1、 1 2005 年全国高等学校招生统一考试数学（上海理）试题 考生注意： 1答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚 2本试卷共有 22道试题，满分 150 分考试时间 120 分钟请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接 写在试卷上 一填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则 一律得零分 1函数 f(x)=log 4(x+1)的反函数f 1 (x)= 2方程 4 x +2 x -2=0 的解是 3直角坐标平面 xoy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足 OAOP =4。则点 P 的轨 迹方程是 4在(x-a)的展开式中
2、,x 的系数是1 5,则实数a= 5若双曲线的渐近线方程为 y=3x, 它的一个焦点是( 10 ,0), 则双曲线的方程 是 6将参数方程 x=1+2cos y=2sin ( 为参数)化为普通方程,所得方程 是 7计箅: n lim 1 1 23 23 + + + nn nn = 8某班有 50 名学生，其中 15 人选修 A 课程，另外 35 人选修 B 课程从班级中任选两名学生,他们是 选修不同课程的学生的慨率是 (结果用分数表示) 9在ABC中，若A120，AB=5，BC7， 则ABC 的面积 S 10函数 f(x)=sinx+2 xsin ,x0,2的图象与直线 y=k 有且仅有两个不
3、同的交点,则 k 的取值范围 是 11有两个相同的直三棱柱,高为 a 2 ,底面三角形的三边长分别为 3a、4a、5a(a0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可 能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,则 a 的取值范围 是 12用n 个不同的实数 a 1,a2,a n可得 n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3 一个 n!行的数阵.对第i行 a i1,ai2,a in,记 b i=- ai1+2ai2-3 ai3+(-1) n nain, 1 3 2 i=1,2,3, ,n !.用1,2,3 可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3 是 12,所以,b 1+b2+
4、b 6=-12+212-312=-24.那么,在用1,2,3,4,5 形成 2 3 1 的数阵中, b 1+b2+b 120= 3 1 2 3 2 1 2 二选择题(本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有且 只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括内,选对得 4 分，不选、选错或者选出的 代号超过一个(不论是否都写在圆括内),一律得零分 13若函数f(x)= 12 1 + X , 则该函数在(-,+)上是 答( ) (A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值 14已知
5、集合 M=x 1x , xR,P=x 1 5 +x 1, xZ,则MP 等于 答( ) (A)x0x3, xZ (B) x0 x3, xZ (C) x-1x0, xZ (D) x-1x0, xZ 15过抛物线y 2 =4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B两点,它们的横坐标之和等于 5,则这样的直 线 答( ) (A)有且仅有一条 (B) 有且仅有两条 (C) 有无穷多条 (D)不存在 16设定义域为 R 的函数 f(x)= 1lg x , x1 0, x=1 ,则关于x的方程f 2 (x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解 的充要条件是 答( ) (A)b0 (B) b0 且 c0
6、(C)b0 且 c=0 (D)b0 且c=0 三解答题（本大题满分 86 分）本大题共有 6题，解答下列各题必须写出必要步骤. 17 （本题满分 12 分）已知直四棱柱 ABCD-A 1B1C1D1中, AA 1=2 底面ABCD是直角梯形,A为直角,ABCD,A B=4,AD=2,DC=1,. 求异面直线 BC 1与 DC 所成角的大小.(结果用反三角函数值表 示) 解 18 （本题满分 12 分）在复数范围内解方程 i i izzz + =+ 2 3 )( 2 (i 为虚数单位) 解 3 19 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题,第1 小题满分 6 分, 第2 小题满分 8 分.
