1、- 1 - 2006 高考数学试题陕西卷 文科试题（必修选修） 注意事项 ： 本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。 2考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应 的试卷类型信息点。 3所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交 回。 第一部分（共 60 分） 一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分） 1.已知集合 P=x N|1 x 10,集合 Q=x R|x 2 +x 6=0, 则 P Q 等于 ( ) A. 2 B.1,2 C
2、.2,3 D.1,2,3 2.函数 f(x)= 1 1+x 2 (x R)的值域是 ( ) A.(0,1) B.(0,1 C.0,1) D.0,1 3. 已知等差数列 a n 中 ,a 2 +a 8 =8,则该数列前 9 项和 S 9 等于 ( ) A.18 B.27 C.36 D.45 4.设函数 f(x)=log a (x+b)(a0,a 1)的图象过点 (0, 0),其反函数的图像过点 (1,2),则 a+b 等于 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 5.设直线过点 (0,a),其斜率为 1, 且与圆 x 2 +y 2 =2 相切 ,则 a 的值为 ( ) A. 2 B. 2 B.
3、2 2 D. 4 6. “、成等差数列”是“等式 sin( + )=sin2成立”的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 7.设 x,y 为正数 , 则 (x+y)( 1 x + 4 y )的最小值为 ( ) A. 6 B.9 C.12 D.15 8.已知非零向量 AB 与 AC 满足 ( AB |AB | + AC |AC | ) BC =0 且 AB |AB | AC |AC | = 1 2 , 则 ABC 为 ( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 9. 已知函数 f(x)=a
4、x 2 +2ax+4(a0),若 x 1 x 2 , x 1 +x 2 =0 , 则 ( ) A.f(x 1 )f(x 2 ) D.f(x 1 )与 f(x 2 )的大小不能确定 10. 已知双曲线 x 2 a 2 y 2 2 =1(a 2)的两条渐近线的夹角为 3 ,则双曲线的离心率为 ( ) A.2 B. 3 C. 2 6 3 D. 2 3 3 11.已知平面外不共线的三点 A,B,C 到的距离都相等 ,则正确的结论是 ( ) - 2 - A.平面 ABC 必平行于 B.平面 ABC 必与相交 C.平面 ABC 必不垂直于 D.存在 ABC 的一条中位线平行于或在内 12.为确保信息安全
5、,信息需加密传输 ,发送方由明文密文 (加密 ),接收方由密文明文 (解密 ), 已知加密规则为 :明文 a,b,c,d 对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如 ,明文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16.当接收方收到密文 14,9,23,28 时 ,则解密得到的明文为 ( ) A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7 第二部分（共 90 分） 二填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 。 13.cos43 cos77 +sin43 cos167的值为 14.(2x 1 x )
6、 6 展开式中常数项为 (用数字作答 ) 16.某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教 (每地 1 人 ),其中甲和乙不同去 , 则不同的选派方案共有 种 . 15.水平桌面上放有 4个半径均为 2R的球 ,且相邻的球都相切 (球心的连线构成正方形 ).在这 4 个球的上面放 1 个半径为 R 的小球 ,它和下面 4 个球恰好都相切 ,则小球的球心到水平桌面 的距离是 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 74 分） 。 17.(本小题满分 12 分 ) 甲、乙、丙 3 人投篮 ,投进的概率分别是 2 5 , 1 2 , 1 3 .现
