1、 2012 年泰安市中考数学试题与解析 一、选择题（每小题 3 分，共 60 分） 1下列各数比 3 小的数是（ ） A 0 B 1 C 4 D 1 分析： 首先判断出 1 3， 0 3，求出每个数的绝对值，根据两负数比较大小，其绝对值大的反而小，求出即可 解：根据两负数比较大小，其绝对值大的反而小，正数都大于负数，零大于一切负数， 1 3， 0 3， | 3|=3， | 1|=1， | 4|=4， 比 3 小的数是负数，是 4故选 C 2下列运算正确的是（ ） A = 5 B（ ） 2=16 C x6x3=x2 D（ x3） 2=x5 分析： 根据 =|a|对 A 进行判断；根据负整数指数的
2、意义对 B 进行判断；根据同底数的幂的除法对 C 进行判断；根据幂的乘方对 D 进行判断 解： A、 =| 5|=5，所以 A 选项不正确； B、（ ） 2=16，所以 B 选项正确； C、 x6x3=x3，所以 C 选项不正确； D、（ x3） 2=x6，所以 D 选项不正确故选 B 3如图所示的几何体的主视图是（ ） A B C D 分析： 找到从正面看所 得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中 解：从正面看易得第一层有 1 个大长方形，第二层中间有一个小正方形故选 A 4已知一粒米的质量是 0.000021 千克，这个数字用科学记数法表示为（ ） A 2110 4千克 B
3、2.110 6千克 C 2.110 5千克 D 2110 4千克 分析： 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定 解： 0.000021=2.110 5；故选： C 5从下列四张卡片中任取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是（ ） A 0 B C D 分析： 先判断图中中心对称图形的个数，再根据概率公式进行解答即可 解： 在这一组图形中，中心对称图形只有最后一个， 卡片上的图形是中心对称图形的概率是 故选 D 6将不等式组 的解集在数轴上表示出来，正确
4、的是（ ） A B C D 分析： 分别求出各不等式的解集，在数轴上表示出来，其公共部分即为不等式组的解集 解 ： ，由 得， x 3；由 得， x4，故其解集为： 3 x4 在数轴上表示为： 故选 C 7如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 C 的直线 CE AB， 垂足为 E，若 EAD=53，则 BCE 的度数为（ ） A 53 B 37 C 47 D 123 分析： 设 EC 于 AD 相交于 F 点，利用直角三角形两锐角互余即可求出 EFA 的度数，再利用平行四边形的性质：即两对边平行即可得到内错角相等和对顶角相等，即可求出 BCE的度数 解： 在平行四边形 ABCD 中，过点 C
5、 的直线 CE AB， E=90， EAD=53， EFA=90 53=37， DFC=37 四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC， BCE= DFC=37故选 B 8某校开展 “节约每一滴水 ”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的 400 名同学中选取 20 名同学统计了各自家庭一个月约节水情况见表： 节水量 /m3 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 家庭数 /个 2 4 6 7 1 请你估计这 400 名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（ ） A 130m3 B 135m3 C 6.5m3 D 260m3 分析： 先计算这 20 名同学各自家庭一个
6、月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数 400 即可解答 解： 20 名同学各自家庭一个月平均节约用水是： （ 0.22+0.254+0.36+047+0.51） 20=0.325（ m3）， 因此这 400 名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是： 4000.325=130（ m3），故选 A 9如图，在矩形 ABCD 中， AB=2， BC=4，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD、 AC 于点E、 O，连接 CE，则 CE 的长为（ ） A 3 B 3.5 C 2.5 D 2.8 分析： 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质 可得 AE=CE，设 CE=x，表示
