBG= ABF DBG+ GBE=60， GBE+ ABF=60，即 GBF=60， 又 BG=BF， BGF 为等边三角形， GF=BF，又 BF=AF， GF=AF DF=DG+GF=AF+AF=2AF （ 2）解：如答图 2 所示，在 DF 上截取 DG=AF，连接 BG 由（ 1），同理
23、可证明 DBG ABF， BG=BF， GBF= 过点 B作 BN GF 于点 N， BG=BF， 点 N 为 GF 中点， FBN= 在 Rt BFN 中， NF=BFsin FBN=BFsin =mAFsin GF=2NF=2mAFsin DF=DG+GF=AF+2mAFsin ， =1+2msin 26（ 12 分）（ 2013大连）如图，抛物线 y= x2+ x 4 与 x 轴相交于点 A、 B，与 y 轴相交于点 C，抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 M P 是抛物线在 x 轴上方的一个动点（点 P、 M、 C 不在同一条直线上）分别过点 A、 B作直线 CP 的垂线，垂足分别为 D
24、、 E，连接点 MD、 ME （ 1）求点 A， B的坐标（直接写出结果），并证明 MDE 是等腰三角形； （ 2） MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点 P 的坐标；若不能，说明理由； （ 3）若将 “P 是抛物线在 x 轴上方的一个动点（点 P、 M、 C 不在同一条直线上） ”改为 “P 是抛物线在 x 轴下方的一个动点 ”，其他条件不变， MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点 P 的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由 解答： 解：（ 1）抛物线解析式为 y= x2+ x 4，令 y=0， 即 x2+ x 4=0，解得 x=1 或 x=5， A（ 1， 0）， B（
25、5， 0） 如答图 1 所示，分别延长 AD 与 EM，交于点 F AD PC， BE PC， AD BE， MAF= MBE 在 AMF 与 BME 中， ， AMF BME（ ASA）， ME=MF，即点 M 为 Rt EDF 斜边 EF 的中点， MD=ME，即 MDE 是等腰三角形 （ 2）答：能 抛物线解析式为 y= x2+ x 4=（ x 3） 2+ ， 对称轴是直线 x=3， M（ 3， 0）； 令 x=0，得 y= 4， C（ 0， 4） MDE 为等腰直角三角形，有 3 种可能的情形： 若 DE EM， 由 DE BE，可知点 E、 M、 B在一条直线上， 而点 B、 M 在
26、 x 轴上，因此点 E 必然在 x 轴上， 由 DE BE，可知点 E 只能与点 O 重合，即直线 PC 与 y 轴重合， 不符合题意，故此种情况不存在； 若 DE DM，与 同理可知，此种情况不存在； 若 EM DM，如答图 2 所示： 设直线 PC 与对称轴交于点 N， EM DM， MN AM， EMN= DMA 在 ADM 与 NEM 中， ADM NEM（ ASA）， MN=MA 抛物线解析式为 y= x2+ x 4=（ x 3） 2+ ，故对称轴是直线 x=3， M（ 3， 0）， MN=MA=2， N（ 3， 2） 设直线 PC 解析式为 y=kx+b， 点 N（ 3， 2），
27、C（ 0， 4）在抛物线上， ，解得 k=2， b= 4， y=2x 4 将 y=2x 4 代入抛物线解析式得： 2x 4= x2+ x 4， 解得： x=0 或 x=， 当 x=0 时，交点为点 C；当 x=时， y=2x 4=3 P（， 3） 综上所述， MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 坐标为（， 3） （ 3）答：能 如答题 3 所示，设对称轴与直线 PC 交于点 N 与（ 2）同理，可知若 MDE 为等腰直角三角形，直角顶点只能是点 M MD ME， MA MN， DMN= EMB 在 DMN 与 EMB中， DMN EMB（ ASA）， MN=MB N（ 3， 2） 设直线 PC 解析式为 y=kx+b， 点 N（ 3， 2）， C（ 0， 4）在抛物线上， ，解得 k=， b= 4， y=x 4 将 y=x 4 代入抛物线解析式得： x 4= x2+ x 4， 解得： x=0 或 x= ， 当 x=0 时，交点为点 C；当 x= 时， y=x 4= P（ ， ） 综上所述， MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 坐标为（ ， ）
