1、 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 （四川卷）理科数学及参考答案 第卷 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球是表面积公式 )()()( BPAPBAP +=+ 24 RS = 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 )()()( BPAPBAP = 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 334RV = n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 knkknnPPCkP= )1()( 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分； 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答
2、案 C D D B D B A C A C A B （ 1）已知集合 2560Axx x=+=，集合 213Bxx= ，则集合 AB= （ A） 23xx （ B） 23xx = =nullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnull ，21sin ,85DE DN=nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull， 3211214338 621PDEN DENaa
3、VSd a=。 （ 20）（本大题满分 12 分） 已知数列 na ，其中11a = ，23a = ，112nn naa a+ = + （ 2n ），记数列 na 的前 n项和为nS ，数列 ln nS 的前 n项和为nU 。 （）求nU ； （）设22()2( !)nUnneFx xnn= （ x0），1() ()nnkkTx Fx= （其中 ()kFx 为 ()kFx的导数），计算1()lim()nnnTxTx+。 本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，以及对数运算、导数运算和极限运算的能力，同考查分类讨论的思想方法。满分 12 分。 解：（）由题意， na 是首项为 1、公差为 2
4、 的等差数列， 前 n项和2112( 1)2nnSnn+ =，2ln ln 2lnnSn=， 2(ln1 ln 2 ln ) 2ln( !)nUn= + + = 。 （）22()2( !)nUnneFx xnn=2222( !)2( !) 2nnnxxnn n=， ()kFx21nx= ， 1() ()nnkkTx Fx=2221122(1 )(0 )1( 1)(1 )(1nnkknxxxxxn xxxxx= 1)， 1()lim()nnnTxTx+22222221lim 1 (0 )1lim 1 ( )11()11lim ( )1()nnnnnnnxxxnxnxxxxx+=1。 （ 21）（
5、本大题满分 12 分） 已知两定点()( )122,0 , 2,0FF ，满足条件212PF PF =nullnullnullnullnull nullnullnullnull的点 P 的轨迹是曲线 E ，直线 1y kx=与曲线 E 交于 ,AB两点。如果 63AB = ，且曲线 E 上存在点 C ，使 OA OB mOC+=nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull，求 m 的值和 ABC 的面积 S 。 本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分
6、12 分。 解：由双曲线的定义可知，曲线 E 是以( ) ( )122,0 , 2,0FF 为焦点的双曲线的左支，且2, 1ca=，易知 1b= 故曲线 E 的方程为 ( )2210xy x =+= 解得 21k 0， ()f x 的导数是 ()f x 。对任意两个不等的正数1x 、2x ，证明： （）当 0a 时，12 12() ()()22f xfx xxf+ ； （）当 4a 时，1212|() ()| | |f xfx xx 。 本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力。满分 14 分。 证明：（）由22() ln f xx axx=
7、+ ，得 221212 1 212() () 111()()(lnln)22 2fx fx ax xxx+=+ + 221212 12121() ln2xxx xaxxx+=+ + 212 12 12124()() ln22 2x xxx xxfaxx+ +=+。 而222 22 1212 12 12()1()()2x xxx xx xx+1+ + =4， 又22212 1 2 12 12()( )2x xxxxx+=+ 4， 1212 1 2xxx xxx+4+。 12122x xxx+ +， 即12 12() ()()22f xfx xxf+ 。 （）证法一：由22() ln f xx a
8、xx=+ ，得22() 2afx xx x = +， 12 1 22211 2 2|() ()| |(2 )(2 )|aafx fx x xx xxx= +12122212 122( )|2 |xx axxx xxx+=+ 。 1212|() ()| | |f xfx xx 122212 122( )|2 | xx axx xx+ 1 下面证明对任意两个正数1x 、2x ，有 122212 122( )2 xx axx xx+ 1恒成立， 即证1212122( )x xaxxxx+ 设12txx= ， 24( ) ( )ut t tt=+ 0，则24() 2 ut tt= 。 令 () 0ut
9、=，得32t = 。列表如下： t 3( 0 , 2 ) 32 3( 2 , )+ ()ut 0 + () ut null 极小值334 null 3 3() 3 4 = 108ut a4。 1212122( )xxx xaxx+ 对任意两个不等的正数1x 、2x ，恒有1212|() ()| | |f xfx xx 。 证法二：由22() ln f xx axx=+ ，得22() 2afx xx x = +， 12 1 22211 2 2|() ()| |(2 )(2 )|aafx fx x xx xxx= +12122212 122( )|2 |xx axxx xxx+=+ 。 1x 、2x 是两个不等的正数 12221 2 12 12 1212 122( ) 42xx aax xxx x xxx xx33+ 44+ 2+ 2+ () ()。 设121tx x= ， 32( ) 2 4 ( )ut t t t=+ 0，则 () 4(3 2) ut t t =，列表： t 2( 0 , )3232( , )3+ ()ut 0 + () ut null 极小值3827null 3827u 1，即122212 122( )2xx axx xx+ 1。 12|() ()| fx fx= 1212 122212 122( )|2 | |xx ax xxx xx+ 。
