1、2006 年普通高等学校招生全国统一考试试卷 文科数学试题及答案（安徽卷） 参考公式： 如果时间 A、B 互斥，那么 ()()()PA B PA PB+ =+ 如果时间 A、B 相互独立，那么 ( ) () ()PAB PAPB=ii 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P，那么n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 () ( )1nkkknnPk CP P= 球的表面积公式24SR= ，其中 R 表示球的半径 球的体积公式343VR= ，其中 R表示球的半径 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
2、符合题目要求的。 （1）设全集 1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合 1, 3, 5S = ， 3, 6T = ，则()UCST 等于（ ） A B 2, 4, 7,8 C 1, 3, 5, 6 D 2, 4, 6,8 解： 1,3,5,6ST= ，则 ( )UCST 2, 4, 7,8，故选 B （2）不等式112xB 1ln( 0)yxx= C 1ln( 0)= D 1ln( 0)yxx=+ 解：由1xy e+= 得： 1ln,xy+= 即x=-1+lny ，所以 1ln( 0)yxx=+ 为所求，故选D。 （4）“ 3x ”是24x “的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件
3、 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：条件集是结论集的子集，所以选 B。 （ 5）若抛物线22y px= 的焦点与椭圆22162xy+ = 的右焦点重合，则 p 的值为（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 解：椭圆22162xy+=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px= 的焦点为(2,0)，则4p = ，故选 D。 （ 6）表面积为 23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 A23 B13 C23 D223 解： 此正八面体是每个面的边长均为 a的正三角形， 所以由238234a=知， 1a = ，则此球的直径为 2 ，故选 A。 （7）直线 1x y+=与
4、圆2220(0)xy ay a+ = 没有公共点，则 a的取值范围是 A (0, 2 1) B (2 1,2 1)+ C (21,21) + D (0, 2 1)+ 解：由圆2220(0)xy ay a+ = 的圆心 (0, )a 到直线 1x y+ = 大于 a，且 0a ，选A。 （8）对于函数 ()sin 1(0 )sinxfx xx+= 的图象按向量 ,06a=null平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ） A sin( )6yx=+ B sin( )6yx= C sin(2 )3yx=+ D sin(2 )3yx= 解：将函数 sin ( 0)yx =
5、的图象按向量 ,06a=null平移， 平移后的图象所对应的解析式为 sin ( )6yx=+，由图象知，73()12 6 2 +=，所以 2 = ，因此选 C。 （10）如果实数 x y、 满足条件101010xyyxy + +，那么 2x y 的最大值为（ ） A 2 B 1 C 2 D 3 解：当直线 2x yt = 过点(0，-1)时， t最大，故选 B。 （11）如果111ABC 的三个内角的余弦值分别等于222ABC 的三个内角的正弦值，则（ ） A111ABC 和222ABC 都是锐角三角形 B111ABC 和222ABC 都是钝角三角形 C111ABC 是钝角三角形，222AB
6、C 是锐角三角形 D111ABC 是锐角三角形，222ABC 是钝角三角形 解：111ABC 的三个内角的余弦值均大于 0，则111ABC 是锐角三角形，若222ABC 是锐角三角形， 由21 121 121 1sin cos sin( )2sin cos sin( )2sin cos sin( )2AA AB BBCC C=， 得212121222AAB BCC= = = ， 那么，2222ABC+=，所以222ABC 是钝角三角形。故选 D。 （12）在正方体上任选 3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（ ） A17B27C37D47解：在正方体上任选 3个顶点连成
7、三角形可得38C 个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有 24 个，得3824C，所以选 C。 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（安徽卷） 第卷（非选择题 共90 分） 注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共16 分，把答案填写在答题卡的相应位置。 （13）设常数 0a ，421axx+展开式中3x 的系数为32，则 a_。 解：1482214rrr rrTCaxx+= ，由182 32,2,rrxx x r= =得