7、 3 人各投篮 1 次 ,求 : ( )3 人都投进的概率 ; ( )3 人中恰有 2 人投进的概率 . 18. (本小题满分 12 分 ) 已知函数 f(x)= 3sin(2x 6 )+2sin 2 (x 12 ) (x R) ( )求函数 f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合 . 19. (本小题满分 12 分 ) 如图 , , =l , A , B ,点 A 在直线 l 上的射影为 A 1 , 点 B 在 l 的射影为 B 1 , 已知 AB=2,AA 1 =1, BB 1 = 2, 求 : ( ) 直线 AB 分别与平面 ,所成角的大小 ; ( )
8、二面角 A 1 AB B 1 的大小 . - 3 - 20. (本小题满分 12 分 ) 已知正项数列 a n ，其前 n 项和 S n 满足 10S n =a n 2 +5a n +6 且 a 1 ,a 3 ,a 15 成等比数列，求数列 a n 的通项 a n . 21. (本小题满分 12 分 ) 如图 ,三定点 A(2,1),B(0, 1),C( 2,1); 三动点 D,E,M 满足 AD =tAB , BE = t BC , DM =t DE , t 0,1. ( ) 求动直线 DE 斜率的变化范围 ; ( )求动点 M 的轨迹方程 . 22.（本小题满分 4 分） 已知函数 f(x
9、)=kx 3 3x 2 +1(k 0). ( )求函数 f(x)的单调区间 ; ( )若函数 f(x)的极小值大于 0, 求 k 的取值范围 . A B A 1 B 1 l 第 19 题图 y x O M D A B C 1 1 2 1 2 E - 4 - 2006 年高考文科数学参考答案（陕西卷） 一、选择题 1 A 2 B 3 C 4 C 5 B 6 A 7 B 8 D 9 A 10 D 11 D 12 C 二、填空题 13 1 2 14 60 15 1320 16 3R 三、解答题 17.解 : ( )记 甲投进 为事件 A 1 , 乙投进 为事件 A 2 , 丙投进 为事件 A 3 ,
10、 则 P(A 1 )= 2 5 , P(A 2 )= 1 2 , P(A 3 )= 1 3 , P(A 1 A 2 A 3 )=P(A 1 ) P(A 2 ) P(A 3 ) = 2 5 1 2 3 5 = 3 25 3 人都投进的概率为 3 25 ( ) 设“ 3 人中恰有 2 人投进 为事件 B P(B)=P(A 1 A 2 A 3 )+P(A 1 A 2 A 3 )+P(A 1 A 2 A 3 ) =P(A 1 ) P(A 2 ) P(A 3 )+P(A 1 ) P(A 2 ) P(A 3 )+P(A 1 ) P(A 2 ) P(A 3 ) =(1 2 5 ) 1 2 3 5 + 2 5
11、 (1 1 2 ) 3 5 + 2 5 1 2 (1 3 5 ) = 19 50 3 人中恰有 2 人投进的概率为 19 50 18.解 :( ) f(x)= 3sin(2x 6 )+1 cos2(x 12 ) = 2 3 2 sin2(x 12 ) 1 2 cos2(x 12 )+1 =2sin2(x 12 ) 6 +1 = 2sin(2x 3 ) +1 T= 2 2 = ( )当 f(x)取最大值时 , sin(2x 3 )=1,有 2x 3 =2k + 2 即 x=k + 5 12 (k Z) 所求 x 的集合为 x R|x= k + 5 12 , (k Z). - 5 - 19.解法一
12、 : ( )如图 , 连接 A 1 B,AB 1 , , =l ,AA 1 l, BB 1 l, AA 1 , BB 1 . 则 BAB 1 , ABA 1 分别是 AB 与和所成的角 . Rt BB 1 A 中 , BB 1 = 2 , AB=2, sin BAB 1 = BB 1 AB = 2 2 . BAB 1 =45 . Rt AA 1 B 中 , AA 1 =1,AB=2, sin ABA 1 = AA 1 AB = 1 2 , ABA 1 = 30 . 故 AB 与平面 ,所成的角分别是 45 ,30 . ( ) BB 1 , 平面 ABB 1 .在平面内过 A 1 作 A 1 E
13、 AB 1 交 AB 1 于 E,则 A 1 E平 面 AB 1 B.过 E 作 EF AB 交 AB 于 F,连接 A1F,则由三垂线定理得 A 1 F AB, A 1 FE 就是 所求二面角的平面角 . 在 Rt ABB 1 中 , BAB 1 =45 , AB 1 =B 1 B= 2. Rt AA 1 B 中 ,A 1 B= AB 2 AA 1 2 = 4 1 = 3. 由 AA 1 A 1 B=A 1 F AB 得 A 1 F= AA 1 A 1 B AB = 1 3 2 = 3 2 , 在 Rt A1EF 中 ,sin A 1 FE = A 1 E A 1 F = 6 3 , 二面角
