1、2006 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 理科数学 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷 1 至2 页。第卷 3至 4页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项： 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2答第卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3答第卷时，必须用 0.5 毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。 4考试结束，监考人员将试
2、题卷和答题卡一并收回。 参考公式： 如果时间 A、B 互斥，那么 ()()()PA B PA PB+ =+ 如果时间 A、B 相互独立，那么 ( ) () ()PAB PA PB=ii 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P，那么n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率() ( )1nkkknnPk CP P= 球的表面积公式24SR= ，其中 R 表示球的半径 球的体积公式343VR= ，其中 R表示球的半径 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）复数133ii+等于（ ）
3、A i B i C 3 i+ D 3 i 解：13 13 13(13)iiiiii i+=+故选A （2）设集合 22,Axx xR=， 2|,12Byyx x= = ，则 ()RCAB等于（ ） A R B ,0xx Rx C 0 D 解： 0,2A= ， 4,0B= ，所以 ( ) 0RRCAB C= ，故选 B。 （ 3）若抛物线22y px= 的焦点与椭圆22162xy+ = 的右焦点重合，则 p 的值为（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 解：椭圆22162xy+=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px= 的焦点为(2,0)，则4p = ，故选 D。 （ 4）设 ,aRb ，
4、已知命题 :p ab= ；命题222:22ab a bq+ +，则 p 是 q成立的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：命题 :p ab= 是命题222:22ab a bq+ +等号成立的条件，故选 B。 （5）函数22, 0,0xxyxx= 的图象按向量 ,06a=null平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ） A sin( )6yx=+ B sin( )6yx= C sin(2 )3yx=+ D sin(2 )3yx= 解：将函数 sin ( 0)yx = 的图象按向量 ,06a=null平移，平移后的图象所
5、对应的解析式为 sin ( )6yx=+，由图象知，73()12 6 2 +=，所以 2 = ，因此选 C。 （7）若曲线4y x= 的一条切线 l与直线 480xy+ =垂直，则 l的方程为（ ） A 430xy= B 450xy+= C 430xy += D 430xy+= 解：与直线 480xy+=垂直的直线 l为 40xym +=，即4y x= 在某一点的导数为4，而34y x= ，所以4y x= 在(1，1)处导数为 4，此点的切线为 430xy =，故选 A （8）设 0a ，对于函数 ()sin(0 )sinxafx xx+= ，所以 1,(0,1aytt=+ 是一个减函减，故选
6、 B。 （9）表面积为 23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 A23 B13 C23 D223 解： 此正八面体是每个面的边长均为 a的正三角形， 所以由238234a=知， 1a = ，则此球的直径为 2 ，故选 A。 （10）如果实数 x y、 满足条件101010xyyxy + +，那么 2x y 的最大值为（ ） A 2 B 1 C 2 D 3 解：当直线 2x yt = 过点(0，-1)时， t最大，故选 B。 （11）如果111ABC 的三个内角的余弦值分别等于222ABC 的三个内角的正弦值，则（ ） A111ABC 和222ABC 都是锐角三角形 B111
7、ABC 和222ABC 都是钝角三角形 C111ABC 是钝角三角形，222ABC 是锐角三角形 D111ABC 是锐角三角形，222ABC 是钝角三角形 解：111ABC 的三个内角的余弦值均大于 0，则111ABC 是锐角三角形，若222ABC 是锐角三角形， 由21 121 121 1sin cos sin( )2sin cos sin( )2sin cos sin( )2AA AB BBCC C=， 得212121222AAB BCC= = = ， 那么，2222ABC+=，所以222ABC 是钝角三角形。故选 D。 （12）在正方体上任选 3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等
8、腰三角形的概率为（ ） A17B27C37D47解：在正方体上任选 3个顶点连成三角形可得38C 个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有 24 个，得3824C，所以选 C。 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）理科数学 第卷（非选择题 共90 分） 注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共16 分，把答案填写在答题卡的相应位置。 （13）设常数 0a ，421axx+展开式中3x 的系数为32，则2lim( )nnaa