8、4431=22rrCa由知a。 （14）在 ABCDnull 中， ,3AB a AD b AN NC=nullnullnullnull null nullnullnullnull null nullnullnullnull nullnullnullnull，M 为BC的中点，则 MN =nullnullnullnullnull_。（用 abnullnull、 表示） 解： 343A=3()ANNCAN Cab=+nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull null null由得 ，12AM a b=+
9、nullnullnullnullnullnull null，所以3111()( )4244MNabab ab=+=+nullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnull。 （15）函数 ()f x 对于任意实数 x满足条件 ()()12fxf x+= ，若 ( )15,f = 则()()5ff =_。 解：由 ()()12fxf x+= 得 ()()14()2f xfxfx+= =+，所以 (5) (1) 5ff=，则()()115(5)(1)(1 2) 5ff f ff= =+。 （16）平行四边形的一个顶点 A 在平面 内，其余顶点在 的同侧，已知其中
10、有两个顶点到 的距离分别为 1和 2 ，那么剩下的一个顶点到平面 的距离可能是： 1； 2； 3； 4； 以上结论正确的为_ _。（写出所有正确结论的编号） 解：如图，B、D 到平面 的距离为 1、2，则 D、B 的中点到平面 的距离为32，所以 C 到平面 的距离为 3； B、 C 到平面 的距离为 1、 2， D 到平面 的距离为 x，则 12 21xx+= +=或 ，即 1x= ，所以 D 到平面 的距离为 1； C、 D 到平面 的距离为 1、 2， 同理可得B 到平面 的距离为 1；所以选。 三、解答题：本大题共 6 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （17）
11、（本大题满分 12分）已知40,sin25= =nullnull nullnullnullnullnull nullnullnullnullnull nullnullnull （20）（本大题满分 12分）设函数( )32()f xxbxcxxR= + ，已知() () ()gx fx f x=是奇函数。 （）求 b、 c的值。 （）求 ()gx的单调区间与极值。 证明（） ()32f xxbxcx=+ +， ( )232f xxbxc = +。从而32 2() () () (3 2 )gx fx f x x bx cx x bx c=+32(3) (2)x bxcbxc+ +是一个奇函数，所
12、以 (0) 0g = 得 0c= ，由奇函数定义得 3b= ； （）由（）知3() 6gx x x=，从而2() 3 6gx x = ，由此可知， (,2) 和 (2, )+ 是函数 ()gx是单调递增区间； (2,2) 是函数 ()gx是单调递减区间； ()gx在 2x= 时，取得极大值，极大值为 42， ()gx在 2x= 时，取得极小值，极小值为 42 。 （21）（本大题满分 12分）在等差数列 na 中，11a = ，前 n项和nS 满足条件242,1,2,1nnS nnSn+=+null ， （）求数列 na 的通项公式； （）记 (0)nannbapp=，求数列 nb 的前 n项
13、和nT 。 解： （）设等差数列 na 的公差为 d ,由2421nnS nSn+=+得：1213aaa+= ，所以22a = ，即211daa=， 又1211122( )42212nnnnandanSandnaanS aan+ += =+2( 1)1nnana+，所以nan= 。 （）由nannbap= ，得nnbnp= 。所以23 123 (1)nnnTpp p np np=+ + + +null ， 当 1p= 时，12nnT+= ； 当 1p 时， 234 123 (1)nnnpTp p p npnp+=+ + + +null ， 23 1 1 1(1 )(1 )1nnnn nnppP
14、T p p p p p np npp +=+= null 即11,12(1 ),11n nnnpTppnp pp+= 。 （22）（本大题满分 14分）如图，F为双曲线 C：()222210,0xyabab =的右焦点。P 为双曲线C右支上一点，且位于 x轴上方，M 为左准线上一点， O为坐标原点。已知四边形 OFPM 为平行四边形， PF OF= 。 （）写出双曲线 C 的离心率 e与 的关系式； （）当 1 = 时，经过焦点 F且平行于 OP的直线交双曲线于 A、B 点，若 12AB = ，求此时的双曲线方程。 解：四边形 OFPM 是 null， | |OF PM c= = ，作双曲线的
15、右准线交 PM 于 H，则2|2aPM PHc=+，又O F x y P M 第 22 题图 H N 2222222| | 2 2PF OF c c eeaaPH c a ecccc= = = = ，220ee =。 （）当 1 = 时， 2e= ， 2ca= ，223ba= ，双曲线为2222143xyaa = ，设 P00(, )x y ，则203|2aaxMPONcc=，22015|2ayMN OM ON= = ，所以直线OP 的斜率为153，则直线 AB的方程为15(2)3y xa=，代入到双曲线方程得：22420290xaxa+=， 又 12AB = ，由2212 121()4AB k x x x x=+ + 得：2252912 1 25 4 1234aaa=+ = ，解得 1a = ，则23b = ，所以2213yx = 为所求。