14、 A 1 AB B 1 的大小为 arcsin 6 3 . 解法二 : ( )同解法一 . ( ) 如图 ,建立坐标系 , 则 A 1 (0,0,0),A(0,0,1),B 1 (0,1,0),B( 2,1,0).在 AB 上取一点 F(x,y,z), 则存在 t R,使得 AF =tAB , 即 (x,y,z 1)=t( 2,1, 1), 点 F 的坐标为 ( 2t, t,1 t).要使 A 1 F AB ,须 A 1 F AB =0, 即 ( 2t, t,1 t) ( 2,1, 1)=0, 2t+t (1 t)=0,解得 t= 1 4 , 点 F 的坐 标为 ( 2 4 , 1 4 , 3
15、 4 ), A 1 F =( 2 4 , 1 4 , 3 4 ). 设 E为 AB 1 的中点 ,则点 E的坐标为 (0, 1 2 , 1 2 ). EF =( 2 4 , 1 4 , 1 4 ). 又 EF AB =( 2 4 , 1 4 , 1 4 ) ( 2,1, 1)= 1 2 1 4 1 4 =0, EF AB , A 1 FE 为所求二面 角的平面角 . 又 cos A 1 FE= A 1 F EF |A 1 F | |EF | = ( 2 4 ， 1 4 ， 3 4 ) ( 2 4 ， 1 4 ， 1 4 ) 2 16 + 1 16 + 9 16 2 16 + 1 16 + 1
16、16 = 1 8 1 16 + 3 16 3 4 1 2 = 1 3 = 3 3 , 二面角 A 1 AB B 1 的大小为 arccos 3 3 . A B A 1 B 1 l 第 19 题解法一图 E F A B A 1 B 1 l 第 19 题解法二图 y x y EF - 6 - 20.解 : 10S n =a n 2 +5a n +6, 10a 1 =a 1 2 +5a 1 +6,解之得 a 1 =2 或 a 1 =3. 又 10S n 1 =a n 1 2 +5a n 1 +6(n 2), 由得 10a n =(a n 2 a n 1 2 )+6(a n a n 1 ),即 (a
17、n +a n 1 )(a n a n 1 5)=0 a n +a n 1 0 , a n a n 1 =5 (n 2). 当 a 1 =3 时 ,a 3 =13,a 15 =73. a 1 , a 3 ,a 15 不成等比数列 a 1 3; 当 a 1 =2 时 ,a 3 =12, a 15 =72, 有 a 3 2 =a 1 a 15 , a 1 =2, a n =5n 3. 21.解法一 : 如图 , ( )设 D(x 0 ,y 0 ),E(x E ,y E ),M(x,y).由 AD =tAB , BE = t BC , 知 (x D 2,y D 1)=t( 2, 2). x D = 2
18、t+2 y D = 2t+1 同理 x E = 2t y E =2t 1 . k DE = y E y D x E x D = 2t 1 ( 2t+1) 2t ( 2t+2) = 1 2t. t 0,1 , k DE 1,1. ( ) DM =t DE (x+2t 2,y+2t 1)=t( 2t+2t 2,2t 1+2t 1)=t( 2,4t 2)=( 2t,4t 2 2t). x=2(1 2t) y=(1 2t) 2 , y= x 2 4 , 即 x 2 =4y. t 0,1, x=2(1 2t) 2,2. 即所求轨迹方程为 : x 2 =4y, x 2,2 解法二 : ( )同上 . (
19、) 如图 , OD =OA +AD = OA + tAB = OA + t(OB OA ) = (1 t) OA +tOB , OE = OB +BE = OB +tBC = OB +t(OC OB ) =(1 t) OB +tOC , OM = OD +DM = OD + tDE = OD +t(OE OD )=(1 t) OD + tOE = (1 t 2 ) OA + 2(1 t)tOB +t 2 OC . 设 M 点的坐标为 (x,y),由 OA =(2,1), OB =(0, 1), OC =( 2,1)得 x=(1 t 2 ) 2+2(1 t)t 0+t 2 ( 2)=2(1 2t
20、) y=(1 t) 2 1+2(1 t)t ( 1)+t 2 1=(1 2t) 2 消去 t 得 x 2 =4y, t 0,1, x 2,2. 故所求轨迹方程为 : x 2 =4y, x 2,2 22.解 : （ I）当 k=0 时 , f(x)= 3x 2 +1 f(x)的单调增区间为 ( ,0,单调减区间 0,+ ). 当 k0 时 , f (x)=3kx 2 6x=3kx(x 2 k ) f(x)的单调增区间为 ( ,0 , 2 k , + ), 单调减区间为 0, 2 k . （ II）当 k=0 时 , 函数 f(x)不存在最小值 . y x O M D A B C 1 1 2 1 2 E 第 21 题解法图 - 7 - 当 k0 时 , 依题意 f( 2 k )= 8 k 2 12 k 2 +10 , 即 k 2 4 , 由条件 k0, 所以 k 的取值范围为 (2,+ )
