1、第 1 页 共 10 页 2005 年普通高等学校招生全国统试一考试数学试题 天津卷（理工类） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 ,共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1 至2 页，第卷 3 至 10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第卷（选择题 共 50 分） 注意事项： 1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，
2、那么 球的体积公式 )()()( BPAPBAP +=+ 334RV =球如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 )( BAP = )()( BPAP 柱体（棱柱、圆柱）的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率 V 柱体 =Sh 是 P，那么n次独立重复试验中恰好发 其中 S 表示柱体的底面积， 生 k 次的概率 h 表示柱体的高。 Pn（k）=C nPk(1-P)n-k 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的。 （1）设集合 ,914 RxxxA = , ,03 RxxxxB += , 则
3、=BA （ ） (A) 2,3( (B) 25,02,3( (C) ),253,( + (D) ),25)3,( + (2)若复数iia213+（ Ra ， i为虚数单位位）是纯虚数，则实数 a的值为（ ） （A）-2 (B)4 (C) -6 (D)6 (3)给出下列三个命题 若 1ba ,则bbaa+ 11若正整数 m和 n满足 nm ,则2)(nmnm 第 2 页 共 10 页 设 ),(11yxP 为圆 9:221=+ yxO 上任一点，圆2O 以 ),( baQ 为圆心且半径为 1.当1)()(2121=+ ybxa 时,圆1O 与圆2O 相切 其中假命题的个数为（ ） (A) 0 (
4、B) 1 (C) 2 (D)3 (4)设 、 为平面， lnm 、 为直线，则 m 的一个充分条件是（ ） (A) lml = , (B) = ,m (C) m, (D) mnn , (5)设双曲线以椭圆 192522=+yx长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（ ） (A) 2 (B)34 (C)21 (D)43 (6)从集合 11,3,2,1 null 中任选两个元素作为椭圆方程 12222=+nymx中的 m 和 n,则能组成落在矩形区域 ,11|),( =aaaxfxx的反函数，则使 1)(1xf 成立的 x 的取值范围为（ ） (A) ),21(2+aa
5、(B) )21,(2aa (C) ),21(2aaa (D) ), +a 第 3 页 共 10 页 (10)若函数 )1,0( )(log)(3= aaaxxxfa在区间 )0,21( 内单调递增， 则 a的取值范围是 （ ） (A) )1,41 (B) )1,43 (C) ),49( + (D) )49,1( 第卷（非选择题 共100 分） 注意事项： 1 答卷前将密封线内的项目填写清楚 2 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 二填空题：本大题共 6 小题， 每小题 4 分，共 24 分，把答案填在题中横线上。 （11）设Nn ,则 =+12321666nnnnnnCCCC null （12）如图
6、，PA平面 ABC，ABC=90且 PA=AC=BC=a 则异面直线 PB 与AC 所成角的正切值等于_ （13）在数列a n中,a 1=1,a2=2,且 )( )1(12+= Nnaannn则100S =_ （14）在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,1)和点 B(-3,4)，若点 C 在AOB的平分线上且| OC |=2,则 OC = （15）某公司有 5 万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利 12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的 50%，下表是过去 200例类似项目开发的实施结果： 投资成功 投资失败 192 次 8 次 则该公司一年后估计可获收益的期望是_（元）