7、出 ED 的长度，然后在 Rt CDE 中， 利用勾股定理列式计算即可得解 解： EO 是 AC 的垂直平分线， AE=CE， 设 CE=x，则 ED=AD AE=4 x， 在 Rt CDE 中， CE2=CD2+ED2，即 x2=22+（ 4 x） 2，解得 x=2.5，即 CE 的长为 2.5 故选 C 10二次函数 y=ax2+bx 的图象如图，若一元二次方程 ax2+bx+m=0 有实数根，则 m 的最大值为（ ） A 3 B 3 C 6 D 9 分析： 先根据抛物线的开口向上可知 a 0，由顶点纵坐标为 3 得出 b 与 a 关系，再根据一元二次方程 ax2+bx+m=0 有实数根可
8、得到关于 m 的 不等式，求出 m 的取值范围即可 解： 抛物线的开口向上，顶点纵坐标为 3， a 0. = 3，即 b2=12a， 一元二次方程 ax2+bx+m=0 有实数根， =b2 4am0，即 12a 4am0，即 12 4m0，解得 m3， m 的最大值为 3故选 B 11如图， AB 是 O 的直径，弦 CD AB，垂足为 M，下列结论不成立的是（ ） A CM=DM B = C ACD= ADC D OM=MD 分析： 由直径 AB 垂直于弦 CD，利用垂径定理得到 M 为 CD 的中点， B 为劣弧 的中点，可得出 A 和 B 选项成立，再由 AM 为公共边，一对直角相等，
9、CM=DM，利用 SAS 可得出三角形 ACM 与三角形 ADM 全等，根据全等三角形的对应角相等可得出选项 C 成立，而OM 不一定等于 MD，得出选项 D 不成立 解： AB 是 O 的直径，弦 CD AB，垂足为 M， M 为 CD 的中点，即 CM=DM，选项 A 成立； B 为 的中点， 即 = ，选项 B 成立； 在 ACM 和 ADM 中， ， ACM ADM（ SAS）， ACD= ADC，选项 C 成立； 而 OM 与 MD 不一定相等，选项 D 不成立 故选 D 12将抛物线 y=3x2向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A y=
10、3（ x+2） 2+3 B y=3（ x 2） 2+3 C y=3（ x+2） 2 3 D y=3（ x 2）2 3 分析： 直接根据 “上加下减，左加右减 ”的原则进行解答即可 解：由 “上加下减 ”的原则可知，将抛物线 y=3x2向上平移 3 个单位所得抛物线的解析式为：y=3x2+3； 由 “左加右减 ”的原则可知，将抛物线 y=3x2+3 向左平移 2 个单位所得抛物线的解析式为： y=3（ x+2） 2+3 故选 A 13如图，为测量某物体 AB 的高度，在在 D 点测得 A 点的仰角为 30，朝物体 AB 方向前进 20 米，到达点 C，再次测得点 A 的仰角为 60，则物体 AB
11、 的高度为（ ） A 10 米 B 10 米 C 20 米 D 米 分析： 首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形， 应利用其公共边 AB 及 CD=DC BC=20 构造方程关系式，进而 可解，即可求出答案 解： 在直角三角形 ADC 中， D=30， =tan30 BD= = AB 在直角三角形 ABC 中， ACB=60， BC= = AB CD=20 CD=BD BC= AB AB=20 解得： AB=10 故选 A 14如图，菱形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 在 x 轴上， B=120， OA=2，将菱形 OABC 绕原点顺时针旋转 105至 OABC的位置，
12、则点 B的坐标为（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ 2， 2） D（ ， ） 分析： 首先连接 OB， OB，过点 B作 BE x 轴于 E，由旋转的性质，易得 BOB=105，由菱形的性质，易证得 AOB 是等边三角形，即可得 OB=OB=OA=2， AOB=60，继而可求得 AOB=45，由等腰直角三角形的性质，即可求得答案 解：连接 OB， OB，过点 B作 BE x 轴于 E， 根据题意得： BOB=105， 四边形 OABC 是菱形， OA=AB， AOB= AOC= ABC= 120=60， OAB 是等边三角形， OB=OA=2， AOB= BOB AOB=105 60=4
13、5， OB=OB=2， OE=BE=OBsin45=2 = ， 点 B的坐标为：（ ， ） 故选 A 15一个不透明的布袋中有分别标着数字 1， 2， 3， 4 的四个乒乓球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于 5 的概率为（ ） A B C D 分析： 首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的与这两个乒乓球上的数字之和大于 5 的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案 解：列表得： 1 2 3 4 1 2+1=3 3+1=4 4+1=5 2 1+2=3 3+2=5 4+2=6 3 1+3=4 2+3=5 4+3=7 4 1+4=5 2+4=6 3+4=7 共有