9、a+ =_。 解：1482214rrr rrTCaxx+= ，由182 32,2,rrxx x r= =得4431=22rrCa由知a，所以212lim( ) 1112nnaa a+ = =，所以为 1。 （14） 在 ABCDnull 中， ,3AB a AD b AN NC=nullnullnullnull null nullnullnullnull null nullnullnullnull nullnullnullnull， M 为BC 的中点， 则 MN =nullnullnullnullnull_。（用 abnullnull、 表示） 解： 343A=3()AN NC AN C a
10、 b=+nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull null null由得 ，12AM a b=+nullnullnullnullnullnull null，所以3111()( )4244MNabab ab=+=+nullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnull。 （15）函数 ( )f x 对于任意实数 x满足条件 ()()12fxf x+= ，若 ()15,f = 则()()5ff =_。 解：由()()12fxf x+= 得 ()()14()2f xfxf
11、x+= =+，所以 (5) (1) 5ff=，则()()115(5)(1)(1 2) 5ff f ff= =+。 （16）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点 A 在平面 内，其余顶点在 的同侧，正方体上与顶点 A相邻的三个顶点到 的距离分别为 1， 2和4， P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则 P 到平面 的距离可能是： 3； 4； 5； 6； 7 以上结论正确的为_ _。 （写出所有正确结论的编号） 解：如图，B、D、A 1到平面 的距离分别为 1、2、4，则 D、A 1的中点到平面 的距离为 3，所以 D 1到平面 的距离为 6；B、A 1的中点到平面
12、的距离为52，所以 B 1到平面 的距离为 5；则 D、B 的中点到平面 的距离为32，所以 C 到平面 的距离为3；C、A 1的中点到平面 的距离为72，所以 C 1到平面 的距离为 7；而P为 C、C 1、B 1、D1中的一点，所以选。 三、解答题：本大题共 6 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （17） （本大题满分 12 分）已知310, tan cot43 = =nullnull nullnullnullnullnull nullnullnullnullnull nullnullnull （20） （本大题满分 12 分）已知函数 ( )f x 在 R 上有定
13、义，对任何实数 0a 和任何实数 x，都有 () ()f ax af x= （）证明 ( )00f = ； （）证明 (),0,0kx xfxhx x=时，设 ()()()1(0)gx fx xfx= +，讨论 ()gx在 ()0,+内的单调性并求极值。 证明（）令 0x= ，则() ( )00faf= ， 0a ， ( )00f = 。 （）令 x a= ， 0a ， 0x ，则( ) ( )2f xxfx= 。 假设 0x 时， ()f xkx= ()kR ，则( )22f xkx= ，而( )2xfx xkx kx= = ，() ()2f xxfx= ，即 ()f xkx= 成立。 令
14、x a= ， 0a ， 0x 时， ()()()11gx fx kxfx kx=+=+，22211()xgx kkx kx = + = 令 () 0gx = ，得 11xx=或 ； 当 (0,1)x 时， ()0gx ， ()gx是单调递增函数； 所以当 1x= 时，函数()gx在( )0,+ 内取得极小值，极小值为1(1)gkk=+ （21） （本大题满分 12 分）数列 na 的前 n项和为nS ，已知()211,1,12,2nnaSnannn= = = （）写出nS 与1nS的递推关系式( )2n，并求nS 关于 n的表达式； （）设() ()( )1/,nnnnnSf xxbfppRn
15、+=，求数列 nb 的前 n项和nT 。 解：由()21nnSnann=()2n 得： ( )21()1nnnSnSS nn= ，即()221(1) 1nnnSnSnn =，所以1111nnnnSSnn+ =，对 2n 成立。 由1111nnnnSSnn+=，121112nnnnSS =，2132121SS = 相加得：1121nnSSnn+=，又1112Sa=，所以21nnSn=+，当 1n= 时，也成立。 （）由 ()111nnnnS nf xx xnn+=+，得 ( )/ nnnbfpnp=。 而23 123 (1)nnnTpp p np np=+ + + +null ， 234 123
16、 (1)nnnpTp p p npnp+=+ + + +null ， 23 1 1 1(1 )(1 )1nnnn nnppPT p p p p p np npp +=+= null （22） （本大题满分 14 分）如图，F 为双曲线 C：()222210,0xyabab =的右焦点。P 为双曲线C右支上一点，且位于 x轴上方，M 为左准线上一点， O为坐标原点。已知四边形 OFPM 为平行四边形， PF OF= 。 （）写出双曲线 C 的离心率 e与 的关系式； （）当 1 = 时，经过焦点 F且平行于 OP的直线交双曲线于 A、B 点，若 12AB = ，求此时的双曲线方程。 解：四边形
17、OFPM 是 null， | |OF PM c= = ，作双曲线的右准线交 PM 于 H，则2|2aPM PHc=+，又2222222| | 2 2PF OF c c eeaaPH c a ecccc= = = = ，220ee=。 （）当 1 = 时， 2e= ， 2ca= ，223ba= ，双曲线为2222143xyaa = 四边形 OFPM是菱形，所以直线 OP 的斜率为 3 ，则直线 AB 的方程为 3( 2 )y xa=，代入到双曲线方O F x y P M 第 22 题图 H 程得：22948600xaxa+=， 又 12AB = ，由2212 121()4ABkxxx=+ + 得：2248 6012 2 ( ) 499aa=，解得294a = ，则2274b = ，所以2212794xy = 为所求。