7、（16）设 )(xf 是定义在 R 上的奇函数，且 )(xfy = 的图象关于直线21=x 对称，则)5()4()3()2()1( fffff + =_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 在 ABC 中， CBA 、 所对的边长分别为 cba 、 ，设 cba 、 满足条件222abccb =+ 和 321+=bc，求 A 和 Btan 的值 （18） （本小题满分 12 分） 已知 )0,0,( 1221+=baNnbabbabaaunnnnnnnull 。 （）当 ba = 时，求数列 nu 的前 n
8、项和nS 第 4 页 共 10 页 （）求1limnnnuu（19） （本小题满分 12 分） 如图，在斜三棱柱111CBAABC 中， aBAAAACABACAABA =1111, ，侧面11BCCB与底面 ABC所成的二面角为null120 ，E、F分别是棱 AACB111、 的中点 （）求 AA1与底面 ABC 所成的角 （）证明 EA1平面 FCB1（）求经过 CBAA 、1四点的球的体积 （20） （本小题满分 12） 某人在一山坡 P 处观看对面山项上的一座铁塔， 如图所示， 塔高BC=80 （米） ， 塔所在的山高 OB=220 （米） ，OA=200（米） ，图中所示的山坡可视
9、为直线 l 且点 P 在直线 l 上， l与水平地面的夹角为 a ,tana=1/2 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角BPC 最大（不计此人的身高） 第 5 页 共 10 页 （21） （本小题满分 14 分） 抛物线 C 的方程为 )0(2ba ， aababbababauunnnnnnnnnnn=+)(1)(limlimlim111 若 0 ab ， bbabbaauunnnnnn=1)()(limlim1 （ 19）解： （）过1A 作 HA1平面 ABC ，垂足为 H 连结 AH ， 并延长交 BC于 G ， 于是 AHA1 为 AA1与底面 ABC所成的角 ACAABA11=
10、， AG为 BAC 的平分线 又 ACAB = ， BCAG ，且 G 为 BC的中点 因此，由三垂线定理 BCAA 1 BBAA11/ ，且 BBEG1/ ， BCEG 于是 AGE 为二面角 EBCA 的平面角， 即null120=AGE 由于四边形 AGEA1为平行四边形，得null601= AGA （）证明：设 EG 与 CB1的交点为 P，则点 P为 EG 的中点连结 PF 在平行四边形1AGEA 中，因 F 为 AA1的中点，故 FPEA /1 而 FP 平面 FCB1， EA1平面 FCB1，所以 /1EA 平面 FCB1 （）连结 CA1在 ACA1 和 ABA1 中，由于 A
11、BAC = ， ACAABA11= ， AAAA11= ，则 ACA1 ABA1 ，故 BACA11= 由已知得 aCABAAA =111 第 8 页 共 10 页 AOPlxyBC又 HA1平面 ABC ， H 为 ABC 的外心 设所求球的球心为 O，则 HAO1 ，且球心 O与 AA1中点的连线 AAOF1 在 FOARt1 中，3330cos21cos111aaHAAFAOA =null故所求球的半径 aR33= ，球的体积33273434aRV = （ 20）解：如图所示，建立平面直角坐标系，则 )0,200(A ，)220,0(B ， )300,0(C 直线 l的方程为 tan)2
12、00( = xy ，即2200=xy 设点 P的坐标为 ),( yx ，则 )2200,(xxP （ 200x ） 由经过两点的直线的斜率公式xxxxkPC28003002200= ，xxxxkPB26402202200= 由直线 PC到直线 PB的角的公式得6401602886426402800121601tan2+=+=+=xxxxxxxxkkkkBPCPCPBPCPB28864016064+=xx（ 200x ） 要使 BPCtan 达到最大，只须 288640160+xx 达到最小 由均值不等式 2886401602288640160+xx 当且仅当xx640160= 时上式取等号故当
13、320=x 时 BPCtan 最大这时，点 P的纵坐标 y 为 602200320=y 由此实际问题知，20x 是 0)( = xf 的任意正实数根，即00tan xx = ，则存在一个非负整数 k ，使 ),2(0kkx + ，即0x 在第二或第四象限内由式， )(tancos)( xxxxf += 在第二或第四象限中的符号可列表如下： 所以满足 0)( = xf 的正根0x 都为 )(xf 的极值点 由题设条件，1a ，2a ，na ，为方程 xx tan= 的全部正实数根且满足 nullnull + nnaa ，由式知 0)tan(1+ nnaa 由此可知nnaa +1必在第二象限， 即 + nnaa1 综上， + nnaa12