14、 12 种等可能的结果，这两个乒乓球上的数字之和大于 5 的有 4 种情况， 这两个乒乓球上的数字之和大于 5 的概率为： = 故选 B 16二次函数 y=a（ x+m） 2+n 的图象如图，则一次函数 y=mx+n 的图象经过（ ） A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第二、三、四象限 D第一、三、四象限 分析： 根据 抛物线的顶点在第四象限，得出 n 0， m 0， 即可得出一次函数 y=mx+n 的图象经过二、三、四象限 解： 抛物线的顶点在第四象限， m 0， n 0， 第 16 题图 m 0， 一次函数 y=mx+n 的图象经过二、三、四象限，故选 C 17如图，将矩形纸片 A
15、BCD 沿 EF 折叠，使点 B 与 CD 的中点重合，若 AB=2， BC=3，则 FCB与 BDG 的面积之比为（ ） A 9： 4 B 3： 2 C 4： 3 D 16： 9 分析： 设 BF=x，则 CF=3 x， BF=x，在 Rt BCF 中，利用勾股定理求出 x 的值，继而判断 DBG CFB，根据面积比等于相似比的平方即可得出答案 解：设 BF=x，则 CF=3 x， BF=x， 又点 B为 CD 的中点， BC=1， 在 Rt BCF 中， BF2=BC2+CF2，即 x2=1+（ 3 x） 2， 解得： x= ，即可得 CF=3 = ， DBG= DGB=90， DBG+
16、CBF=90， DGB= CBF， Rt DBG Rt CFB， 根据 面积比等于相似比的平方可得： = = = 故选 D 18如图， AB 与 O 相切于点 B， AO 的延长线交 O 于点 C，连接 BC，若 ABC=120，OC=3，则 的长为（ ） A B 2 C 3 D 5 分析： 连接 OB，由于 AB 是切线，那么 ABO=90，而 ABC=120，易求 OBC，而OB=OC，那么 OBC= OCB，进而求出 BOC 的度数，在利用弧长公式即可求出 的长 解：连接 OB， AB 与 O 相切于点 B， ABO=90， ABC=120， OBC=30， OB=OC， OCB=30，
17、 BOC=120， 的长为 = =2， 故选 B 19设 A（ 2， y1）， B（ 1， y2）， C（ 2， y3）是抛物线 y=（ x+1） 2+a 上的三点，则 y1，y2， y3的大小关系为（ ） A y1 y2 y3 B y1 y3 y2 C y3 y2 y1 D y3 y1 y2 分析： 根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点 A 的对称点 A，再利用二次函数的增减性可判断 y 值的大小 解： 函数的解析式是 y=（ x+1） 2+a，如右 图， 对称轴是 x= 1， 点 A 关于对称轴的点 A是（ 0， y1）， 那么点 A、 B、 C 都在对称轴的右边，而对称轴右边 y
18、随 x 的增大而减小， 于是 y1 y2 y3故选 A 20如图， AB CD， E， F 分别为 AC， BD 的中点，若 AB=5， CD=3，则 EF 的长是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 分析： 连接 DE 并延长交 AB 于 H，由已知条件可判定 DCE HAE，利用全等三角形的性质可得 DE=HE，进而得到 EF 是三角形 DHB 的中位线，利用中位线性质定理即可求出EF 的长 解：连接 DE 并延长 交 AB 于 H， CD AB， C= A， CDE= AHE， E 是 AC 中点， DE=EH， DCE HAE， DE=HE， DC=AH， F 是 BD 中点， EF
19、 是三角形 DHB 的中位线， EF= BH， BH=AB AH=AB DC=2， EF=1 故选 D 二、填空题（本大题共 4 个小题，满分 12 分，只要求填写最后结果，每小题 3 分） 21分解因式： x3 6x2+9x= x（ x 3） 2 分析： 先提取公因式 x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 解： x3 6x2+9x， =x（ x2 6x+9）， =x（ x 3） 2 22化简： = m 6 分析： 先通分计算括号里的，再算括号外的即可 解：原式 = =m 6 23如图，在半径为 5 的 O 中，弦 AB=6，点 C 是优弧 上一点（不与 A， B 重合），则cosC