7、如图,点 A、B 分别是椭圆 1 2036 22 =+ yx 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点.点 P 在椭圆上,且 位于 x 轴的上方,PAPF. (1)求点P 的坐标; (2)设 M 椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 MB ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小 值. 解 20(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第1 小题满分 6 分, 第2 小题满分 8 分. 假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内, 该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增
8、加50 万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%? 解 4 21(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第1 小题满分 4 分, 第2 小题满分 6 分, 第3 小题满分6分. 对定义域分别是 D f、D g的函数y=f(x) 、y=g(x), f(x)g(x) 当 xD f且xD g 规定: 函数 h(x)= f(x) 当 xD f且x Dg g(x) 当 x Df且xD g (1) 若函数f(x)= 1 1 x ,g(x)=
9、x 2 ,xR,写出函数h(x)的解析式; (2) 求问题(1)中函数 h(x)的值域; (3)若 g(x)=f(x+), 其中 是常数,且 0,请设计一个定义域为 R 的函数 y=f(x),及一 个 的值,使得 h(x)=cos4x,并予以证明. 解 22(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第1 小题满分 4 分, 第2 小题满分 8 分, 第3 小题满分6分. 在直角坐标平面中,已知点P 1(1,2),P2(2,2 2 ),P n(n,2 n ),其中n是正整数.对平面上任一点A 0,记A 1 为A 0关于点P 1的对称点, A 2为A 1关于点 P 2的对称点, , A N为A
10、N-1关于点 P N的对称点. (1)求向量 20 AA 的坐标; (2)当点 A 0在曲线 C 上移动时, 点 A 2的轨迹是函数 y=f(x)的图象, 其中 f(x)是以 3 为周期的周期函 数,且当 x(0,3时,f(x)=lg x.求以曲线 C 为图象的函数在(1,4上的解析式; (3)对任意偶数 n,用n 表示向量 n AA 0 的坐标. 解 上海数学(理工农医类)参考答案 5 一. 1. 1. 4 x -1 2. x=0 3. x+2y-4=0 4. - 2 1 5. 1 9 2 2 = y x 6. (x-1) 2 +y 2 =4 7. 3 8. 7 3 9. 4 315 10.
11、 1k3 11. 0a0,只能x= 2 3 ,于是y= 2 35 . 点P 的坐标是( 2 3 , 2 35 ) (2) 直线AP 的方程是x 3 y+6=0. 设点 M(m,0),则M 到直线 AP 的距离是 2 6+m . 于是 2 6+m = 6+m ,又6m6,解得m=2. 椭圆上的点(x,y)到点M 的距离d 有 d 2 =(x2) 2 +y 2 =x4x 2 +4+20 9 5 x 2 = 9 4 (x 2 9 ) 2 +15, 由于6m6, 当 x= 2 9 时,d 取得最小值 15 20. 解 (1)设中低价房面积形成数列a n,由题意可知a n是等差数列, 其中a 1=250
12、,d=50,则S n=250n+ 50 2 )1( nn =25n 2 +225n, 令25n 2 +225n4750,即n 2 +9n-1900,而n 是正整数, n10. 到 2013 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米. (2)设新建住房面积形成数列b n,由题意可知b n是等比数列, 其中 b 1=400,q=1.08,则 b n=400(1.08) n-1 0.85. 由题意可知 a n0.85 bn,有250+(n-1)50400(1.08) n-1 0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6. 到 2009年底,当年建造的中低价房
13、的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. 21. 解 (1)h(x)= 1 2 x x x(-,1)(1,+) 7 1 x=1 (2) 当 x1 时, h(x)= 1 2 x x =x-1+ 1 1 x +2, 若x1 时, 则h(x)4,其中等号当x=2 时成立 若 x1 时, 则 h(x) 0,其中等号当 x=0 时成立 函数 h(x)的值域是(-,014,+) (3)令 f(x)=sin2x+cos2x,= 4 则 g(x)=f(x+)= sin2(x+ 4 )+cos2(x+ 4 )=cos2x-sin2x, 于是 h(x)= f(x)f(x+)= (sin2x+co2sx)(
14、 cos2x-sin2x)=cos4x. 另解令 f(x)=1+ 2 sin2x, = 2 , g(x)=f(x+)= 1+ 2 sin2(x+)=1- 2 sin2x, 于是h(x)= f(x)f(x+)= (1+ 2 sin2x)( 1- 2 sin2x)=cos4x. 22. 解(1)设点A 0(x,y), A0为P 1关于点的对称点 A 0的坐标为(2-x,4-y), A1为P 2关于点的对称点 A 2的坐标为(2+x,4+y), 20 AA =2,4. (2) 20 AA =2,4, f(x)的图象由曲线 C向右平移 2个单位,再向上平移 4 个单位得到. 因此, 曲线 C 是函数
15、y=g(x)的图象,其中 g(x)是以 3 为周期的周期函数,且当 x(-2,1 时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当 x(1,4时,g(x)=lg(x-1)-4. 另解设点 A 0(x,y), A2(x2,y2),于是 x 2-x=2,y2-y=4, 若3 x 26,则0 x 2-33,于是f(x 2)=f(x2-3)=lg(x2-3). 当1 x4时, 则3 x 26,y+4=lg(x-1). 当 x(1,4时,g(x)=lg(x-1)-4. (3) n AA 0 = nn AAAAAA 24220 +, 由于 kkkk PPAA 212222 2 = ,得 n AA 0 =2( nn PPPPPP 14321 +) =2(1,2+1,2 3 +1,2 n-1 ) =2 2 n , 3 )12(2 n =n, 3 )12(4 n