20、的值为 分析： 首先构造直径所对圆周角，利用勾股定理得出 BD 的长，再利用 cosC=cosD= 求出即可 解：连接 AO 并延长到圆上一点 D，连接 BD， 可得 AD 为 O 直径，故 ABD=90， 半径为 5 的 O 中，弦 AB=6，则 AD=10， BD= = =8， D= C， cosC=cosD= = = ， 故答案为： 24如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中 “”方向排列，如（ 1， 0），（ 2， 0），（ 2， 1），（ 1， 1），（ 1， 2），（ 2， 2） 根据这个规律，第 2012个点的横坐标为 45 分析： 观察图形可知，到
21、每一横坐标结束，点的总个数等于最后点的横坐标的平方，并且横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为 0 结束，当横坐标是偶数时，以横坐标为 1，纵坐标为横坐标减 1 的点结束，根据此规律解答即可 解：根据图 形，到横坐标结束时，点的个数等于横坐标的平方， 例如：横坐标为 1 的点结束，共有 1 个， 1=12， 横坐标为 2 的点结束，共有 2 个， 4=22， 横坐标为 3 的点结束，共有 9 个， 9=32， 横坐标为 4 的点结束，共有 16 个， 16=42， 横坐标为 n 的点结束，共有 n2个， 452=2025， 第 2025 个点是（ 45， 0）， 第 2012 个点是（ 4
22、5， 13）， 所以，第 2012 个点的横坐标为 45 故答案为： 45 三、解答题（本大题共 5 小题，满分 48 分，解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 25如图，一 次函数 y=kx+b 的图象与坐标轴分别交于 A， B 两点，与反比例函数 y= 的图象在第二象限的交点为 C， CD x 轴，垂足为 D，若 OB=2， OD=4， AOB 的面积为 1 （ 1）求一次函数与反比例的解析式； （ 2）直接写出当 x 0 时， kx+b 0 的解集 分析： （ 1）根据点 A 和点 B 的坐标求出一次函数的解析式再求出 C 的坐标是（ 4，1），利用待定系数法求解即可求反比例函数
23、的解析式； （ 2）根据一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= 的图象在第二象限的交点为 C 即可求出当 x 0 时， kx+b 0 的解集 解 ：（ 1） OB=2， AOB 的面积为 1 B（ 2， 0）， OA=1， A（ 0， 1） y= x 1 又 OD=4， OD x 轴， C（ 4， y）， 将 x= 4 代入 y= x 1 得 y=1， C（ 4， 1） 1= ， m= 4， y= （ 2）当 x 0 时， kx+b 0 的解集是 x 4 26如图，在 ABC 中， ABC=45， CD AB， BE AC，垂足分别为 D， E， F 为 BC 中点， BE 与 DF
24、， DC 分别交于点 G， H， ABE= CBE （ 1）线段 BH 与 AC 相等吗？若相等给予证 明，若不相等请说明理由； （ 2）求证： BG2 GE2=EA2 分析： （ 1）根据三角形的内角和定理求出 BCD= ABC， ABE= DCA，推出 DB=CD，根据 AAS 证出 DBH DCA 即可； （ 2）根据 DB=DC 和 F 为 BC 中点，得出 DF 垂直平分 BC，推出 BG=CG，根据 BE AC和 ABE= CBE 得出 AE=CE，在 Rt CGE 中，由勾股定理即可推出答案 证明：（ 1） BDC= BEC= CDA=90， ABC=45， BCD=45= AB
25、C， A+ DCA=90， A+ ABE=90， DB=DC， ABE= DCA， 在 DBH 和 DCA 中 ， DBH DCA， BH=AC （ 2）连接 CG， F 为 BC 的中点， DB=DC， DF 垂直平分 BC， BG=CG， ABE= CBE， BE AC， AEB= CEB， 在 ABE 和 CBE 中 ， ABE CBE， EC=EA， 在 Rt CGE 中，由勾股定理得： BG2 GE2=EA2 27一项工程，甲，乙两公司合做， 12 天可以完成，共需付施工费 102000 元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程 ，乙公司所用时间是甲公司的 1.5 倍，乙公司每天的施工费
26、比甲公司每天的施工费少 1500 元 （ 1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ （ 2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？ 分析： （ 1）设甲公司单独完成此项工程需 x 天，则乙工程公司单独完成需 1.5x 天，根据合作 12 天完成列出方程求解即可 （ 2）分别求得两个公司施工所需费用后比较即可得到结论 解：（ 1）设甲公司单独完成此项工程需 x 天，则乙公司单独完成此项工程需 1.5x 天 根据题意，得 + = ，解得 x=20， 经检验知 x=20 是方程的解且符合题意 1.5x=30 故甲，乙两公司单独完成此项工程，各需 20 天， 30 天； （ 2）设
27、甲公司每天的施工费为 y 元，则乙公司每天的施工费为（ y 1500）元， 根据题意得 12（ y+y 1500） =102000，解得 y=5000， 甲公司单独完成此项工程所需的施工费： 205000=100000（元）； 乙公司单独完成此项工程所需的施工费： 30（ 5000 1500） =105000（元）； 故甲公司的施工费较少 28如图， E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点， EF AE， EF 分别交 AC， CD 于点 M， F， BG AC，垂足为 C， BG 交 AE 于点 H （ 1）求证： ABE ECF； （ 2）找出与 ABH 相似的三角形，并证明； （ 3）
28、若 E 是 BC 中点， BC=2AB， AB=2，求 EM 的长 分析： （ 1）由四边形 ABCD 是矩形，可得 ABE= ECF=90，又由 EF AE，利用同角的余角相等，可得 BAE= CEF，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得： ABE ECF； （ 2）由 BG AC，易证得 ABH= ECM，又由（ 1）中 BAH= CEM，即可证得 ABH ECM； （ 3）首先作 MR BC，垂足为 R，由 AB： BC=MR： RC=2， AEB=45，即可求得 MR 的长，又由 EM= ，即可求得答案 解答： （ 1）证明： 四边形 ABCD 是矩形， ABE= ECF
29、=90 AE EF， AEB+ FEC=90 AEB+ BEA=90， BAE= CEF， ABE ECF； （ 2） ABH ECM 证明： BG AC， ABG+ BAG=90， ABH= ECM， 由（ 1）知， BAH= CEM， ABH ECM； （ 3）解：作 MR BC，垂足为 R， AB=BE=EC=2， AB： BC=MR： RC=2， AEB=45， MER=45， CR=2MR， MR=ER= RC= ， EM= = 29如图，半径为 2 的 C 与 x 轴的正半轴交于点 A，与 y 轴的 正半轴交于点 B，点 C 的坐标为（ 1， 0）若抛物线 y= x2+bx+c 过
30、 A、 B 两点 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）在抛物线上是否存在点 P，使得 PBO= POB？若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在说明理由； （ 3）若点 M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点， MAB 的面积为 S，求 S 的 最大（小）值 分析： （ 1）利用待定系数法求抛物线的解析式因为已知 A（ 3， 0），所以需要求得 B点坐标如答图 1，连接 OB，利用勾股定理求解； （ 2）由 PBO= POB，可知符合条件的点在线段 OB 的垂直平分线上如答图 2， OB 的垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求的 P 点有两个，注意不要漏解； （ 3）如答图 3，作 MH x
31、 轴于点 H，构造梯形 MBOH 与三角形 MHA，求得 MAB 面积的表达式，这个表达式是关于 M 点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求得 MAB 面积的最大值 解：（ 1）如答图 1，连接 OB BC=2， OC=1 OB= = B（ 0， ） 将 A（ 3， 0）， B（ 0， ）代入二次函数的表达式 得 ，解得 ， y= x2+ x+ （ 2）存在如答图 2，作线段 OB 的垂直平分线 l，与抛物线的交点即为点 P B（ 0， ）， O（ 0， 0）， 直线 l 的表达式为 y= 代入抛物线的表达式， 得 x2+ x+ = ；解得 x=1 ， P（ 1 ， ） （ 3）如答图 3，作 MH x 轴于点 H设 M（ xm， ym）， 则 S MAB=S 梯形 MBOH+S MHA S OAB= （ MH+OB） OH+ HAMH OAOB = （ ym+ ） xm+ （ 3 xm） ym 3 = xm+ ym ym= xm2+ xm+ ， S MAB= xm+ （ xm2+ xm+ ） = xm2+ xm= （ xm ） 2+ 当 xm= 时， S MAB取得最大值，最大值为
